Terminale · Maths complémentaires · Chapitre 8

Expériences répétées, échantillonnage

Exercices corrigés — loi binomiale, fluctuation et estimation.

Ex. 1 — Loi uniforme et loi de Bernoulli Ex. 2 — Contrôle de qualité Ex. 3 — Au moins un succès Ex. 4 — Prise de décision Ex. 5 — Sondage et estimation

Formules clés : $X\sim\mathcal{B}(n\,;p)$ : $P(X = k) = \binom nk p^k(1-p)^{n-k}$, $E(X) = np$, $V(X) = np(1-p)$ ; fluctuation : $p\pm 1{,}96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ ; confiance : $f\pm\frac{1}{\sqrt n}$.

Exercice 1

Loi uniforme et loi de Bernoulli

Une roue de loterie comporte 20 secteurs identiques numérotés de 1 à 20. On note $X$ le numéro obtenu.

Quelle est la loi de $X$ ? Calculer $E(X)$ et $V(X)$.
On gagne si le numéro est un multiple de 5. On note $Y$ la variable qui vaut 1 en cas de gain et 0 sinon. Donner la loi de $Y$, son espérance et sa variance.

a. Les 20 issues sont équiprobables : $X$ suit la loi uniforme sur $\{1\,;\dots;20\}$, avec $P(X = k) = \frac{1}{20}$.

\[ E(X) = \frac{20 + 1}{2} = 10{,}5 \qquad V(X) = \frac{20^2 - 1}{12} = \frac{399}{12} = 33{,}25 \]

b. Les multiples de 5 sont 5, 10, 15, 20 : 4 issues favorables sur 20.

$Y$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p = \frac{4}{20} = 0{,}2$.

\[ E(Y) = p = 0{,}2 \qquad V(Y) = p(1-p) = 0{,}2\times 0{,}8 = 0{,}16 \]

Exercice 2

Contrôle de qualité

Une usine produit des ampoules dont 5 % sont défectueuses. On prélève un lot de 20 ampoules ; la production est assez importante pour assimiler ce prélèvement à des tirages avec remise. $X$ désigne le nombre d'ampoules défectueuses du lot.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Calculer $P(X = 0)$ et $P(X = 1)$.
Le lot est refusé s'il contient au moins 2 ampoules défectueuses. Quelle est la probabilité qu'un lot soit refusé ?
Calculer $E(X)$ et interpréter.

a. On vérifie les conditions du schéma de Bernoulli.

On répète 20 fois, de façon identique et indépendante (tirages avec remise), une épreuve à deux issues : « défectueuse » (succès, $p = 0{,}05$) ou non. Donc $X\sim\mathcal{B}(20\,;0{,}05)$.

b. Formule de la loi binomiale, avec $\binom{20}{0} = 1$ et $\binom{20}{1} = 20$.

\[ P(X = 0) = 0{,}95^{20}\approx 0{,}358 \qquad P(X = 1) = 20\times 0{,}05\times 0{,}95^{19}\approx 0{,}377 \]

c. « Au moins 2 » est le contraire de « au plus 1 ».

\[ P(X\geqslant 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)\approx 1 - 0{,}358 - 0{,}377 = 0{,}265 \]

Environ un lot sur quatre est refusé.

d. $E(X) = np$.

\[ E(X) = 20\times 0{,}05 = 1 \]

En moyenne, un lot contient une ampoule défectueuse. 💡 Le critère de refus (2 ou plus) rejette donc beaucoup de lots « normaux » : il est peut-être trop sévère.

Exercice 3

Au moins un succès

Lors d'une campagne de prospection, chaque appel téléphonique aboutit à une vente avec une probabilité de 0,1, indépendamment des autres appels.

Un commercial passe 10 appels. Quelle est la probabilité qu'il réalise au moins une vente ?
Combien d'appels doit-il passer pour que la probabilité de réaliser au moins une vente dépasse 0,99 ?
Avec ce nombre d'appels, combien de ventes peut-il espérer en moyenne ?

a. Le nombre de ventes suit $\mathcal{B}(10\,;0{,}1)$. On passe par l'événement contraire « aucune vente ».

\[ P(X\geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}9^{10}\approx 0{,}651 \]

b. Avec $n$ appels : $1 - 0{,}9^n\geqslant 0{,}99 \iff 0{,}9^n\leqslant 0{,}01$. On applique $\ln$ puis on divise par $\ln 0{,}9 < 0$.

\[ n\ln 0{,}9\leqslant\ln 0{,}01 \iff n\geqslant\frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}9}\approx 43{,}7 \]

Il faut passer 44 appels.

c. $E(X) = np$ avec $n = 44$.

\[ E(X) = 44\times 0{,}1 = 4{,}4 \text{ ventes} \]

🚨 Piège : l'inégalité change de sens car $\ln 0{,}9 < 0$.

Exercice 4

Prise de décision

Un joueur soupçonne une pièce d'être truquée. Il la lance 100 fois et obtient 62 fois « pile ».

Sous l'hypothèse que la pièce est équilibrée ($p = 0{,}5$), vérifier les conditions et déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence de « pile ».
Peut-on considérer, au risque de 5 %, que la pièce est truquée ?
Même question s'il avait obtenu 57 fois « pile ».

a. $n = 100\geqslant 30$, $np = 50\geqslant 5$, $n(1-p) = 50\geqslant 5$ : les conditions sont remplies.

\[ 1{,}96\sqrt{\frac{0{,}5\times 0{,}5}{100}} = 1{,}96\times 0{,}05 = 0{,}098 \qquad I_F = [0{,}402\,;0{,}598] \]

b. On compare la fréquence observée $f = \frac{62}{100} = 0{,}62$ à l'intervalle.

$0{,}62\notin I_F$ : on rejette l'hypothèse « la pièce est équilibrée » au risque de 5 %. La pièce est probablement truquée.

c. $f = 0{,}57\in I_F$.

On ne peut pas rejeter l'hypothèse : l'écart à 0,5 peut s'expliquer par la fluctuation d'échantillonnage. ⚠ Cela ne prouve pas que la pièce est équilibrée ; on manque simplement d'éléments pour conclure le contraire.

Exercice 5

Sondage et estimation

Avant un second tour d'élection, un sondage réalisé auprès de 1 500 électeurs choisis au hasard donne 52 % d'intentions de vote pour le candidat A.

Déterminer un intervalle de confiance au niveau 95 % de la proportion $p$ d'électeurs votant pour A.
Peut-on affirmer que le candidat A va gagner ?
Quelle taille d'échantillon faudrait-il pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude 0,02 ?

a. Conditions : $n = 1500\geqslant 30$, $nf = 780\geqslant 5$, $n(1-f) = 720\geqslant 5$. On calcule $\frac{1}{\sqrt{1500}}\approx 0{,}0258$.

\[ \left[0{,}52 - 0{,}0258\,;0{,}52 + 0{,}0258\right]\approx[0{,}494\,;0{,}546] \]

b. On regarde si l'intervalle est entièrement au-dessus de 0,5.

Non : l'intervalle contient des valeurs inférieures à 0,5. Le sondage ne permet pas de prédire la victoire de A ; on dit que les candidats sont « dans la marge d'erreur ».

c. L'amplitude de l'intervalle est $\frac{2}{\sqrt n}$.

\[ \frac{2}{\sqrt n}\leqslant 0{,}02 \iff \sqrt n\geqslant 100 \iff n\geqslant 10\,000 \]

💡 Pour diviser l'amplitude par 2, il faut multiplier la taille de l'échantillon par 4 : la précision coûte cher.