Guide de résolution — Bac Polynésie J1 16 juin 2026

Partie A — Questions 1 à 3

Une école de surf travaille avec des planches en mousse pour les cours débutants, et d’autres en résine pour les cours de perfectionnement. Les planches en mousse représentent \(80\,\%\) du stock de l’école.

La gérante observe qu’après chaque saison,

\(75\,\%\) des planches en mousse sont en bon état et réutilisables la saison suivante. Les autres sont recyclées (et donc non réutilisables) ;
\(60\,\%\) des planches en résine sont en bon état, les autres sont soit consolidées, soit recyclées.

Après une saison, on choisit une planche au hasard et on s’intéresse aux évènements suivants :

\(M\) : « La planche est en mousse » ;
\(B\) : « La planche est en bon état » ;
\(R\) : « La planche sera recyclée » ;
\(C\) : « La planche sera consolidée ».

1. Recopier et compléter sur la copie l’arbre pondéré ci-dessous avec les données de l’énoncé. Il sera complété au fur et à mesure de l’exercice.

2. On sait que \(P\!\left(\overline{M} \cap R\right) = 0{,}05\).

Interpréter cette égalité dans le contexte de l’exercice.
On a choisi une planche en résine. Démontrer que la probabilité que cette planche soit consolidée pour la saison suivante est \(0{,}15\).

3. La gérante affirme qu’après une saison, au moins \(\dfrac{3}{4}\) des planches sont en bon état. A-t-elle raison ?

Méthodes de cours

Repérer les probabilités directement données par l’énoncé :

« mousse » \(\to P(M)\) ; en déduire \(P(\overline{M}) = 1 - P(M)\) (la planche est en mousse ou en résine).
« \(75\,\%\) des planches en mousse sont en bon état » \(\to\) c’est une probabilité conditionnelle \(P_M(B)\). La branche complémentaire issue de \(M\) mène à \(R\).
« \(60\,\%\) des planches en résine sont en bon état » \(\to P_{\overline{M}}(B)\). Le nœud \(\overline{M}\) possède trois branches : \(B\), \(R\) et \(C\).

💡 Règle de cohérence : la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut \(1\). Pour \(M\), deux branches ; pour \(\overline{M}\), trois branches dont deux restent à déterminer au fil de l’exercice.

Un événement de la forme \(\overline{M} \cap R\) se lit comme une intersection : les deux conditions sont réalisées simultanément.

Traduire en français chaque symbole : \(\overline{M}\) = « la planche n’est pas en mousse » (donc en résine), \(R\) = « la planche sera recyclée ».

💡 Formuler une phrase du type : « la probabilité qu’une planche soit … et … vaut \(0{,}05\) », en pensant à une proportion sur l’ensemble du stock.

Définition d’une probabilité conditionnelle :

\[P_{\overline{M}}(R) = \frac{P\!\left(\overline{M} \cap R\right)}{P(\overline{M})}.\]

Les branches issues du nœud \(\overline{M}\) (vers \(B\), \(R\) et \(C\)) ont des probabilités qui se somment à \(1\) :

\[P_{\overline{M}}(B) + P_{\overline{M}}(R) + P_{\overline{M}}(C) = 1.\]

💡 Calculer d’abord \(P_{\overline{M}}(R)\) à partir de \(P(\overline{M}\cap R)\) et de \(P(\overline{M})\), puis isoler \(P_{\overline{M}}(C)\) grâce à la somme des branches \(=1\). Vérifier que le résultat tombe bien sur la valeur annoncée.

\(M\) et \(\overline{M}\) forment une partition de l’univers. La formule des probabilités totales donne :

\[P(B) = P(M \cap B) + P(\overline{M} \cap B) = P(M)\,P_M(B) + P(\overline{M})\,P_{\overline{M}}(B).\]

Chaque terme se lit comme un produit le long d’un chemin de l’arbre.

