Terminale · Maths complémentaires · Chapitre 4

Fonction logarithme

Exercices corrigés — logarithme népérien, équations, seuils et modèles.
Ex. 1 — Propriétés algébriques Ex. 2 — Équations et inéquations Ex. 3 — Étude d'une fonction Ex. 4 — Demi-vie radioactive Ex. 5 — Offre, demande et prix d'équilibre
Formules clés : pour $x>0$, $\mathrm{e}^{y} = x \iff y = \ln x$ ; $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ; $\ln(a^n) = n\ln a$ ; $(\ln x)' = \dfrac1x$ ; $\ln q < 0$ si $0<q<1$.
Exercice 1
Propriétés algébriques
  1. Exprimer $\ln 72$ en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$.
  2. Exprimer $\ln\dfrac{9}{16}$ en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$.
  3. Calculer $B = \ln(\mathrm{e}^2) - \ln\sqrt{\mathrm{e}}$.
  4. Simplifier $C = \mathrm{e}^{2\ln 3}$ et $D = \ln 50 + \ln 2 - 2\ln 10$.

a. On décompose $72$ en facteurs premiers : $72 = 2^3\times 3^2$, puis $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ et $\ln(a^n) = n\ln a$.

\[ \ln 72 = \ln(2^3) + \ln(3^2) = 3\ln 2 + 2\ln 3 \]

b. Quotient : $\ln\frac ab = \ln a - \ln b$, avec $9 = 3^2$ et $16 = 2^4$.

\[ \ln\frac{9}{16} = 2\ln 3 - 4\ln 2 \]

c. $\ln(\mathrm{e}^x) = x$ et $\sqrt{\mathrm{e}} = \mathrm{e}^{1/2}$.

\[ B = 2 - \frac12 = \frac32 \]

d. $2\ln 3 = \ln 9$ et $\mathrm{e}^{\ln x} = x$ ; pour $D$, on regroupe tout en un seul logarithme.

\[ C = \mathrm{e}^{\ln 9} = 9 \qquad D = \ln\frac{50\times 2}{10^2} = \ln 1 = 0 \]

⚠ Il n'existe aucune formule pour $\ln(a+b)$ : $\ln 5 \neq \ln 2 + \ln 3$.

Exercice 2
Équations et inéquations

Résoudre dans l'intervalle indiqué :

  1. $\mathrm{e}^{3x} = 7$ sur $\mathbb{R}$ ;
  2. $\ln(2x-1) = 2$ sur $]\tfrac12\,;+\infty[$ ;
  3. $\ln(x+1)\leqslant 0$ sur $]-1\,;+\infty[$ ;
  4. $2\,\mathrm{e}^{-0{,}5x} > 1$ sur $\mathbb{R}$.

a. On passe au logarithme : $\mathrm{e}^{X} = k \iff X = \ln k$ pour $k > 0$.

\[ 3x = \ln 7 \iff x = \frac{\ln 7}{3}\approx 0{,}649 \]

b. On passe à l'exponentielle : $\ln X = k \iff X = \mathrm{e}^k$.

\[ 2x - 1 = \mathrm{e}^2 \iff x = \frac{\mathrm{e}^2 + 1}{2}\approx 4{,}19 \]

✔ Cette valeur est bien dans $]\tfrac12\,;+\infty[$.

c. $\ln$ est strictement croissante et $\ln 1 = 0$ : $\ln X\leqslant 0 \iff 0 < X\leqslant 1$.

\[ x + 1\leqslant 1 \iff x\leqslant 0 \qquad S = \,]-1\,;0] \]

d. On isole l'exponentielle, puis on applique $\ln$, qui conserve l'ordre.

\[ \mathrm{e}^{-0{,}5x} > \frac12 \iff -0{,}5x > \ln\frac12 = -\ln 2 \iff x < 2\ln 2 \]

$S = \,]-\infty\,;2\ln 2[$, avec $2\ln 2\approx 1{,}386$. ⚠ En divisant par $-0{,}5$, on a changé le sens de l'inégalité.

Exercice 3
Étude d'une fonction

Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x) = x\ln x - x$.

  1. Montrer que $f'(x) = \ln x$.
  2. Étudier les variations de $f$ et préciser son minimum.
  3. Résoudre $f(x) = 0$ sur $]0\,;+\infty[$.
  4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $\mathrm{e}$.

a. $x\ln x$ est un produit $uv$ avec $u = x$, $u' = 1$, $v = \ln x$, $v' = \frac1x$.

\[ f'(x) = 1\times\ln x + x\times\frac1x - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x \]

b. $\ln x < 0$ sur $]0\,;1[$ et $\ln x > 0$ sur $]1\,;+\infty[$.

