Guide de résolution — Bac Polynésie J2 17 juin 2026

Exercice 1 (5 points) — Partie A

Dans cet exercice, on s'intéresse à la part des filles et des garçons s'orientant vers des études scientifiques après avoir suivi un enseignement de spécialité mathématiques en terminale.

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Dans une académie donnée, la population est constituée d'élèves de terminale ayant choisi la spécialité mathématiques. On souhaite analyser leurs choix d'orientation, notamment vers les études supérieures en ingénierie.

Les répartitions sont les suivantes :

40 % sont des filles ; 60 % sont des garçons ;
parmi les filles, 33,75 % envisagent des études d'ingénieur ;
parmi les garçons, 54,25 % envisagent des études d'ingénieur.

On interroge uniformément au hasard un élève de terminale ayant choisi la spécialité mathématiques de cette académie et on considère les évènements suivants :

\(F\) : « L'élève est une fille » ;
\(I\) : « L'élève envisage des études d'ingénieur ».

Pour un évènement \(E\) quelconque, on note \(\overline{E}\) l'évènement contraire et \(P(E)\) la probabilité de \(E\).

Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
Calculer la probabilité que l'élève choisi au hasard soit une fille envisageant des études d'ingénieur.
Démontrer que la probabilité que l'élève choisi au hasard envisage des études d'ingénieur est égale à \(0{,}4605\).
L'élève interrogé envisage des études d'ingénieur. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'une fille ?
Donner une valeur approchée du résultat à \(10^{-3}\) près.

Méthodes de cours

Premier niveau : les branches \(F\) et \(\overline{F}\) (fille / garçon) avec leurs probabilités. Second niveau : depuis chaque branche, les sous-branches \(I\) et \(\overline{I}\).

Les pourcentages « parmi les filles » et « parmi les garçons » sont des probabilités conditionnelles \(P_F(I)\) et \(P_{\overline{F}}(I)\).

💡 Vérifie que les deux branches issues d'un même nœud ont une somme égale à \(1\) (par exemple \(P_F(\overline{I}) = 1 - P_F(I)\)).

La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches :

\[P(F \cap I) = P(F) \times P_F(I).\]

💡 Multiplie la proportion de filles par la probabilité conditionnelle « envisage ingénieur sachant fille ».

\(F\) et \(\overline{F}\) forment une partition de l'univers, donc :

\[P(I) = P(F)\,P_F(I) + P(\overline{F})\,P_{\overline{F}}(I).\]

💡 Additionne les deux chemins menant à \(I\) ; tu dois retrouver exactement \(0{,}4605\).

On cherche \(P_I(F)\) : l'orientation ingénieur est connue, on remonte vers « fille ».

\[P_I(F) = \frac{P(F \cap I)}{P(I)}.\]

💡 Le numérateur vient de la Q2, le dénominateur de la Q3. Pense à l'arrondi à \(10^{-3}\) demandé.

Exercice 1 (5 points) — Partie B

Dans cette partie, on considère un entier naturel \(n\) non nul.

On interroge uniformément au hasard dans cette académie \(n\) filles en terminale, qu'elles suivent ou non la spécialité mathématiques. On suppose que ce nombre de filles est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à des tirages indépendants avec remise.

On note \(X\) la variable aléatoire qui modélise le nombre de filles envisageant de devenir ingénieure qu'elle suive ou non la spécialité mathématiques.

On admet que la probabilité qu'une fille souhaite devenir ingénieure est égale à \(0{,}15\).

1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale.
2. Exprimer en fonction de \(n\) l'espérance de \(X\).
En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit nombre de lycéennes qu'il faut interroger pour que la probabilité de l'évènement « Au moins une fille parmi celles interrogées souhaite devenir ingénieure » soit supérieure ou égale à \(0{,}99\).
Dans cette question, on choisit un échantillon de \(n = 29\) filles.
Déterminer la probabilité qu'au moins le quart des filles interrogées souhaite devenir ingénieure. Donner une valeur approchée du résultat à \(10^{-3}\) près.

Méthodes de cours

Une loi binomiale apparaît lors de la répétition de \(n\) épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, chacune à deux issues (succès / échec).