💡 Comparer ensuite \(P(B)\) à \(\dfrac{3}{4} = 0{,}75\) : l’affirmation « au moins \(\frac34\) » est vraie si et seulement si \(P(B) \geqslant 0{,}75\). Conclure par une phrase.

Partie B — Questions 1 à 3

La gérante du club de surf envisage de proposer à certains clients une remise pour la saison suivante. Pour cela, elle imagine le jeu suivant qui sera proposé à chaque client :

Une urne contient \(5\) boules noires et un nombre \(n\) de boules rouges. Les boules sont indiscernables au toucher. Le client tire simultanément deux boules dans l’urne.

Si les deux boules sont de même couleur, le client gagne une remise, sinon, il perd le jeu et n’obtient pas de remise.

Justifier que la probabilité \(p\) de gagner une remise est : \[p = \dfrac{\dbinom{5}{2} + \dbinom{n}{2}}{\dbinom{n+5}{2}}.\]
En déduire que la probabilité \(p\) peut s’écrire : \[p = \dfrac{20 + n(n-1)}{(n+5)(n+4)}.\]
La gérante souhaite s’assurer que la probabilité de gagner est inférieure à \(\dfrac{1}{2}\). Déterminer pour cela l’ensemble des valeurs possibles du nombre \(n\) de boules rouges qu’elle peut mettre dans l’urne.

Méthodes de cours

Tirer simultanément deux boules = choisir une partie à \(2\) éléments parmi \(n+5\) : il y a \(\dbinom{n+5}{2}\) tirages, tous équiprobables.

L’événement « gagner » = « deux boules de même couleur » = « deux noires » ou « deux rouges » (événements incompatibles) :

deux noires parmi \(5\) : \(\dbinom{5}{2}\) choix ;
deux rouges parmi \(n\) : \(\dbinom{n}{2}\) choix.

\[p = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}} = \frac{\dbinom{5}{2} + \dbinom{n}{2}}{\dbinom{n+5}{2}}.\]

💡 Penser à justifier l’équiprobabilité (boules indiscernables) et l’addition des deux cas favorables (couleurs disjointes).

Rappel : \(\dbinom{k}{2} = \dfrac{k(k-1)}{2}\). Appliquer cette formule aux trois coefficients.

\[\dbinom{5}{2} = \frac{5\times 4}{2},\qquad \dbinom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2},\qquad \dbinom{n+5}{2} = \frac{(n+5)(n+4)}{2}.\]

💡 Le facteur \(\tfrac12\) du numérateur et du dénominateur se simplifie : multiplier en haut et en bas par \(2\) fait apparaître directement la forme demandée.

Comme \((n+5)(n+4) > 0\) pour \(n \in \mathbb{N}\), on peut multiplier sans changer le sens :

\[p < \frac{1}{2} \iff 2\bigl(20 + n(n-1)\bigr) < (n+5)(n+4).\]

Tout développer, puis ramener à une inéquation du second degré de la forme \(an^2 + bn + c < 0\).

💡 Étudier le signe du trinôme obtenu (discriminant, racines). Les racines ne sont pas entières : ne retenir que les entiers naturels situés strictement entre les deux racines. Conclure par un ensemble fini de valeurs de \(n\).

Affirmations 1 à 3

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.

1. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x + 1)\mathrm{e}^{-x}\).

Affirmation 1 : La limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\) est \(+\infty\).

2. On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = x\mathrm{e}^{x}\).

Affirmation 2 : La fonction \(g\) est convexe sur l’intervalle \([-2\,;\,+\infty[\).

3. Affirmation 3 : Une intégration par parties permet d’obtenir :

\[\int_{0}^{\pi} x\sin x\,\mathrm{d}x = -\pi.\]

Méthodes de cours

Réécrire \(f(x) = (x+1)\mathrm{e}^{-x} = x\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-x} = \dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}} + \dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}\).

Croissance comparée de référence : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^{x}} = 0\) (l’exponentielle l’emporte sur toute puissance).

