Guide de résolution — Bac Métropole J2 9 septembre 2026

Exercice 1 (5 points) — Partie A

Une joueuse de basket constate qu'elle réussit \(60\,\%\) de ses lancers francs au cours d'une séance d'entraînement.

En se basant sur ces statistiques, on modélise la situation comme une succession d'épreuves aléatoires indépendantes.

Cette joueuse effectue cinq lancers consécutifs.
1. Soit \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de lancers réussis.
  Justifier que \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Donner une valeur approchée à \(10^{-2}\) près de \(P(X \geqslant 4)\).
  Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
On suppose maintenant que cette sportive doit effectuer \(n\) lancers, où \(n\) est un entier naturel non nul.
Soit \(Y\) la variable aléatoire donnant le nombre de lancers réussis.

On admet que la variable aléatoire \(Y\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p = 0,6\).
1. Montrer que \(P(Y \geqslant 1)=1 - 0,4^{n}\).
2. En déduire le nombre \(n\) de lancers à partir duquel la probabilité d'en réussir au moins un dépasse \(0,9999\).
3. Recopier et compléter le script de la fonction Python suivante afin qu'elle permette de retrouver le résultat de la question 2. b.
  def basket ():
      p = 0.6
      n = 1
      while ..... :
          n = n + 1
          p =.....
      return

Méthodes de cours

Pour justifier une loi binomiale, il faut vérifier trois points : on répète \(n\) fois une même épreuve de Bernoulli, les répétitions sont indépendantes, et la variable aléatoire compte le nombre de succès.

Il faut aussi nommer explicitement le succès et donner sa probabilité \(p\).

💡 Ici le succès est « le lancer franc est réussi », de probabilité \(p=0,6\), répété \(n=5\) fois de façon indépendante. Rédige les trois points : les correcteurs les cherchent un par un.

Pour \(X\sim\mathcal{B}(n\,;p)\) : \(P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\).

Comme \(X\) ne peut pas dépasser \(5\), l'évènement \(\{X\geqslant 4\}\) se décompose en deux évènements incompatibles : \(\{X=4\}\) et \(\{X=5\}\).

💡 Inutile de passer par l'évènement contraire ici : la somme \(P(X=4)+P(X=5)\) ne comporte que deux termes. À la calculatrice, la fonction binomFRép donne directement \(1-P(X\leqslant 3)\). N'oublie pas la phrase d'interprétation en pourcentage.

« Au moins un succès » a pour contraire « aucun succès », soit \(\{Y=0\}\) :

\[P(Y\geqslant 1)=1-P(Y=0).\]

💡 Calcule \(P(Y=0)=\dbinom{n}{0}\,0,6^{0}\,0,4^{n}\) en justifiant que \(\dbinom{n}{0}=1\) et \(0,6^{0}=1\). Tu retrouves alors exactement \(1-0,4^{n}\).

Ramène-toi à \(0,4^{n} < 0,0001\), puis applique la fonction \(\ln\), qui est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\), et utilise \(\ln\!\left(a^{n}\right)=n\ln a\).

💡 Piège classique : \(\ln(0,4)<0\), donc en divisant par \(\ln(0,4)\) l'inégalité change de sens. Tu obtiens \(n>\dfrac{\ln(0,0001)}{\ln(0,4)}\) ; conclus avec le plus petit entier qui convient, et vérifie-le en encadrant par deux valeurs consécutives de \(n\).

Repère d'abord ce que représente chaque variable : n est le nombre de lancers courant et p doit contenir \(P(Y\geqslant 1)=1-0,4^{n}\) pour ce \(n\). L'initialisation p = 0.6, n = 1 est bien cohérente avec \(1-0,4^{1}=0,6\).

Une boucle while tourne tant que la condition est vraie : il faut donc écrire la condition « le seuil n'est pas encore atteint ».

💡 Trois trous à combler : la condition while ... compare p au seuil \(0,9999\) ; la ligne p = ... recalcule la probabilité avec le nouveau n (attention, l'incrémentation de n a lieu avant) ; enfin return doit renvoyer la variable qui répond à la question posée.