💡 Identifie l'épreuve, le succès (« souhaite devenir ingénieure », de probabilité \(0{,}15\)), le nombre de répétitions \(n\) et l'indépendance (tirages assimilés à avec remise). Conclus \(X \sim \mathcal{B}(n\,;\,0{,}15)\).

Si \(X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)\) alors \(E(X) = n\,p\).

💡 Remplace \(p\) par \(0{,}15\) pour exprimer \(E(X)\) en fonction de \(n\).

L'évènement contraire de « au moins une » est « aucune » :

\[P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - 0{,}15)^n.\]

Poser \(1 - 0{,}85^{\,n} \geqslant 0{,}99\), soit \(0{,}85^{\,n} \leqslant 0{,}01\), puis appliquer \(\ln\).

💡 Comme \(\ln(0{,}85) < 0\), l'inégalité change de sens lors de la division. Conclus par le plus petit entier \(n\) qui convient.

Le quart de \(29\) vaut \(7{,}25\) : « au moins le quart » signifie \(X \geqslant 8\) (premier entier \(\geqslant 7{,}25\)).

\[P(X \geqslant 8) = 1 - P(X \leqslant 7).\]

💡 Utilise la calculatrice (fonction loi binomiale cumulée) avec \(n = 29\) et \(p = 0{,}15\), puis arrondis à \(10^{-3}\).

Exercice 1 (5 points) — Partie C

On s'intéresse à dix académies françaises de tailles comparables numérotées de 1 à 10.

On considère \(X_1\) la variable aléatoire qui, à un échantillon de 1 500 lycéennes de l'académie n°1, associe le nombre de filles envisageant de devenir ingénieure.

On définit de la même façon les variables aléatoires \(X_2, \dots, X_{10}\) pour les académies 2 à 10.

On admet que les variables aléatoires \(X_1, X_2, \dots, X_{10}\) sont indépendantes entre elles et qu'elles admettent la même espérance égale à \(225\) et la même variance égale à \(191{,}25\).

On considère la variable aléatoire \(S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{10}\).

Que représente la variable aléatoire \(S\) pour les 15 000 lycéennes interrogées sur l'ensemble des dix académies ?
Calculer l'espérance et la variance de \(S\).
On considère l'ensemble des 15 000 lycéennes formé par les échantillons issus des dix académies.
Argumenter pour dire si l'affirmation suivante est vraie, fausse ou si on ne peut pas savoir : « La probabilité que le nombre total de filles envisageant de devenir ingénieure soit strictement compris entre 2 000 et 2 500 est supérieure à \(0{,}95\) ».

Méthodes de cours

Chaque \(X_i\) compte les futures ingénieures d'un échantillon. La somme \(S\) cumule ces effectifs sur les dix académies.

💡 Décris \(S\) en une phrase : le nombre total de filles (sur les 15 000) envisageant de devenir ingénieure.

Par linéarité de l'espérance et, pour la variance, grâce à l'indépendance :

\[E(S) = \sum_{i=1}^{10} E(X_i), \qquad V(S) = \sum_{i=1}^{10} V(X_i).\]

💡 Les dix variables ont même espérance et même variance : multiplie simplement par \(10\).

L'intervalle \(]2\,000\,;\,2\,500[\) est centré sur \(E(S)\) : il s'écrit \(|S - E(S)| < 250\).

\[P\big(|S - E(S)| < 250\big) \geqslant 1 - \frac{V(S)}{250^2}.\]

💡 Calcule la minoration \(1 - \dfrac{V(S)}{250^2}\) et compare-la à \(0{,}95\). Si la minoration dépasse déjà \(0{,}95\), l'affirmation est nécessairement vraie ; sinon on ne pourrait pas conclure.

Exercice 2 (5 points) — Partie A

Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.

On considère la fonction \(f\) définie pour tout \(x \in [4~;~10]\) par \(f(x) = \ln(8x^3 - 1)\).

On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \([4~;~10]\) et on note \(f'\) sa fonction dérivée.

Montrer pour tout \(x \in [4~;~10]\), on a : \[f'(x) = \frac{24x^2}{(2x-1)(4x^2+2x+1)}.\]
1. En déduire que \(f\) est croissante sur \([4~;~10]\).
2. Montrer que, pour tout \(x \in [4~;~10]\), on a : \[4 \leqslant f(x) \leqslant 10.\]
On définit la fonction \(g\) définie pour tout \(x \in [4~;~10]\) par \(g(x) = f(x) - x\).
On admet que \(g\) est strictement décroissante sur son ensemble de définition.
1. Montrer que, sur l'intervalle \([4~;~10]\), l'équation \(g(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\).
2. Déterminer un encadrement à \(10^{-3}\) près de \(\alpha\).

