Terminale · Maths complémentaires · Chapitre 9

Temps d'attente

Exercices corrigés — loi géométrique, lois à densité, loi uniforme et loi exponentielle.
Ex. 1 — Loi géométrique Ex. 2 — Une densité de probabilité Ex. 3 — Loi uniforme continue Ex. 4 — Loi exponentielle Ex. 5 — Datation au carbone 14
Formules clés : géométrique : $P(X = k) = (1-p)^{k-1}p$, $E(X) = \frac1p$ ; densité : $P(a\leqslant X\leqslant b) = \displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ ; exponentielle : $P(X > a) = \mathrm{e}^{-\lambda a}$, $E(X) = \frac{1}{\lambda}$.
Exercice 1
Loi géométrique

Un basketteur réussit un lancer franc avec une probabilité de 0,3, indépendamment des tirs précédents. Il tire jusqu'à sa première réussite ; $X$ désigne le rang de cette première réussite.

  1. Quelle est la loi de $X$ ? Calculer $P(X = 1)$ et $P(X = 3)$.
  2. Calculer la probabilité qu'il lui faille plus de 5 tirs.
  3. Combien de tirs lui faut-il en moyenne ?
  4. Il a déjà raté 4 tirs. Quelle est la probabilité qu'il rate encore les 5 suivants ?

a. Répétition d'épreuves de Bernoulli indépendantes jusqu'au premier succès : $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p = 0{,}3$.

\[ P(X = 1) = 0{,}3 \qquad P(X = 3) = 0{,}7^2\times 0{,}3 = 0{,}147 \]

b. « Plus de 5 tirs » signifie que les 5 premiers sont ratés.

\[ P(X > 5) = 0{,}7^5\approx 0{,}168 \]

c. Espérance de la loi géométrique.

\[ E(X) = \frac{1}{0{,}3}\approx 3{,}33 \text{ tirs} \]

d. Absence de mémoire : $P_{X>4}(X > 9) = P(X > 5)$.

On retrouve $0{,}7^5\approx 0{,}168$. 💡 Les 4 échecs passés ne rendent pas la réussite « plus due » : c'est l'erreur du joueur qui croit à une revanche du hasard.

Exercice 2
Une densité de probabilité

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;2]$ par $f(t) = kt$, où $k$ est un réel.

  1. Déterminer $k$ pour que $f$ soit une densité de probabilité sur $[0\,;2]$.
  2. $X$ suit la loi de densité $f$. Calculer $P(X\leqslant 1)$ et $P(0{,}5\leqslant X\leqslant 1{,}5)$.
  3. Calculer $E(X)$.

a. Il faut $f\geqslant 0$ (donc $k\geqslant 0$) et une aire totale égale à 1.

\[ \int_0^2 kt\,\mathrm{d}t = k\left[\frac{t^2}{2}\right]_0^2 = 2k = 1 \iff k = \frac12 \]

b. On intègre $\frac t2$, de primitive $\frac{t^2}{4}$.

\[ P(X\leqslant 1) = \left[\frac{t^2}{4}\right]_0^1 = \frac14 \qquad P(0{,}5\leqslant X\leqslant 1{,}5) = \frac{2{,}25 - 0{,}25}{4} = 0{,}5 \]

c. $E(X) = \displaystyle\int_0^2 t\,f(t)\,\mathrm{d}t = \int_0^2 \frac{t^2}{2}\,\mathrm{d}t$.

\[ E(X) = \left[\frac{t^3}{6}\right]_0^2 = \frac86 = \frac43\approx 1{,}33 \]

✔ Cohérent : la densité est plus forte vers 2, donc l'espérance est supérieure au milieu 1 de l'intervalle.

Exercice 3
Loi uniforme continue

Un livreur annonce son passage « entre 14 h et 15 h ». On modélise son heure d'arrivée, en minutes après 14 h, par une variable $X$ suivant la loi uniforme sur $[0\,;60]$.

