Terminale · Maths complémentaires · Chapitre 6

Répartition des richesses, inégalités

Exercices corrigés — déciles, courbes de Lorenz et indice de Gini.

Ex. 1 — Déciles et rapport interdécile Ex. 2 — Courbe de Lorenz d'une série Ex. 3 — La fonction de Lorenz x² Ex. 4 — Une famille de fonctions de Lorenz Ex. 5 — Fonction de Lorenz exponentielle

Formules clés : rapport interdécile $\dfrac{D_9}{D_1}$ ; fonction de Lorenz : continue, croissante, $L(0) = 0$, $L(1) = 1$, $L(x)\leqslant x$ ; indice de Gini $G = 1 - 2\displaystyle\int_0^1 L(x)\,\mathrm{d}x$.

Exercice 1

Déciles et rapport interdécile

On compare les salaires mensuels nets dans deux pays A et B.

	$D_1$	Médiane	$D_9$
Pays A	1 100 €	1 900 €	3 800 €
Pays B	800 €	2 000 €	4 400 €

Interpréter les trois valeurs du pays A.
Calculer le rapport interdécile de chaque pays. Quel pays est le plus inégalitaire ?
Calculer, pour chaque pays, les rapports $\dfrac{D_9}{Me}$ et $\dfrac{Me}{D_1}$. D'où vient principalement l'inégalité dans le pays B ?

a. On traduit chaque indicateur en phrase.

Dans le pays A, 10 % des salariés gagnent moins de 1 100 € ; la moitié gagne moins de 1 900 € ; 10 % gagnent plus de 3 800 €.

b. On calcule $\dfrac{D_9}{D_1}$.

\[ \text{A} : \frac{3800}{1100}\approx 3{,}45 \qquad \text{B} : \frac{4400}{800} = 5{,}5 \]

Le pays B est le plus inégalitaire (selon cet indicateur) : les 10 % les mieux payés y gagnent au moins 5,5 fois plus que les 10 % les moins bien payés.

c. Ces rapports séparent le « haut » et le « bas » de la distribution.

\[ \text{A} : \frac{D_9}{Me}\approx 2{,}00,\ \frac{Me}{D_1}\approx 1{,}73 \qquad \text{B} : \frac{D_9}{Me} = 2{,}2,\ \frac{Me}{D_1} = 2{,}5 \]

Dans le pays B, c'est surtout le bas de la distribution qui est décroché ($Me/D_1 = 2{,}5$ contre 1,73) : les plus modestes sont loin de la médiane. ⚠ Le rapport interdécile ignore ce qui se passe au-dessus de $D_9$ (les très hauts revenus).

Exercice 2

Courbe de Lorenz d'une série

La répartition du patrimoine dans une ville, par quintiles (tranches de 20 % de la population, des plus modestes aux plus aisés), est la suivante :

Quintile	1^er	2^e	3^e	4^e	5^e
Part du patrimoine total	4 %	9 %	14 %	22 %	51 %

Calculer les parts cumulées et donner les coordonnées des points de la courbe de Lorenz.
Quelle part du patrimoine détiennent les 40 % les plus modestes ? Les 20 % les plus aisés ?
En approchant l'aire sous la courbe de Lorenz par une somme d'aires de trapèzes, estimer l'indice de Gini.

a. On additionne les parts au fur et à mesure.

$x$	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
$y$	0	0,04	0,13	0,27	0,49	1

Points : $(0\,;0)$, $(0{,}2\,;0{,}04)$, $(0{,}4\,;0{,}13)$, $(0{,}6\,;0{,}27)$, $(0{,}8\,;0{,}49)$, $(1\,;1)$.

b. On lit les parts cumulées.

Les 40 % les plus modestes détiennent 13 % du patrimoine ; les 20 % les plus aisés en détiennent $1 - 0{,}49 = $ 51 %.

c. Chaque trapèze a pour largeur $0{,}2$ et pour aire $0{,}2\times\dfrac{y_k + y_{k+1}}{2}$.

\[ \int_0^1 L\approx 0{,}1\times\big(0{,}04 + 0{,}17 + 0{,}40 + 0{,}76 + 1{,}49\big) = 0{,}1\times 2{,}86 = 0{,}286 \]

\[ G\approx 1 - 2\times 0{,}286 = 0{,}428 \]

💡 Un indice de 0,43 traduit une concentration assez forte, typique du patrimoine (toujours plus inégalitaire que les revenus).

Exercice 3

La fonction de Lorenz x²

On modélise la répartition des revenus d'un pays par la fonction $L(x) = x^2$ sur $[0\,;1]$.

Vérifier que $L$ est une fonction de Lorenz.
Quelle part du revenu total perçoivent les 50 % les plus modestes ? Les 10 % les plus riches ?
Calculer l'indice de Gini.

a. On vérifie les quatre conditions.