Méthodes de cours

Dérivée de \(\ln(u)\) : \(\big(\ln u\big)' = \dfrac{u'}{u}\). Ici \(u(x) = 8x^3 - 1\), donc \(u'(x) = 24x^2\) et \(f'(x) = \dfrac{24x^2}{8x^3 - 1}\).

Reste à factoriser le dénominateur : \(8x^3 - 1 = (2x)^3 - 1^3\) est une différence de cubes.

💡 Identité \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\) avec \(a = 2x\), \(b = 1\) : tu obtiens \((2x-1)(4x^2 + 2x + 1)\).

Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \([4~;~10]\). Le numérateur \(24x^2 \geqslant 0\) ; pour le dénominateur, examiner le signe de \((2x-1)\) et de \((4x^2 + 2x + 1)\) sur cet intervalle.

💡 Sur \([4~;~10]\), \(2x - 1 > 0\) et le trinôme \(4x^2 + 2x + 1\) est strictement positif (discriminant négatif). Donc \(f' > 0\) : \(f\) est croissante.

\(f\) étant croissante sur \([4~;~10]\), pour tout \(x\) de cet intervalle : \(f(4) \leqslant f(x) \leqslant f(10)\).

💡 Calcule (ou encadre) \(f(4) = \ln(511)\) et \(f(10) = \ln(7\,999)\), puis montre que \(4 \leqslant f(4)\) et \(f(10) \leqslant 10\) pour conclure \(4 \leqslant f(x) \leqslant 10\).

\(g\) est continue (différence de fonctions continues) et strictement décroissante (admis) sur \([4~;~10]\). Calculer \(g(4)\) et \(g(10)\) pour montrer qu'ils sont de signes contraires.

💡 Si \(g(4) > 0\) et \(g(10) < 0\), le corollaire des valeurs intermédiaires donne l'existence et l'unicité de \(\alpha\) tel que \(g(\alpha) = 0\).

Par balayage à la calculatrice (ou dichotomie), chercher deux décimaux distants de \(10^{-3}\) entre lesquels \(g\) change de signe.

💡 Affine l'intervalle jusqu'à obtenir un encadrement d'amplitude \(10^{-3}\) ; la valeur de \(\alpha\) est proche de \(8{,}5\).

Exercice 2 (5 points) — Partie B

On admet qu'on peut définir la suite \((u_n)\) par \(u_0 = 5\) et pour tout entier naturel \(n\), par \(u_{n+1} = f(u_n)\), où \(f\) est la fonction étudiée à la partie A.

Donner une valeur approchée de \(u_1\) à \(10^{-1}\) près.
1. Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a : \[4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 10.\]
2. En déduire que la suite \((u_n)\) converge.
Montrer que la suite \((u_n)\) converge vers le nombre \(\alpha\), défini dans la partie A.

Méthodes de cours

Appliquer \(u_1 = f(u_0) = f(5) = \ln(8 \times 5^3 - 1)\).

💡 Calcule \(8 \times 125 - 1\) puis le logarithme, et arrondis à \(10^{-1}\).

Cette quadruple inégalité prouve à la fois l'encadrement dans \([4~;~10]\) et la croissance.

Initialisation : vérifier \(4 \leqslant u_0 \leqslant u_1 \leqslant 10\). Hérédité : appliquer \(f\), croissante sur \([4~;~10]\) (Q2a de la partie A), à l'encadrement supposé.

💡 De \(4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 10\), la croissance de \(f\) donne \(f(4) \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant f(10)\) ; utilise \(4 \leqslant f(4)\) et \(f(10) \leqslant 10\) (partie A) pour refermer l'encadrement.

La suite est croissante (car \(u_n \leqslant u_{n+1}\)) et majorée par \(10\) : elle converge (théorème de la limite monotone).

💡 Ce théorème assure l'existence de la limite, comprise elle aussi dans \([4~;~10]\).