💡 Déterminer la valeur réelle de la limite, puis la comparer à \(+\infty\) pour trancher. Une justification par croissances comparées est indispensable.

Une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si \(g'' \geqslant 0\) sur cet intervalle.

Dériver deux fois un produit : pour \(g(x) = x\mathrm{e}^{x}\),

\(g'(x) = (1+x)\mathrm{e}^{x}\), puis dériver à nouveau \((1+x)\mathrm{e}^{x}\).

💡 Factoriser \(g''(x)\) par \(\mathrm{e}^{x} > 0\) : le signe de \(g''\) ne dépend que du facteur affine restant. Résoudre \(g''(x) \geqslant 0\) et comparer à l’intervalle \([-2\,;\,+\infty[\).

Formule : \(\displaystyle\int_a^b u\,v'\,\mathrm{d}x = \bigl[uv\bigr]_a^b - \int_a^b u'\,v\,\mathrm{d}x\).

Choix adapté pour \(\displaystyle\int_0^{\pi} x\sin x\,\mathrm{d}x\) :

\(u = x\)	\(v' = \sin x\)
\(u' = 1\)	\(v = -\cos x\)

💡 Attention aux signes : \(\bigl[-x\cos x\bigr]_0^{\pi}\) puis \(+\displaystyle\int_0^{\pi}\cos x\,\mathrm{d}x\). Évaluer soigneusement \(\cos\pi = -1\) et comparer au résultat annoncé \(-\pi\).

Affirmations 4 et 5

4. On considère l’équation différentielle \((E)\) : \(y' = 2y - 5\) et la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = -\dfrac{3}{2}\mathrm{e}^{2x} + \dfrac{5}{2}\).

Affirmation 4 : La fonction \(h\) est la solution de \((E)\) qui vaut \(1\) en \(0\).

5. On considère la fonction mystere définie ci-dessous en Python :

def mystere(n):

    f = 1

    for k in range(1, n+1):

        f = f * k

    return f

Affirmation 5 : Le nombre renvoyé lors de l’exécution de mystere(5) est \(120\).

Méthodes de cours

Deux conditions à contrôler pour que \(h\) soit « la solution qui vaut \(1\) en \(0\) » :

\(h\) vérifie \((E)\) : calculer \(h'(x)\) et vérifier l’identité \(h'(x) = 2h(x) - 5\) pour tout réel \(x\) ;
condition initiale : vérifier \(h(0) = 1\).

Rappel de cours : les solutions de \(y' = ay + b\) sont \(y(x) = K\mathrm{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}\), \(K \in \mathbb{R}\). Ici \(a = 2\), \(b = -5\).

💡 Calculer \(h'(x) = -3\mathrm{e}^{2x}\) puis \(2h(x) - 5\) et comparer. Ne pas oublier la seconde vérification \(h(0)\) : les deux doivent être satisfaites.

Identifier le rôle de la fonction : \(f\) part de \(1\) et est multipliée successivement par \(k\) pour \(k\) allant de \(1\) à \(n\).

\(\texttt{range(1, n+1)}\) parcourt \(1, 2, \dots, n\). La fonction calcule donc un produit cumulé.

Construire un tableau d’exécution pour \(n = 5\) : suivre les valeurs successives de \(k\) et de \(f\).

\(k\)	1	2	3	4	5
\(f\)	1	2	…	…	…

💡 Cette fonction calcule la factorielle \(n!\). Compléter le tableau jusqu’à \(k=5\) et comparer la valeur finale de \(f\) à \(120\).

Partie A — Questions 1 à 4

On considère la fonction \(f\) définie sur \([0\,;\,+\infty[\) par \(f(x) = \ln(3x^2 + 1)\). On admet que la fonction \(f\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).

