Terminale · Maths complémentaires · Chapitre 3

Évolution : modèles continus

Exercices corrigés — limites, primitives et équations différentielles.
Ex. 1 — Limites et asymptotes Ex. 2 — Primitives Ex. 3 — Décharge d'un condensateur Ex. 4 — Chute dans un fluide visqueux Ex. 5 — Perfusion
Formules clés : $\lim\limits_{t\to+\infty}\mathrm{e}^{-kt} = 0$ ($k>0$) ; $F$ primitive de $f \iff F' = f$ ; $y' = ay \Rightarrow y = C\mathrm{e}^{ax}$ ; $y' = ay+b \Rightarrow y = C\mathrm{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}$.
Exercice 1
Limites et asymptotes
  1. Déterminer $\lim\limits_{x\to+\infty} \left(3 - 2\mathrm{e}^{-x}\right)$.
  2. Déterminer $\lim\limits_{x\to+\infty} \left(x^2 - 5x\right)$.
  3. Déterminer $\lim\limits_{x\to+\infty} \left(\mathrm{e}^{x} - x\right)$, en factorisant par $\mathrm{e}^x$.
  4. Soit $f(x) = \dfrac{x+2}{x-1}$ sur $]1\,;+\infty[$. Déterminer les limites de $f$ en $1$ et en $+\infty$ et en déduire les asymptotes de sa courbe.

a. $\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-x} = 0$.

\[ \lim_{x\to+\infty} \left(3 - 2\mathrm{e}^{-x}\right) = 3 - 0 = 3 \]

b. Forme $\infty - \infty$ : on factorise par $x^2$.

\[ x^2 - 5x = x^2\left(1 - \frac5x\right) \qquad x^2\to+\infty,\ 1 - \frac5x\to 1 \quad\Longrightarrow\quad \lim = +\infty \]

c. Encore $\infty - \infty$ ; on factorise par $\mathrm{e}^x$ et on utilise la croissance comparée $\lim\limits_{x\to+\infty} x\,\mathrm{e}^{-x} = 0$.

\[ \mathrm{e}^x - x = \mathrm{e}^x\left(1 - x\,\mathrm{e}^{-x}\right) \qquad \mathrm{e}^x\to+\infty,\ 1 - x\mathrm{e}^{-x}\to 1 \quad\Longrightarrow\quad \lim = +\infty \]

d. En $1^+$ : le numérateur tend vers $3$ et le dénominateur vers $0$ par valeurs positives.

\[ \lim_{x\to 1^+} f(x) = +\infty \qquad\qquad f(x) = \frac{1+\frac2x}{1-\frac1x} \xrightarrow[x\to+\infty]{} 1 \]

La courbe admet une asymptote verticale d'équation $x = 1$ et une asymptote horizontale d'équation $y = 1$ en $+\infty$.

Exercice 2
Primitives
  1. Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué :
    • $f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 5$ sur $\mathbb{R}$ ;
    • $g(x) = \mathrm{e}^{-3x}$ sur $\mathbb{R}$ ;
    • $h(x) = \dfrac{1}{x^2} + 2x$ sur $]0\,;+\infty[$ ;
    • $k(x) = 2x\,\mathrm{e}^{x^2}$ sur $\mathbb{R}$.
  2. Déterminer la primitive $F$ de $f$ telle que $F(1) = 0$.

a. On utilise le tableau des primitives usuelles, terme à terme.

\[ F(x) = x^4 - x^3 + 5x \qquad G(x) = -\frac13\,\mathrm{e}^{-3x} \qquad H(x) = -\frac1x + x^2 \]

Pour $k$, on reconnaît la forme $u'\,\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x) = x^2$, $u'(x) = 2x$ :

\[ K(x) = \mathrm{e}^{x^2} \]

✔ Vérification express : $G'(x) = -\frac13\times(-3)\,\mathrm{e}^{-3x} = \mathrm{e}^{-3x} = g(x)$.

b. Les primitives de $f$ sont $x^4 - x^3 + 5x + C$ ; on détermine $C$ avec la condition.

\[ F(1) = 1 - 1 + 5 + C = 0 \iff C = -5 \qquad F(x) = x^4 - x^3 + 5x - 5 \]
Exercice 3
Décharge d'un condensateur

Lors de la décharge d'un condensateur dans une résistance, la tension $u$ (en volts) à ses bornes vérifie, pour $t\geqslant 0$ en secondes :

\[ u'(t) = -2\,u(t) \qquad u(0) = 12. \]
  1. Donner la forme générale des solutions de l'équation $y' = -2y$.
  2. Déterminer l'expression de $u(t)$.
  3. Calculer la tension au bout d'une seconde, à $0{,}01$ V près.
  4. Déterminer $\lim\limits_{t\to+\infty} u(t)$ et interpréter.

a. Équation $y' = ay$ avec $a = -2$.

\[ y(t) = C\,\mathrm{e}^{-2t},\quad C\in\mathbb{R} \]

b. On utilise la condition initiale $u(0) = 12$ ; comme $\mathrm{e}^0 = 1$, $C = 12$.

\[ u(t) = 12\,\mathrm{e}^{-2t} \]

c. On remplace $t$ par $1$.

\[ u(1) = 12\,\mathrm{e}^{-2}\approx 1{,}62 \text{ V} \]

d. $\lim\limits_{t\to+\infty} \mathrm{e}^{-2t} = 0$.