\(f\) est continue sur \([4~;~10]\) : par passage à la limite dans \(u_{n+1} = f(u_n)\), la limite \(\ell\) vérifie \(\ell = f(\ell)\), c'est-à-dire \(f(\ell) - \ell = 0\), soit \(g(\ell) = 0\).

💡 Comme \(\ell \in [4~;~10]\) et que \(g(x) = 0\) y admet une unique solution \(\alpha\) (partie A), on conclut \(\ell = \alpha\).

Exercice 3 (5 points)

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \(\left(\mathrm{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k}\right)\), on considère les points

\(A(-1~;~1~;~1)\), \(B(1~;~-6~;~-1)\) et \(C(-5~;~2~;~3)\).

1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Démontrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 13 \end{pmatrix}\) est normal au plan (ABC).
3. En déduire que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne : \[6x - 2y + 13z - 5 = 0.\]
On considère le plan \((P)\) d'équation cartésienne \(8x - 2y - 4z + 18 = 0\).
On admet que deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux respectifs sont orthogonaux.

Démontrer que les plans (ABC) et \((P)\) sont perpendiculaires.
Soit \((d)\) une droite dont une représentation paramétrique est : \[\begin{cases} x = \phantom{1}-4 + \phantom{1}t \\ y = -11 + 6t \\ z = \phantom{-1}2 - \phantom{1}t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}.\]
Démontrer que la droite \((d)\) intersecte le plan (ABC) en un unique point qu'on nommera E, et qui a pour coordonnées E\((-3~;~-5~;~1)\).
Soit H\((-2~;~1~;~0)\).
1. Montrer que H est le projeté orthogonal de A sur \((d)\).
2. En déduire la distance du point A à la droite \((d)\).
3. Montrer que le triangle AHE est rectangle et que son aire est égale à \(\sqrt{19}\) unités d'aire.

Méthodes de cours

Trois points sont non alignés si les vecteurs \(\vec{\mathrm{AB}}\) et \(\vec{\mathrm{AC}}\) ne sont pas colinéaires.

💡 Calcule les coordonnées de \(\vec{\mathrm{AB}}\) et \(\vec{\mathrm{AC}}\) et montre qu'elles ne sont pas proportionnelles (aucun réel \(k\) tel que \(\vec{\mathrm{AB}} = k\,\vec{\mathrm{AC}}\)).

\(\vec{n}\) est normal au plan (ABC) s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan : vérifier \(\vec{n} \cdot \vec{\mathrm{AB}} = 0\) et \(\vec{n} \cdot \vec{\mathrm{AC}} = 0\).

💡 Calcule les deux produits scalaires en coordonnées ; ils doivent valoir \(0\).

Avec \(\vec{n}\begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 13 \end{pmatrix}\), une équation est \(6x - 2y + 13z + d = 0\). Déterminer \(d\) en écrivant qu'un point du plan (par exemple A) vérifie l'équation.

💡 Substitue les coordonnées de A pour trouver \(d\) ; tu dois obtenir \(d = -5\).

Lire les vecteurs normaux des deux plans dans leurs équations, puis vérifier qu'ils sont orthogonaux (produit scalaire nul).

💡 Normal de (ABC) : \(\begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 13 \end{pmatrix}\) ; normal de \((P)\) : \(\begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}\). Calcule leur produit scalaire et conclus.

Injecter les expressions paramétriques de \((d)\) dans l'équation de (ABC) pour obtenir une équation en \(t\).

💡 Si l'équation en \(t\) a une unique solution, l'intersection est un point unique. Reporte la valeur de \(t\) dans la représentation paramétrique et vérifie que tu retrouves E\((-3~;~-5~;~1)\).

H est le projeté orthogonal de A sur \((d)\) si H appartient à \((d)\) et si \(\vec{\mathrm{AH}}\) est orthogonal au vecteur directeur de \((d)\).

💡 Cherche la valeur de \(t\) donnant H sur \((d)\), puis vérifie \(\vec{\mathrm{AH}} \cdot \vec{u} = 0\) où \(\vec{u}\) est le vecteur directeur de \((d)\).

La distance de A à \((d)\) est la longueur \(\mathrm{AH}\) (norme de \(\vec{\mathrm{AH}}\)).

Pour le triangle AHE : montrer qu'il est rectangle en H en vérifiant \(\vec{\mathrm{HA}} \cdot \vec{\mathrm{HE}} = 0\), puis appliquer l'aire \(\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\,\mathrm{HA} \times \mathrm{HE}\).

