Terminale · Maths complémentaires · Chapitre 7

Inférence bayésienne

Exercices corrigés — arbres, formule de Bayes, tests diagnostiques et indépendance.
Ex. 1 — Arbre et probabilités totales Ex. 2 — Test diagnostique Ex. 3 — Filtre anti-spam Ex. 4 — Indépendance Ex. 5 — Urnes et jeu d'argent
Formules clés : $P_A(B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ ; $P(B) = P(A)P_A(B) + P(\overline A)P_{\overline A}(B)$ ; Bayes : $P_B(A) = \dfrac{P(A)\,P_A(B)}{P(B)}$ ; indépendance : $P(A\cap B) = P(A)\,P(B)$.
Exercice 1
Arbre et probabilités totales

Dans un lycée, 55 % des élèves sont des filles. 40 % des filles et 30 % des garçons suivent l'option Maths complémentaires. On choisit un élève au hasard. On note $F$ « l'élève est une fille » et $O$ « l'élève suit l'option ».

  1. Construire un arbre pondéré.
  2. Calculer $P(F\cap O)$ et interpréter.
  3. Montrer que $P(O) = 0{,}355$.
  4. L'élève choisi suit l'option. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ?

a. Premier niveau : $F$ (0,55) et $\overline F$ (0,45). Second niveau : $O$ sachant $F$ (0,4), $\overline O$ sachant $F$ (0,6) ; $O$ sachant $\overline F$ (0,3), $\overline O$ sachant $\overline F$ (0,7).

b. On multiplie le long du chemin $F\to O$.

\[ P(F\cap O) = 0{,}55\times 0{,}4 = 0{,}22 \]

22 % des élèves sont des filles qui suivent l'option.

c. Formule des probabilités totales : on additionne les deux chemins menant à $O$.

\[ P(O) = 0{,}22 + 0{,}45\times 0{,}3 = 0{,}22 + 0{,}135 = 0{,}355 \]

d. On « inverse » le conditionnement : on cherche $P_O(F)$.

\[ P_O(F) = \frac{P(F\cap O)}{P(O)} = \frac{0{,}22}{0{,}355}\approx 0{,}620 \]

✔ Cohérent : les filles suivent davantage l'option, donc parmi les élèves de l'option leur proportion (62 %) dépasse leur proportion dans le lycée (55 %).

Exercice 2
Test diagnostique

Une maladie touche 0,5 % de la population. Un test de dépistage a une sensibilité de 99 % et une spécificité de 98 %. On note $M$ « la personne est malade » et $T$ « le test est positif ».

  1. Traduire les données en probabilités.
  2. Calculer $P(T)$.
  3. Calculer la valeur prédictive positive $P_T(M)$. Commenter.
  4. Une personne positive refait un second test, indépendant du premier. On prend comme nouvelle probabilité a priori d'être malade la valeur trouvée en c. Calculer la probabilité qu'elle soit malade si ce second test est aussi positif.

a. Prévalence, sensibilité, spécificité.

$P(M) = 0{,}005$ ; $P_M(T) = 0{,}99$ ; $P_{\overline M}(\overline T) = 0{,}98$, donc $P_{\overline M}(T) = 0{,}02$ (faux positifs).

b. Probabilités totales.

\[ P(T) = 0{,}005\times 0{,}99 + 0{,}995\times 0{,}02 = 0{,}00495 + 0{,}0199 = 0{,}02485 \]

c. Formule de Bayes.

\[ P_T(M) = \frac{0{,}00495}{0{,}02485}\approx 0{,}199 \]

🚨 Seulement 20 % des personnes positives sont malades ! La maladie est rare : sur 100 000 personnes, 495 vrais positifs contre 1 990 faux positifs.

d. On refait le calcul de Bayes avec la probabilité a priori $P(M) = 0{,}199$ (on raisonne désormais sur la population des « positifs »).

\[ P = \frac{0{,}199\times 0{,}99}{0{,}199\times 0{,}99 + 0{,}801\times 0{,}02} = \frac{0{,}19701}{0{,}19701 + 0{,}01602}\approx 0{,}925 \]

💡 C'est le principe de l'inférence bayésienne : chaque nouvelle observation met à jour la probabilité. Après deux tests positifs, le diagnostic devient très probable (92,5 %).

Exercice 3
Filtre anti-spam

Dans une messagerie, 60 % des courriels reçus sont des spams. Le mot « gratuit » apparaît dans 25 % des spams et dans 2 % des courriels légitimes. On note $S$ « le courriel est un spam » et $G$ « le courriel contient le mot gratuit ».