  1. Donner la densité de $X$.
  2. Calculer la probabilité qu'il arrive entre 14 h 10 et 14 h 25.
  3. Calculer la probabilité qu'il arrive après 14 h 40.
  4. À quelle heure arrive-t-il en moyenne ?
  5. À 14 h 30, il n'est toujours pas là. Quelle est la probabilité qu'il arrive avant 14 h 45 ?

a. Densité constante égale à $\frac{1}{b-a}$.

\[ f(t) = \frac{1}{60} \text{ sur } [0\,;60] \]

b. Rapport des longueurs.

\[ P(10\leqslant X\leqslant 25) = \frac{15}{60} = 0{,}25 \]

c. $P(X > 40) = \dfrac{60 - 40}{60} = \dfrac13$.

d. $E(X) = \dfrac{0 + 60}{2} = 30$ : en moyenne à 14 h 30.

e. Probabilité conditionnelle : $P_{X>30}(X\leqslant 45) = \dfrac{P(30 < X\leqslant 45)}{P(X > 30)}$.

\[ \frac{15/60}{30/60} = \frac12 \]

💡 Contrairement à la loi exponentielle, la loi uniforme a de la mémoire : plus on attend, plus l'arrivée est imminente (à 14 h 59, elle est certaine dans la minute).

Exercice 4
Loi exponentielle

Le temps $X$ (en minutes) séparant deux appels à un standard téléphonique suit une loi exponentielle. En moyenne, il s'écoule 4 minutes entre deux appels.

  1. Déterminer le paramètre $\lambda$.
  2. Calculer la probabilité qu'un appel arrive dans les 2 minutes.
  3. Calculer $P(X > 6)$, puis $P(2\leqslant X\leqslant 6)$.
  4. Déterminer la durée $m$ telle que $P(X\leqslant m) = 0{,}5$ (médiane).

a. $E(X) = \dfrac1\lambda = 4$.

\[ \lambda = 0{,}25 \]

b. $P(X\leqslant a) = 1 - \mathrm{e}^{-\lambda a}$.

\[ P(X\leqslant 2) = 1 - \mathrm{e}^{-0{,}5}\approx 0{,}393 \]

c. $P(X > a) = \mathrm{e}^{-\lambda a}$ et $P(a\leqslant X\leqslant b) = \mathrm{e}^{-\lambda a} - \mathrm{e}^{-\lambda b}$.

\[ P(X > 6) = \mathrm{e}^{-1{,}5}\approx 0{,}223 \qquad P(2\leqslant X\leqslant 6) = \mathrm{e}^{-0{,}5} - \mathrm{e}^{-1{,}5}\approx 0{,}383 \]

d. On résout $1 - \mathrm{e}^{-0{,}25m} = 0{,}5$.

\[ \mathrm{e}^{-0{,}25m} = 0{,}5 \iff -0{,}25m = \ln 0{,}5 \iff m = \frac{\ln 2}{0{,}25} = 4\ln 2\approx 2{,}77 \text{ min} \]

💡 La médiane (2,77 min) est inférieure à la moyenne (4 min) : beaucoup d'attentes courtes, quelques attentes très longues.

Exercice 5
Datation au carbone 14

La durée de vie $X$ (en années) d'un noyau de carbone 14 suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$. On sait que la probabilité qu'un noyau soit encore présent après 1 000 ans est 0,886.

  1. Montrer que $\lambda\approx 1{,}21\times 10^{-4}$.
  2. Calculer la demi-vie du carbone 14, c'est-à-dire la durée $t$ telle que $P(X\leqslant t) = 0{,}5$.
  3. Quelle proportion des noyaux initiaux subsiste au bout de 10 000 ans ?
  4. Un fossile ne contient plus que 10 % de son carbone 14 initial. Estimer son âge.

a. $P(X > 1000) = \mathrm{e}^{-1000\lambda} = 0{,}886$ ; on applique $\ln$.

\[ -1000\lambda = \ln 0{,}886 \iff \lambda = -\frac{\ln 0{,}886}{1000}\approx 1{,}21\times 10^{-4} \]

b. Demi-vie : $t = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$.

\[ t = \frac{\ln 2}{1{,}21\times 10^{-4}}\approx 5\,730 \text{ ans} \]

✔ C'est la valeur tabulée de la demi-vie du carbone 14.

c. La proportion restante est $P(X > 10\,000)$.

\[ \mathrm{e}^{-1{,}21\times 10^{-4}\times 10\,000} = \mathrm{e}^{-1{,}21}\approx 0{,}298 \]

Il reste environ 30 % des noyaux.

d. On cherche $t$ tel que $\mathrm{e}^{-\lambda t} = 0{,}1$.

\[ t = \frac{\ln 10}{\lambda}\approx\frac{2{,}303}{1{,}21\times 10^{-4}}\approx 19\,000 \text{ ans} \]

💡 Vérification : 10 % correspond à un peu plus de 3 demi-vies ($0{,}5^3 = 12{,}5\,\%$), soit un peu plus de $3\times 5730 = 17\,190$ ans. Cohérent.

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