$x$$0$$1$$+\infty$
$f'(x)$‖$-$$0$$+$
$f$‖↘$-1$↗

Minimum : $f(1) = 1\times 0 - 1 = -1$.

c. On factorise par $x$, qui est non nul.

\[ x(\ln x - 1) = 0 \iff \ln x = 1 \iff x = \mathrm{e} \]

d. $f(\mathrm{e}) = 0$ (question c) et $f'(\mathrm{e}) = \ln\mathrm{e} = 1$.

\[ y = 1\times(x - \mathrm{e}) + 0 \quad\text{soit}\quad y = x - \mathrm{e} \]
Exercice 4
Demi-vie radioactive

L'iode 131, utilisé en médecine nucléaire, perd chaque jour 8,3 % de ses noyaux radioactifs. Un échantillon contient initialement $N_0$ noyaux ; on note $N_n$ le nombre de noyaux restants au bout de $n$ jours.

  1. Justifier que $N_n = N_0\times 0{,}917^n$.
  2. La demi-vie est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux a disparu. Déterminer la demi-vie de l'iode 131, en jours.
  3. Au bout de combien de jours reste-t-il moins de 1 % des noyaux initiaux ?

a. Perdre 8,3 % revient à multiplier par $1 - 0{,}083 = 0{,}917$ chaque jour : $(N_n)$ est géométrique de raison $0{,}917$.

\[ N_n = N_0\times 0{,}917^n \]

b. On cherche $n$ tel que $N_n\leqslant\frac{N_0}{2}$, soit $0{,}917^n\leqslant 0{,}5$. On applique $\ln$ (croissante) puis on divise par $\ln 0{,}917 < 0$.

\[ n\ln 0{,}917\leqslant\ln 0{,}5 \iff n\geqslant\frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}917}\approx 8{,}0 \]

La demi-vie de l'iode 131 est d'environ 8 jours (valeur tabulée : 8,02 jours ✔).

c. Même méthode avec $0{,}917^n < 0{,}01$.

\[ n > \frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}917}\approx 53{,}1 \]

Il faut 54 jours. 💡 Vérification : $0{,}01\approx\left(\frac12\right)^{6{,}64}$, soit environ 6,6 demi-vies de 8 jours, ce qui donne bien 53 jours.

🚨 Piège : $\ln 0{,}917 < 0$, la division renverse l'inégalité.

Exercice 5
Offre, demande et prix d'équilibre

Pour un produit vendu au prix $p$ (en euros), $p\in[1\,;20]$, on modélise :

  • la demande (en milliers d'unités) par $d(p) = 100 - 20\ln p$ ;
  • l'offre (en milliers d'unités) par $o(p) = 10 + 15\ln p$.
  1. Étudier le sens de variation de $d$ et de $o$. Ces résultats sont-ils cohérents économiquement ?
  2. Pour quel prix la demande vaut-elle 50 000 unités ?
  3. Le prix d'équilibre est le prix pour lequel l'offre est égale à la demande. Le déterminer (valeur exacte et arrondie au centime), ainsi que la quantité échangée.

a. On dérive, sachant que $(\ln p)' = \frac1p$.

\[ d'(p) = -\frac{20}{p} < 0 \qquad o'(p) = \frac{15}{p} > 0 \]

La demande diminue quand le prix augmente, l'offre augmente : c'est cohérent (les producteurs produisent plus si le prix est élevé, les consommateurs achètent moins).

b. On résout $d(p) = 50$.

\[ 100 - 20\ln p = 50 \iff \ln p = 2{,}5 \iff p = \mathrm{e}^{2{,}5}\approx 12{,}18 \text{ €} \]

c. On résout $d(p) = o(p)$ en regroupant les logarithmes.

\[ 100 - 20\ln p = 10 + 15\ln p \iff 35\ln p = 90 \iff \ln p = \frac{18}{7} \iff p = \mathrm{e}^{18/7}\approx 13{,}09 \text{ €} \]
\[ d\left(\mathrm{e}^{18/7}\right) = 100 - 20\times\frac{18}{7} = \frac{340}{7}\approx 48{,}57 \]

Au prix d'équilibre d'environ 13,09 €, environ 48 570 unités sont échangées. ✔ Le prix d'équilibre est supérieur à 12,18 € : à ce prix, la demande est bien inférieure à 50 000.

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