  1. Calculer $P(G)$.
  2. Un courriel contient « gratuit ». Quelle est la probabilité que ce soit un spam ?
  3. Un courriel ne contient pas « gratuit ». Quelle est la probabilité que ce soit un spam ?
  4. Le filtre classe automatiquement en spam les courriels contenant « gratuit ». Quelle proportion des courriels légitimes est classée à tort ?

a. Probabilités totales avec $P(S) = 0{,}6$, $P_S(G) = 0{,}25$, $P_{\overline S}(G) = 0{,}02$.

\[ P(G) = 0{,}6\times 0{,}25 + 0{,}4\times 0{,}02 = 0{,}15 + 0{,}008 = 0{,}158 \]

b. Formule de Bayes.

\[ P_G(S) = \frac{0{,}15}{0{,}158}\approx 0{,}949 \]

c. On travaille avec l'événement contraire $\overline G$ : $P(S\cap\overline G) = 0{,}6\times 0{,}75 = 0{,}45$ et $P(\overline G) = 1 - 0{,}158 = 0{,}842$.

\[ P_{\overline G}(S) = \frac{0{,}45}{0{,}842}\approx 0{,}534 \]

d. Ce sont les courriels légitimes contenant « gratuit » : c'est directement $P_{\overline S}(G)$.

2 % des courriels légitimes sont classés à tort. 💡 Les vrais filtres bayésiens combinent ainsi des dizaines de mots, en mettant à jour la probabilité mot après mot.

Exercice 4
Indépendance

Dans un club de 200 adhérents, 120 pratiquent la natation ($N$), 80 pratiquent la course à pied ($C$) et 48 pratiquent les deux. On choisit un adhérent au hasard.

  1. Les événements $N$ et $C$ sont-ils indépendants ?
  2. Calculer $P_N(C)$ et comparer à $P(C)$. Interpréter.
  3. Les événements $N$ et $\overline C$ sont-ils indépendants ?
  4. Le club accueille 50 nouveaux adhérents, tous nageurs et non coureurs. L'indépendance est-elle conservée ?

a. On compare $P(N\cap C)$ et $P(N)\times P(C)$.

\[ P(N) = \frac{120}{200} = 0{,}6 \qquad P(C) = \frac{80}{200} = 0{,}4 \qquad P(N\cap C) = \frac{48}{200} = 0{,}24 = 0{,}6\times 0{,}4 \]

$N$ et $C$ sont indépendants.

b. $P_N(C) = \dfrac{48}{120} = 0{,}4 = P(C)$.

Savoir qu'un adhérent nage ne change pas la probabilité qu'il coure : c'est le sens de l'indépendance.

c. Propriété du cours : si $N$ et $C$ sont indépendants, $N$ et $\overline C$ le sont aussi. Vérification :

\[ P(N\cap\overline C) = \frac{72}{200} = 0{,}36 = 0{,}6\times 0{,}6 = P(N)\times P(\overline C) \]

d. Nouveaux effectifs : 250 adhérents, 170 nageurs, 80 coureurs, 48 les deux.

\[ P(N)\,P(C) = \frac{170}{250}\times\frac{80}{250} = 0{,}2176 \neq 0{,}192 = \frac{48}{250} = P(N\cap C) \]

L'indépendance n'est plus vérifiée : c'est une propriété numérique fragile, qui dépend de la population.

Exercice 5
Urnes et jeu d'argent

On lance un dé équilibré. Si on obtient 6, on tire une boule dans l'urne $U_1$ (3 rouges, 2 noires), sinon dans l'urne $U_2$ (1 rouge, 4 noires). On note $R$ « la boule est rouge ».

  1. Calculer $P(R)$.
  2. La boule tirée est rouge. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de $U_1$ ?
  3. Les événements « tirer dans $U_1$ » et $R$ sont-ils indépendants ?
  4. Une boule rouge fait gagner 10 €, une boule noire fait perdre 3 €. On note $X$ le gain. Calculer $E(X)$. Le jeu est-il favorable au joueur ?

a. Arbre : $P(U_1) = \frac16$, $P_{U_1}(R) = \frac35$ ; $P(U_2) = \frac56$, $P_{U_2}(R) = \frac15$.

\[ P(R) = \frac16\times\frac35 + \frac56\times\frac15 = \frac{3}{30} + \frac{5}{30} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}\approx 0{,}267 \]

b. Formule de Bayes.

\[ P_R(U_1) = \frac{3/30}{8/30} = \frac38 = 0{,}375 \]

c. On compare $P_R(U_1)$ et $P(U_1)$.

$\frac38\neq\frac16$ : ils ne sont pas indépendants. Tirer une rouge rend l'urne $U_1$ plus probable (elle contient plus de rouges).

d. $X$ vaut $10$ avec probabilité $\frac{4}{15}$ et $-3$ avec probabilité $\frac{11}{15}$.

\[ E(X) = 10\times\frac{4}{15} - 3\times\frac{11}{15} = \frac{40 - 33}{15} = \frac{7}{15}\approx 0{,}47 \text{ €} \]

$E(X) > 0$ : le jeu est (légèrement) favorable au joueur, qui gagne en moyenne 47 centimes par partie.

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