On considère la suite \((u_n)\) définie par :

\[u_0 = 2 \quad \text{et pour tout entier } n \geqslant 0,\quad u_{n+1} = \ln\!\left(3u_n^2 + 1\right).\]

Calculer \(u_1\).
La suite \((u_n)\) est représentée ci-dessous. Émettre des conjectures sur le sens de variation et la convergence de la suite \((u_n)\).
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) : \[2 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4.\]
En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

Méthodes de cours

Appliquer la relation de récurrence avec \(n = 0\) : \(u_1 = \ln\!\left(3u_0^2 + 1\right)\), puis remplacer \(u_0 = 2\).

💡 Laisser le résultat sous forme exacte \(\ln(\,\cdots\,)\), puis en donner éventuellement une valeur approchée à la calculatrice pour relier au graphique.

Observer l’allure du nuage de points :

Sens de variation : les points montent-ils ou descendent-ils quand \(n\) augmente ?
Convergence : les points semblent-ils s’accumuler autour d’une valeur limite (palier horizontal) ?

💡 Une conjecture n’a pas à être démontrée ici : formuler clairement « la suite semble croissante » et « la suite semble converger vers une valeur proche de … ».

La propriété encadre à la fois \(u_n\), \(u_{n+1}\) et borne par \(4\) : c’est une récurrence qui prouve en même temps les bornes et la croissance.

Initialisation (\(n=0\)) : vérifier \(2 \leqslant u_0 \leqslant u_1 \leqslant 4\) en utilisant \(u_0 = 2\) et la valeur de \(u_1\) (Q1).

Hérédité : supposer \(2 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4\). Appliquer la fonction \(f\), croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), à cet encadrement :

\[2 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4 \;\Longrightarrow\; f(2) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(4).\]

Or \(f(u_n) = u_{n+1}\) et \(f(u_{n+1}) = u_{n+2}\).

💡 Il reste à vérifier les bornes : calculer \(f(2)\) et \(f(4)\) et montrer \(f(2) \geqslant 2\) ainsi que \(f(4) \leqslant 4\) pour « refermer » l’encadrement au rang \(n+1\). C’est la croissance de \(f\) qui fait tout le travail.

L’encadrement de la Q3 fournit deux informations :

\(u_n \leqslant u_{n+1}\) pour tout \(n\) : la suite est croissante ;
\(u_n \leqslant 4\) pour tout \(n\) : la suite est majorée.

Énoncer le théorème de la limite monotone : toute suite croissante et majorée converge.

💡 Ce théorème garantit l’existence de la limite \(\ell\), sans en donner la valeur — c’est précisément l’objet de la Partie B.

Partie B — Questions 1 à 4

On note \(\ell\) la limite de la suite \((u_n)\). Le but de cette partie est de trouver une valeur approchée de la limite \(\ell\).

On considère la fonction \(g\) définie et dérivable sur \([0\,;\,+\infty[\) par :

\[g(x) = \ln(3x^2 + 1) - x.\]

On note \(g'\) la fonction dérivée de la fonction \(g\). Démontrer que pour tout réel \(x \in [0\,;\,+\infty[\), \[g'(x) = \dfrac{-3x^2 + 6x - 1}{3x^2 + 1}.\]
Démontrer que la fonction \(g\) est strictement décroissante sur \([2\,;\,4]\).
Démontrer que l’équation \(g(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \([2\,;\,4]\) et en donner une valeur approchée à \(10^{-2}\) près.
Justifier que \(\ell = \alpha\).

Méthodes de cours

Dérivée de \(\ln(u)\) : \(\bigl(\ln u\bigr)' = \dfrac{u'}{u}\). Ici \(u(x) = 3x^2 + 1\), donc \(u'(x) = 6x\).

\[g'(x) = \frac{6x}{3x^2+1} - 1.\]

💡 Réduire au même dénominateur \(3x^2+1\) : \(\dfrac{6x - (3x^2+1)}{3x^2+1}\). Réordonner le numérateur pour retrouver exactement \(-3x^2 + 6x - 1\).

