Terminale · Maths complémentaires · Chapitre 5

Calculs d'aires

Exercices corrigés — intégrales, aires, valeur moyenne et méthode des rectangles.
Ex. 1 — Calculs d'intégrales Ex. 2 — Aire sous une parabole Ex. 3 — Aire entre deux courbes Ex. 4 — Pharmacocinétique Ex. 5 — Méthode des rectangles
Formules clés : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$ ; aire entre deux courbes $\displaystyle\int_a^b (f - g)$ si $f\geqslant g$ ; valeur moyenne $\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$.
Exercice 1
Calculs d'intégrales

Calculer les intégrales suivantes.

  1. $\displaystyle I = \int_1^3 (2x+1)\,\mathrm{d}x$
  2. $\displaystyle J = \int_0^1 \mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x$
  3. $\displaystyle K = \int_1^{\mathrm{e}} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$
  4. $\displaystyle L = \int_{-1}^{2} (x^2 - 1)\,\mathrm{d}x$. Ce résultat représente-t-il une aire ?

a. Une primitive de $2x + 1$ est $x^2 + x$.

\[ I = \Big[x^2 + x\Big]_1^3 = (9 + 3) - (1 + 1) = 10 \]

b. Une primitive de $\mathrm{e}^{2x}$ est $\frac12\mathrm{e}^{2x}$.

\[ J = \left[\frac12\mathrm{e}^{2x}\right]_0^1 = \frac{\mathrm{e}^2 - 1}{2}\approx 3{,}19 \]

c. Une primitive de $\frac1x$ sur $]0\,;+\infty[$ est $\ln x$.

\[ K = \Big[\ln x\Big]_1^{\mathrm{e}} = \ln\mathrm{e} - \ln 1 = 1 \]

d. Une primitive de $x^2 - 1$ est $\frac{x^3}{3} - x$.

\[ L = \left[\frac{x^3}{3} - x\right]_{-1}^{2} = \left(\frac83 - 2\right) - \left(-\frac13 + 1\right) = \frac23 - \frac23 = 0 \]

⚠ Ce n'est pas une aire : $x^2 - 1$ est négative sur $]-1\,;1[$ et positive sur $]1\,;2]$. Les deux parties se compensent exactement. L'aire réelle vaut $\displaystyle -\int_{-1}^1 (x^2-1)\,\mathrm{d}x + \int_1^2 (x^2-1)\,\mathrm{d}x = \frac43 + \frac43 = \frac83$ u.a.

Exercice 2
Aire sous une parabole

On considère $f(x) = -x^2 + 4x$ sur $[0\,;4]$. Le repère est tel que 1 unité sur l'axe des abscisses mesure 1 cm et 1 unité sur l'axe des ordonnées mesure 2 cm.

  1. Montrer que $f$ est positive sur $[0\,;4]$.
  2. Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 4$.
  3. Convertir cette aire en cm².
  4. Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[0\,;4]$ et l'interpréter graphiquement.

a. On factorise : $f(x) = x(4 - x)$.

Sur $[0\,;4]$, $x\geqslant 0$ et $4 - x\geqslant 0$, donc $f(x)\geqslant 0$.

b. $f$ étant positive, l'aire est l'intégrale. Une primitive est $-\frac{x^3}{3} + 2x^2$.

\[ \mathcal{A} = \int_0^4 (-x^2 + 4x)\,\mathrm{d}x = \left[-\frac{x^3}{3} + 2x^2\right]_0^4 = -\frac{64}{3} + 32 = \frac{32}{3}\approx 10{,}67 \text{ u.a.} \]

c. Une unité d'aire est un rectangle de $1\text{ cm}\times 2\text{ cm} = 2$ cm².

\[ \mathcal{A} = \frac{32}{3}\times 2 = \frac{64}{3}\approx 21{,}33 \text{ cm}^2 \]

d. On applique $\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f$.

\[ \mu = \frac14\times\frac{32}{3} = \frac83\approx 2{,}67 \]

Le rectangle de base $[0\,;4]$ et de hauteur $\frac83$ a la même aire que le domaine sous la parabole (dont le maximum vaut $f(2) = 4$). ✔ Cohérent : $\mu$ est entre $0$ et $4$.

Exercice 3
Aire entre deux courbes

On considère $f(x) = x^2$ et $g(x) = 2x + 3$.

  1. Déterminer les abscisses des points d'intersection des deux courbes.
  2. Étudier la position relative des deux courbes entre ces points.
  3. Calculer l'aire du domaine délimité par les deux courbes.

a. On résout $f(x) = g(x)$, soit $x^2 - 2x - 3 = 0$. $\Delta = 4 + 12 = 16$.

\[ x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \qquad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \]

b. On étudie le signe de $g(x) - f(x) = -x^2 + 2x + 3 = -(x+1)(x-3)$.