$\lim\limits_{t\to+\infty} u(t) = 0$ : le condensateur se décharge complètement. Au bout d'une seconde, il ne reste déjà que $\mathrm{e}^{-2}\approx 13{,}5\,\%$ de la tension initiale.

Exercice 4
Chute dans un fluide visqueux

Une bille lâchée sans vitesse initiale dans de l'huile a une vitesse $v(t)$ (en m·s⁻¹) qui vérifie :

\[ v'(t) = -2\,v(t) + 9{,}8 \qquad v(0) = 0. \]
  1. Déterminer la solution constante de l'équation $y' = -2y + 9{,}8$.
  2. En déduire l'expression de $v(t)$.
  3. Montrer que la vitesse est croissante et déterminer la vitesse limite.
  4. À l'aide de la calculatrice, déterminer à partir de quel instant la vitesse dépasse 95 % de la vitesse limite.

a. Une constante a une dérivée nulle : $0 = -2y + 9{,}8$, ou directement $-\dfrac ba$.

\[ y = -\frac{9{,}8}{-2} = 4{,}9 \]

b. Solutions générales $v(t) = C\,\mathrm{e}^{-2t} + 4{,}9$, puis condition initiale.

\[ v(0) = C + 4{,}9 = 0 \iff C = -4{,}9 \qquad v(t) = 4{,}9\left(1 - \mathrm{e}^{-2t}\right) \]

c. On dérive : $v'(t) = 4{,}9\times 2\,\mathrm{e}^{-2t} = 9{,}8\,\mathrm{e}^{-2t} > 0$.

La vitesse est strictement croissante. Comme $\mathrm{e}^{-2t}\to 0$, $\lim\limits_{t\to+\infty} v(t) = 4{,}9$ m·s⁻¹ : c'est la vitesse limite.

d. On cherche $t$ tel que $v(t)\geqslant 0{,}95\times 4{,}9$, c'est-à-dire $1 - \mathrm{e}^{-2t}\geqslant 0{,}95$, soit $\mathrm{e}^{-2t}\leqslant 0{,}05$.

\[ \mathrm{e}^{-2\times 1{,}49}\approx 0{,}0508 \qquad \mathrm{e}^{-2\times 1{,}5}\approx 0{,}0498 \]

La vitesse dépasse 95 % de la vitesse limite à partir de $t\approx 1{,}5$ s. 💡 Au chapitre suivant, le logarithme donnera la valeur exacte $t = \dfrac{\ln 20}{2}$.

Exercice 5
Perfusion

Un patient reçoit un médicament par perfusion continue. La quantité $Q(t)$ de médicament dans le sang (en mg), $t$ en heures, vérifie :

\[ Q'(t) = -0{,}2\,Q(t) + 4 \qquad Q(0) = 0. \]
  1. Interpréter les deux termes $-0{,}2\,Q(t)$ et $4$ de l'équation.
  2. Résoudre l'équation et montrer que $Q(t) = 20\left(1 - \mathrm{e}^{-0{,}2t}\right)$.
  3. Étudier les variations et la convexité de $Q$ sur $[0\,;+\infty[$.
  4. Déterminer la limite de $Q$ en $+\infty$ et l'interpréter.
  5. Le médicament est efficace au-delà de 18 mg. À partir de quand l'est-il (à 0,1 h près) ?

a. On lit l'équation comme un bilan « ce qui sort / ce qui entre ».

$-0{,}2\,Q(t)$ : l'organisme élimine en permanence 20 % par heure de la quantité présente. $4$ : la perfusion apporte 4 mg par heure.

b. Forme $y' = ay + b$ avec $a = -0{,}2$, $b = 4$ : solution particulière $-\dfrac ba = \dfrac{4}{0{,}2} = 20$.

\[ Q(t) = C\,\mathrm{e}^{-0{,}2t} + 20 \qquad Q(0) = C + 20 = 0 \iff C = -20 \qquad Q(t) = 20\left(1 - \mathrm{e}^{-0{,}2t}\right) \]

c. On dérive deux fois.

\[ Q'(t) = 20\times 0{,}2\,\mathrm{e}^{-0{,}2t} = 4\,\mathrm{e}^{-0{,}2t} > 0 \qquad Q''(t) = -0{,}8\,\mathrm{e}^{-0{,}2t} < 0 \]

$Q$ est croissante et concave : la quantité augmente, mais de moins en moins vite.

d. $\lim\limits_{t\to+\infty}\mathrm{e}^{-0{,}2t} = 0$ donc $\lim\limits_{t\to+\infty} Q(t) = 20$.

La quantité se stabilise à 20 mg : c'est l'équilibre où l'élimination ($0{,}2\times 20 = 4$ mg/h) compense exactement l'apport.

e. $Q(t)\geqslant 18 \iff 1 - \mathrm{e}^{-0{,}2t}\geqslant 0{,}9 \iff \mathrm{e}^{-0{,}2t}\leqslant 0{,}1$. On balaye à la calculatrice.

\[ \mathrm{e}^{-0{,}2\times 11{,}5}\approx 0{,}1003 \qquad \mathrm{e}^{-0{,}2\times 11{,}6}\approx 0{,}0983 \]

Le médicament est efficace à partir de 11,6 h environ. ✔ Cohérent : il faut s'approcher à 10 % du plateau, ce qui prend plusieurs « temps caractéristiques » $\frac{1}{0{,}2} = 5$ h.

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