Le dénominateur \(3x^2 + 1 > 0\) : le signe de \(g'(x)\) est celui du numérateur \(N(x) = -3x^2 + 6x - 1\).

Étudier ce trinôme du second degré (coefficient dominant \(-3 < 0\), donc parabole « tournée vers le bas ») : calculer ses racines, puis déterminer son signe sur \([2\,;\,4]\).

💡 Il suffit souvent d’évaluer \(N(2)\) et \(N(4)\) et d’invoquer la position par rapport aux racines : si \(N(x) < 0\) sur tout \([2\,;\,4]\), alors \(g' < 0\) et \(g\) est strictement décroissante.

Réunir les trois hypothèses du corollaire des valeurs intermédiaires :

\(g\) est continue sur \([2\,;\,4]\) (somme de fonctions continues) ;
\(g\) est strictement monotone sur \([2\,;\,4]\) (Q2) ;
\(g(2)\) et \(g(4)\) sont de signes contraires : calculer ces deux valeurs et vérifier que \(0\) est compris entre les deux.

On en déduit l’existence et l’unicité de \(\alpha\) tel que \(g(\alpha) = 0\).

💡 Pour la valeur approchée à \(10^{-2}\) : balayage à la calculatrice (ou dichotomie). Encadrer \(\alpha\) entre deux décimaux distants de \(0{,}01\) en cherchant le changement de signe de \(g\).

La suite converge (Partie A) vers \(\ell\), et \(f(x) = \ln(3x^2+1)\) est continue. Par passage à la limite dans \(u_{n+1} = f(u_n)\), \(\ell\) est un point fixe :

\[\ell = \ln(3\ell^2 + 1) \iff \ln(3\ell^2+1) - \ell = 0 \iff g(\ell) = 0.\]

Or l’encadrement \(2 \leqslant u_n \leqslant 4\) passe à la limite : \(\ell \in [2\,;\,4]\).

💡 \(\ell\) est donc une solution de \(g(x) = 0\) appartenant à \([2\,;\,4]\). Comme cette solution est unique (Q3), on conclut \(\ell = \alpha\).

Question 1 — Le plan (ABC)

L’espace est muni d’un repère orthonormé \(\left(\mathrm{O}\,;\,\vec\imath,\,\vec\jmath,\,\vec{k}\right)\).

On considère les points A\((1\,;\,2\,;\,-1)\), B\((0\,;\,3\,;\,2)\), C\((-2\,;\,4\,;\,0)\) et D\((8\,;\,2\,;\,-11)\).

Démontrer que les points A, B et C définissent un plan.
Démontrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}5\\8\\-1\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan (ABC).
En déduire qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est \(5x + 8y - z - 22 = 0\).
Vérifier que le point D n’appartient pas au plan (ABC).

Méthodes de cours

Trois points définissent un plan si et seulement s’ils ne sont pas alignés, c’est-à-dire si les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) ne sont pas colinéaires.

Calculer les coordonnées \(\vec{AB}\begin{pmatrix}x_B - x_A\\ y_B - y_A\\ z_B - z_A\end{pmatrix}\) et de même pour \(\vec{AC}\).

💡 Deux vecteurs sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles. Montrer qu’ici il n’existe aucun coefficient \(k\) tel que \(\vec{AB} = k\,\vec{AC}\) (comparer deux rapports de coordonnées qui diffèrent).

Un vecteur \(\vec{n}\) est normal au plan (ABC) s’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).

Vérifier les deux produits scalaires nuls :

\[\vec{n}\cdot\vec{AB} = 0 \qquad \text{et} \qquad \vec{n}\cdot\vec{AC} = 0.\]

💡 Produit scalaire en coordonnées : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v\). Les deux résultats doivent valoir \(0\) pour conclure.