Ce trinôme (coefficient $-1 < 0$) est positif entre ses racines : sur $[-1\,;3]$, $g\geqslant f$, la droite est au-dessus de la parabole.

c. L'aire est $\int_{-1}^{3}(g - f)$. Une primitive de $-x^2 + 2x + 3$ est $-\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x$.

\[ \mathcal{A} = \left[-\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x\right]_{-1}^{3} = (-9 + 9 + 9) - \left(\frac13 + 1 - 3\right) = 9 + \frac53 = \frac{32}{3} \text{ u.a.} \]

🚨 On intègre toujours « celle du dessus moins celle du dessous », sinon on obtient l'opposé de l'aire.

Exercice 4
Pharmacocinétique

Après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang (en mg/L) est modélisée par $C(t) = 10t\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$, $t$ en heures, $t\in[0\,;6]$.

  1. Vérifier que $F(t) = -(20t + 40)\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ est une primitive de $C$ sur $[0\,;6]$.
  2. En pharmacologie, l'aire sous la courbe (ASC) mesure l'exposition de l'organisme au médicament. Calculer $\displaystyle\int_0^6 C(t)\,\mathrm{d}t$.
  3. En déduire la concentration moyenne sur les 6 premières heures.

a. On dérive $F$ comme un produit $uv$ avec $u = -(20t + 40)$, $u' = -20$, $v = \mathrm{e}^{-0{,}5t}$, $v' = -0{,}5\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$.

\[ F'(t) = -20\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} + (20t + 40)\times 0{,}5\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} = (-20 + 10t + 20)\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} = 10t\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} = C(t) \]

b. On utilise $F(6) - F(0)$.

\[ \int_0^6 C(t)\,\mathrm{d}t = -160\,\mathrm{e}^{-3} - (-40) = 40 - 160\,\mathrm{e}^{-3}\approx 32{,}03 \text{ mg}\cdot\text{h/L} \]

c. On divise par la durée $6 - 0 = 6$.

\[ \mu = \frac{40 - 160\,\mathrm{e}^{-3}}{6}\approx 5{,}34 \text{ mg/L} \]

💡 Le pic de concentration est atteint en $t = 2$ ($C'(t) = (10 - 5t)\mathrm{e}^{-0{,}5t}$), où $C(2) = 20\,\mathrm{e}^{-1}\approx 7{,}36$ mg/L : la moyenne est logiquement inférieure au pic.

Exercice 5
Méthode des rectangles

On souhaite estimer $\displaystyle I = \int_0^1 \mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x$, dont on ne connaît pas de primitive explicite. On note $f(x) = \mathrm{e}^{-x^2}$.

  1. Montrer que $f$ est décroissante sur $[0\,;1]$.
  2. On partage $[0\,;1]$ en 4 intervalles de largeur $0{,}25$. Calculer la somme $s_4$ des aires des rectangles « à droite » et la somme $S_4$ des rectangles « à gauche ». Justifier que $s_4\leqslant I\leqslant S_4$.
  3. Plus généralement, avec $n$ intervalles, on admet que $S_n - s_n = \dfrac{f(0) - f(1)}{n}$. Combien d'intervalles faut-il pour encadrer $I$ à $0{,}01$ près ?
  4. Écrire une fonction Python rectangles(n) renvoyant $S_n$.

a. $f'(x) = -2x\,\mathrm{e}^{-x^2}$, négatif sur $[0\,;1]$ : $f$ est décroissante.

b. On calcule les valeurs de $f$ aux bornes des intervalles.

$x$00,250,50,751
$f(x)$10,93940,77880,56980,3679
\[ S_4 = 0{,}25\,(1 + 0{,}9394 + 0{,}7788 + 0{,}5698)\approx 0{,}822 \qquad s_4 = 0{,}25\,(0{,}9394 + 0{,}7788 + 0{,}5698 + 0{,}3679)\approx 0{,}664 \]

$f$ étant décroissante, sur chaque intervalle le rectangle « à gauche » dépasse la courbe et le rectangle « à droite » reste en dessous : $0{,}664\leqslant I\leqslant 0{,}822$.

c. On veut $S_n - s_n\leqslant 0{,}01$, avec $f(0) - f(1) = 1 - \mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}632$.

\[ \frac{0{,}632}{n}\leqslant 0{,}01 \iff n\geqslant 63{,}2 \]

Il faut 64 intervalles. On obtient alors $I\approx 0{,}747$.

d. On somme les $h\times f(x_k)$ pour $x_k = k\,h$, $k$ de $0$ à $n-1$.

from math import exp
def rectangles(n):
    h = 1 / n
    S = 0
    for k in range(n):
        S = S + h * exp(-(k*h)**2)
    return S

© 2026 Pierre Carrée · Nantes — Tous droits réservés