Exercice 1 (5 points) — Partie B

Pour un autre joueur, on remarque que :

lorsqu'il a réussi un lancer franc, il réussit le suivant avec une probabilité de \(0,7\).
lorsqu'il a raté un lancer franc, il réussit le suivant avec une probabilité de \(0,4\).

On considère que la probabilité de réussir son premier lancer est de \(0,5\)

On note \(G_{1}\) l'évènement : « le joueur réussit son premier lancer franc ».

On a donc \(P\left(G_{1}\right) = 0,5\).

On note \(G_{2}\) l'évènement : « le joueur réussit son deuxième lancer franc ».

Calculer \(P\left(G_{2}\right)\).
On pourra utiliser un arbre de probabilité.

Soit \(n\) un entier naturel non nul.

On note \(G_{n}\) l'évènement « le joueur réussit le \(n\)-ième lancer franc » et \(p_{n}\), la probabilité de \(G_{n}\).

On définit ainsi une suite \(\left(p_{n}\right)\) de réels.

On admet que pour tout \(n \geqslant 1,\; p_{n+1} = 0,3\,p_{n} + 0,4\).

1. En utilisant un raisonnement par récurrence, démontrer que
  pour tout \(n \geqslant 1,\quad p_{n} \leqslant p_{n+1}\)
2. Quel argument permet d'affirmer que la suite \(\left(p_{n}\right)\) est majorée ?
3. En déduire que la suite \(\left(p_{n}\right)\) est convergente.
On admet que la limite de \(\left(p_{n}\right)\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) est \(\dfrac{4}{7}\).
Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

Méthodes de cours

Le premier niveau de l'arbre porte \(P(G_1)=0,5\) et \(P\!\left(\overline{G_1}\right)=1-0,5\). Le second niveau porte les probabilités conditionnelles données par l'énoncé : \(P_{G_1}(G_2)=0,7\) et \(P_{\overline{G_1}}(G_2)=0,4\) (complète les branches contraires par différence à \(1\)).

Comme \(G_1\) et \(\overline{G_1}\) forment une partition de l'univers :

\[P(G_2)=P(G_1)\,P_{G_1}(G_2)+P\!\left(\overline{G_1}\right)P_{\overline{G_1}}(G_2).\]

💡 Additionne les deux chemins de l'arbre qui aboutissent à \(G_2\). Vérifie la cohérence avec la relation admise plus bas : \(p_2=0,3\times 0,5+0,4\) doit donner le même résultat.

Note \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(p_n\leqslant p_{n+1}\) », puis rédige les trois étapes.

Initialisation : compare \(p_1\) et \(p_2\) (tu connais \(p_1=0,5\) et tu as calculé \(p_2\) en Q1).

Hérédité : pars de l'hypothèse \(p_n\leqslant p_{n+1}\) et applique-lui les mêmes opérations qu'à la relation de récurrence.

💡 Comme \(0,3>0\), multiplier par \(0,3\) conserve le sens de l'inégalité, et ajouter \(0,4\) aussi. Tu obtiens \(0,3p_n+0,4\leqslant 0,3p_{n+1}+0,4\) : reconnais alors \(p_{n+1}\leqslant p_{n+2}\). N'oublie pas la phrase de conclusion.

Cette question ne demande aucun calcul : il faut invoquer la nature des nombres \(p_n\).

💡 Relis la définition : \(p_n\) est la probabilité de l'évènement \(G_n\). Or toute probabilité appartient à \([0\,;1]\). Une seule phrase suffit, mais elle doit être explicite.

Le théorème de la convergence monotone : toute suite croissante et majorée converge (et toute suite décroissante et minorée converge).

💡 Il suffit de citer les deux questions précédentes : croissante (Q2a) + majorée (Q2b) \(\Rightarrow\) convergente. Attention : ce théorème donne l'existence de la limite, pas sa valeur.

Une question d'interprétation attend une phrase en français, qui reparle de lancers francs et non de suite numérique.

💡 Convertis \(\dfrac47\) en pourcentage approché, et formule l'idée : sur un très grand nombre de lancers, la probabilité de réussir le \(n\)-ième lancer se stabilise autour de cette valeur. Tu peux vérifier que \(\ell=\dfrac47\) est bien solution de \(\ell=0,3\ell+0,4\).