Si \(\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) est normal au plan, une équation cartésienne est de la forme :

\[ax + by + cz + d = 0.\]

Reporter les coefficients de \(\vec{n}\), puis déterminer \(d\) en écrivant que le point A (qui appartient au plan) vérifie l’équation.

💡 Substituer les coordonnées de A dans \(5x + 8y - z + d = 0\) pour trouver \(d\), puis vérifier que l’on retombe bien sur \(-22\).

Un point appartient au plan si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation cartésienne.

Substituer les coordonnées de D dans \(5x + 8y - z - 22\) et regarder si le résultat est nul.

💡 Si la valeur obtenue est non nulle, D n’appartient pas au plan : conclure par une phrase. Cette valeur servira plus loin (distance de D au plan).

Question 2 — Droite \(\Delta\), point E et distance DE

On considère la droite \(\Delta\), orthogonale au plan (ABC) et passant par D. Justifier qu’une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) est : \[\left\{\begin{array}{lcl} x &=& \phantom{-}8 + 5t \\ y &=& \phantom{-}2 + 8t \\ z &=& -11 - t \end{array}\right. \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}.\]
On appelle E le point d’intersection de la droite \(\Delta\) et du plan (ABC). Démontrer que le point E a pour coordonnées \(\left(\dfrac{11}{2}\,;\,-2\,;\,-\dfrac{21}{2}\right)\).
En déduire la valeur exacte de la longueur DE, distance du point D au plan (ABC).

Méthodes de cours

Une droite est entièrement déterminée par un point et un vecteur directeur.

Comme \(\Delta\) est orthogonale au plan (ABC), un vecteur normal au plan est un vecteur directeur de \(\Delta\). On peut donc prendre \(\vec{n}\begin{pmatrix}5\\8\\-1\end{pmatrix}\).

La droite passe par D\((8\,;\,2\,;\,-11)\), d’où le système :

\[\left\{\begin{array}{l} x = x_D + 5t \\ y = y_D + 8t \\ z = z_D - t \end{array}\right.\]

💡 Reporter les coordonnées de D et celles de \(\vect{n}\), puis vérifier que le système coïncide bien avec celui de l’énoncé.

Le point E est sur \(\Delta\) : ses coordonnées s’écrivent en fonction de \(t\). Il est aussi sur le plan : ces coordonnées vérifient l’équation cartésienne.

Substituer \(x = 8+5t\), \(y = 2+8t\), \(z = -11-t\) dans \(5x + 8y - z - 22 = 0\) pour obtenir une équation en \(t\).

💡 Résoudre l’équation du premier degré en \(t\), puis réinjecter la valeur de \(t\) trouvée dans la représentation paramétrique pour obtenir les coordonnées de E. Vérifier qu’on retombe sur celles annoncées.

E est le projeté orthogonal de D sur le plan : la distance de D au plan est la longueur DE.

Norme d’un vecteur : \(\mathrm{DE} = \left\|\vec{DE}\right\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\) où \(\vec{DE}\begin{pmatrix}x_E - x_D\\ y_E - y_D\\ z_E - z_D\end{pmatrix}\).

💡 Garder les fractions exactes et simplifier la racine à la fin (forme \(a\sqrt{b}\)). On peut contrôler le résultat avec la formule distance point–plan \(\dfrac{|5x_D+8y_D-z_D-22|}{\sqrt{5^2+8^2+(-1)^2}}\).

Question 3 — Projeté orthogonal H et volume du tétraèdre

On note H le point de coordonnées \(\left(-\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{10}{3}\,;\,\dfrac{4}{3}\right)\).