$L$ est un polynôme : continue, et $L'(x) = 2x\geqslant 0$ : croissante sur $[0\,;1]$ ;
$L(0) = 0$ et $L(1) = 1$ ;
pour $x\in[0\,;1]$, $x - x^2 = x(1-x)\geqslant 0$, donc $L(x)\leqslant x$.

b. $L(x)$ est la part du revenu perçue par la fraction $x$ la plus modeste.

\[ L(0{,}5) = 0{,}25 \qquad 1 - L(0{,}9) = 1 - 0{,}81 = 0{,}19 \]

Les 50 % les plus modestes perçoivent 25 % du revenu ; les 10 % les plus riches en perçoivent 19 %.

c. On applique $G = 1 - 2\int_0^1 L$.

\[ \int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13 \qquad G = 1 - \frac23 = \frac13\approx 0{,}33 \]

Exercice 4

Une famille de fonctions de Lorenz

Pour tout entier $n\geqslant 2$, on considère $L_n(x) = x^n$ sur $[0\,;1]$ (on admet que ce sont des fonctions de Lorenz).

Montrer que l'indice de Gini associé est $G_n = \dfrac{n-1}{n+1}$.
Étudier la limite de $G_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ et interpréter.
À partir de quelle valeur de $n$ l'indice dépasse-t-il 0,5 ?
Pour $n = 4$, quelle part du revenu perçoivent les 50 % les plus modestes ?

a. Une primitive de $x^n$ est $\frac{x^{n+1}}{n+1}$.

\[ \int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x = \frac{1}{n+1} \qquad G_n = 1 - \frac{2}{n+1} = \frac{n+1-2}{n+1} = \frac{n-1}{n+1} \]

b. Forme $\frac{\infty}{\infty}$ : on factorise par $n$.

\[ G_n = \frac{1 - \frac1n}{1 + \frac1n}\longrightarrow 1 \]

Quand $n$ grandit, la courbe de Lorenz s'écrase vers l'axe des abscisses : la quasi-totalité du revenu est concentrée chez une infime minorité. On tend vers l'inégalité maximale.

c. On résout $\dfrac{n-1}{n+1} > 0{,}5$ (avec $n + 1 > 0$).

\[ n - 1 > 0{,}5n + 0{,}5 \iff 0{,}5n > 1{,}5 \iff n > 3 \]

L'indice dépasse 0,5 à partir de $n = 4$ ($G_4 = \frac35 = 0{,}6$).

d. On calcule $L_4(0{,}5)$.

\[ 0{,}5^4 = 0{,}0625 \]

Seulement 6,25 % du revenu pour la moitié la plus modeste de la population.

Exercice 5

Fonction de Lorenz exponentielle

On considère la fonction $L$ définie sur $[0\,;1]$ par $L(x) = \dfrac{\mathrm{e}^{x} - 1}{\mathrm{e} - 1}$.

Calculer $L(0)$ et $L(1)$, puis montrer que $L$ est croissante et convexe sur $[0\,;1]$.
En utilisant la convexité, justifier que la courbe de $L$ est en dessous de la droite joignant ses extrémités, c'est-à-dire que $L(x)\leqslant x$. Conclure.
Calculer l'indice de Gini associé à $L$ (valeur exacte, puis arrondie au millième).
Comparer avec la répartition modélisée par $x\mapsto x^2$ (indice $\frac13$).

a. On calcule les valeurs, puis les dérivées première et seconde.

\[ L(0) = \frac{1 - 1}{\mathrm{e} - 1} = 0 \qquad L(1) = \frac{\mathrm{e} - 1}{\mathrm{e} - 1} = 1 \qquad L'(x) = L''(x) = \frac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e} - 1} > 0 \]

$L' > 0$ : $L$ est croissante ; $L'' > 0$ : $L$ est convexe.

b. Une fonction convexe est située en dessous de ses cordes. La corde joignant $(0\,;0)$ et $(1\,;1)$ est la droite $y = x$.

Donc $L(x)\leqslant x$ sur $[0\,;1]$. Avec la continuité et les valeurs aux bornes, $L$ est bien une fonction de Lorenz.

c. Une primitive de $\mathrm{e}^x - 1$ est $\mathrm{e}^x - x$.

\[ \int_0^1 L(x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{\mathrm{e} - 1}\Big[\mathrm{e}^x - x\Big]_0^1 = \frac{(\mathrm{e} - 1) - 1}{\mathrm{e} - 1} = \frac{\mathrm{e} - 2}{\mathrm{e} - 1} \]

\[ G = 1 - \frac{2(\mathrm{e} - 2)}{\mathrm{e} - 1} = \frac{\mathrm{e} - 1 - 2\mathrm{e} + 4}{\mathrm{e} - 1} = \frac{3 - \mathrm{e}}{\mathrm{e} - 1}\approx 0{,}164 \]

d. On compare les indices.

$0{,}164 < 0{,}333$ : la répartition modélisée par $L$ est nettement moins inégalitaire. Graphiquement, sa courbe est plus proche de la droite d'égalité (par exemple $L(0{,}5)\approx 0{,}38$ contre $0{,}25$).