💡 E appartient à \((d)\) : \(\vec{\mathrm{HE}}\) est colinéaire au vecteur directeur de \((d)\), donc orthogonal à \(\vec{\mathrm{HA}}\). Calcule les deux longueurs pour retrouver une aire de \(\sqrt{19}\).

Exercice 4 (5 points) — Affirmations 1 à 3

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. On considère la fonction \(f\) définie pour tout \(x \in \mathbb{R}\) par \(f(x) = x \mathrm{e}^{(x^2)}\).

Affirmation 1 : \(f\) est concave sur \(]-\infty~;~0]\).

2. Un refuge spécialisé accueille 24 rapaces numérotés de 1 à 24. Le refuge travaille avec trois vétérinaires. Afin d'administrer un soin à tous les oiseaux, le directeur veut donc former trois groupes, numérotés de 1 à 3, constitués chacun de 8 rapaces.

Affirmation 2 : Le nombre de façons de répartir les rapaces dans les groupes 1 à 3 est : \[\frac{24!}{(8!)^3}.\]

3. Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\), solution de l'équation différentielle : \[y' = -y + 1 \text{ sur } \mathbb{R}.\]

Affirmation 3 : La fonction \(g\) définie pour tout \(x \in \mathbb{R}\) par \(g(x) = f(x) - 1\) vérifie \[g' = -g.\]

Méthodes de cours

\(f\) est concave sur un intervalle si et seulement si \(f'' \leqslant 0\) sur cet intervalle.

Dériver deux fois \(f(x) = x\mathrm{e}^{x^2}\) : d'abord \(f'(x)\) (produit, avec \(\big(\mathrm{e}^{x^2}\big)' = 2x\,\mathrm{e}^{x^2}\)), puis \(f''(x)\), et factoriser par \(\mathrm{e}^{x^2} > 0\).

💡 Étudie le signe du facteur restant sur \(]-\infty~;~0]\) : si \(f''(x) \leqslant 0\) partout sur cet intervalle, l'affirmation est vraie.

Former des groupes numérotés revient à choisir successivement les membres : \(\dbinom{24}{8}\) pour le groupe 1, puis \(\dbinom{16}{8}\) pour le groupe 2, puis \(\dbinom{8}{8}\) pour le groupe 3.

💡 Développe le produit \(\dbinom{24}{8}\dbinom{16}{8}\dbinom{8}{8}\) avec \(\dbinom{p}{q} = \dfrac{p!}{q!(p-q)!}\) et simplifie : les groupes étant numérotés (distincts), on ne divise pas par \(3!\). Compare au résultat proposé.

Calculer \(g'\) à partir de \(g = f - 1\) : \(g'(x) = f'(x)\). Comme \(f\) est solution de \(y' = -y + 1\), remplacer \(f'(x)\) par \(-f(x) + 1\).

💡 Exprime \(-f(x) + 1\) en fonction de \(g(x) = f(x) - 1\) : tu dois aboutir à \(g'(x) = -g(x)\).

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

Bac Polynésie
17 juin 2026 — Sujet 2 (Jour 2)

Exercice 1 (5 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 1 (5 points) — Partie B

Méthodes de cours

Exercice 1 (5 points) — Partie C

Méthodes de cours

Exercice 2 (5 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 2 (5 points) — Partie B

Méthodes de cours

Exercice 2 (5 points) — Partie C

Méthodes de cours

Exercice 3 (5 points)

Méthodes de cours

Exercice 4 (5 points) — Affirmations 1 à 3

Méthodes de cours

Exercice 4 (5 points) — Affirmations 4 et 5

Méthodes de cours

Bac Polynésie17 juin 2026 — Sujet 2 (Jour 2)

Exercice 1 (5 points) — Partie A

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Exercice 1 (5 points) — Partie B

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Exercice 1 (5 points) — Partie C

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Exercice 2 (5 points) — Partie A

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Exercice 2 (5 points) — Partie B

Méthodes de cours

Exercice 2 (5 points) — Partie C

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Exercice 3 (5 points)

Méthodes de cours

Exercice 4 (5 points) — Affirmations 1 à 3

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Exercice 4 (5 points) — Affirmations 4 et 5

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