On admet qu’une représentation paramétrique de la droite (BC) est :

\[\left\{\begin{array}{lcl} x &=& \phantom{3+}{-2k} \\ y &=& 3 + k \\ z &=& 2 - 2k \end{array}\right. \quad \text{avec } k \in \mathbb{R}.\]

Avec un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats suivants :

Entrée 1 : \((-2/3-1)\times(-2) + (10/3-2)\times 1 + (4/3-(-1))\times(-2)\)
Sortie 1 : \(\rightarrow 0\)

Entrée 2 : RésoudreSystème\((-2k = -2/3,\ \ 3+k = 10/3,\ \ 2-2k = 4/3)\)
Sortie 2 : \(\rightarrow k = 1/3\)

Entrée 3 : RacineCarrée\(\big((-2/3-1)^2 + (10/3-2)^2 + (4/3+1)^2\big)\)
Sortie 3 : \(\rightarrow\) RacineCarrée\((10)\)

Entrée 4 : RacineCarrée\(\big((-2-0)^2 + (4-3)^2 + (0-2)^2\big)\)
Sortie 4 : \(\rightarrow 3\)

En utilisant les deux premiers résultats obtenus avec la feuille de calculs ci-dessus, justifier que le point H est le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC).
En exploitant les autres résultats obtenus avec la feuille de calculs ci-dessus, déterminer le volume du tétraèdre ABCD.
On rappelle que le volume \(\mathcal{V}\) d’un tétraèdre est donné par \(\mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h\), où \(\mathcal{B}\) est l’aire d’une base du tétraèdre et \(h\) la hauteur relative à cette base.

Méthodes de cours

H est le projeté orthogonal de A sur (BC) si et seulement si deux conditions sont réunies :

H appartient à (BC) : il existe une valeur de \(k\) donnant les coordonnées de H dans la représentation paramétrique ;
\(\vec{AH}\) est orthogonal à (BC) : \(\vec{AH}\cdot\vect{u} = 0\), où \(\vec{u}\begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de (BC) (lu dans la représentation paramétrique).

💡 La Sortie 1 (\(=0\)) traduit exactement \(\vect{AH}\cdot\vect{u} = 0\) (orthogonalité). La Sortie 2 (\(k = 1/3\)) prouve que H est sur (BC). Les deux conditions ensemble donnent la conclusion.

Choisir le triangle ABC comme base. Comme H est le pied de la hauteur issue de A sur (BC), l’aire vaut :

\[\mathcal{B} = \mathcal{A}_{ABC} = \frac{1}{2} \times \mathrm{BC} \times \mathrm{AH}.\]

Les longueurs sont fournies par la feuille de calcul :

Sortie 3 : \(\mathrm{AH} = \sqrt{10}\) (distance de A à son projeté H) ;
Sortie 4 : \(\mathrm{BC} = 3\).

💡 Bien identifier ce que calcule chaque entrée : l’Entrée 3 est la norme de \(\vec{AH}\), l’Entrée 4 est la norme de \(\vec{BC}\).

Avec ABC comme base, la hauteur relative est la distance de D au plan (ABC) — c’est exactement la longueur \(h = \mathrm{DE}\) calculée à la question 2c.

\[\mathcal{V} = \frac{1}{3} \times \mathcal{A}_{ABC} \times \mathrm{DE}.\]

💡 Réutiliser \(\mathcal{A}_{ABC} = \tfrac12 \times 3 \times \sqrt{10}\) et la valeur exacte de DE (Q2c). Les racines \(\sqrt{10}\) se simplifient dans le produit : le volume final est un nombre rationnel.

Bac Polynésie16 juin 2026 — Sujet 1 (Jour 1)

Partie A — Questions 1 à 3

Méthodes de cours

Partie B — Questions 1 à 3

Méthodes de cours

Affirmations 1 à 3

Méthodes de cours

Affirmations 4 et 5

Méthodes de cours

Partie A — Questions 1 à 4

Méthodes de cours

Partie B — Questions 1 à 4

Méthodes de cours

Question 1 — Le plan (ABC)

Méthodes de cours

Question 2 — Droite \(\Delta\), point E et distance DE

Méthodes de cours

Question 3 — Projeté orthogonal H et volume du tétraèdre

Méthodes de cours

Bac Polynésie
16 juin 2026 — Sujet 1 (Jour 1)