Exercice 2 (5 points)

Soit \(f\) la fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) définie par \[f(x) = (3x- 1)\mathrm{e}^{-x} +2\]

On note \(\mathcal{C}_{f}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \(\left(\mathrm{O} ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}\right)\).

Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(- \infty\).
Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+ \infty\).
Interpréter graphiquement ce résultat.
On note \(f'\) la fonction dérivée de \(f\).
1. Vérifier que, pour tout nombre réel \(x,\; f'(x) = (4 - 3x)\mathrm{e}^{-x}\).
2. Étudier le signe de la dérivée et en déduire le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
1. Démontrer que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution sur \(\mathbb{R}\).
  On notera \(\alpha\) cette solution.
2. Donner une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près.
3. En déduire le tableau de signes de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
4. Soit la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(F(x) =(- 3x - 2)\mathrm{e}^{-x} + 2x\).
  On admet que la fonction \(F\) est une primitive de \(f\).
  
  Calculer, en unités d'aire, l'aire du domaine limité par la courbe \(\mathcal{C}_{f}\), l'axe des abscisses et les droites d'équation \(x = 0\) et \(x = 2\).
On admet que la droite d'équation \(y = 4x + 1\) est la tangente à la courbe \(\mathcal{C}_{f}\) au point d'abscisse \(0\).
Vérifier que, pour tout réel \(x,\; (3x - 1)\mathrm{e}^{-x} + 2 \leqslant 4x + 1\).

Méthodes de cours

Traite le produit \((3x-1)\mathrm{e}^{-x}\) facteur par facteur : il n'y a pas de forme indéterminée de ce côté.

💡 Quand \(x\to-\infty\), on a \(-x\to+\infty\) donc \(\mathrm{e}^{-x}\to+\infty\), tandis que \(3x-1\to-\infty\). Conclus par produit puis par somme (le \(+2\) ne change rien).

Là, le produit est de la forme indéterminée \((+\infty)\times 0\). Développe d'abord : \(f(x)=3x\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^{-x}+2\).

Croissance comparée au programme : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}=0\), c'est-à-dire \(x\mathrm{e}^{-x}\to 0\).

💡 L'interprétation graphique attendue est le mot asymptote horizontale : précise son équation et en quel infini elle a lieu.

\(f\) est de la forme \(uv+2\) avec \(u(x)=3x-1\) et \(v(x)=\mathrm{e}^{-x}\), donc \(f'=u'v+uv'\).

💡 Erreur la plus fréquente : oublier le signe moins dans \(\left(\mathrm{e}^{-x}\right)'=-\mathrm{e}^{-x}\). Ensuite, mets \(\mathrm{e}^{-x}\) en facteur et simplifie le crochet \(3-(3x-1)\).

Un exponentiel est toujours strictement positif : le signe de \(f'(x)=(4-3x)\mathrm{e}^{-x}\) est donc celui du facteur affine \(4-3x\) seul.

💡 Résous \(4-3x>0\) pour trouver la valeur où la dérivée s'annule. Dans le tableau, reporte les deux limites des questions 1 et 2 aux extrémités, et calcule la valeur exacte du maximum (laisse-la sous forme \(a\mathrm{e}^{-b}+c\), avec une valeur approchée entre parenthèses).

Le théorème de la bijection (corollaire du TVI) s'applique sur un intervalle où la fonction est continue et strictement monotone : il faut donc découper \(\mathbb{R}\) selon le tableau de variations et traiter les deux intervalles.

💡 Sur l'un des deux, \(0\) est encadré par les valeurs extrêmes : le théorème donne une unique solution. Sur l'autre, montre que la fonction reste strictement au-dessus de \(0\) (pense à la limite en \(+\infty\)) : il n'y a donc aucune solution. Ne conclus à l'unicité sur \(\mathbb{R}\) qu'après avoir traité les deux cas.

Une valeur approchée à \(10^{-2}\) près s'obtient par balayage à la calculatrice : cherche deux valeurs consécutives au centième entre lesquelles \(f\) change de signe.

💡 Attention, \(\alpha\) est négatif : commence ton balayage du bon côté de \(0\). Écris l'encadrement obtenu avant de donner l'arrondi.

« En déduire » signifie qu'aucun nouveau calcul n'est nécessaire : on lit le signe sur les variations et sur l'unique point d'annulation trouvé en Q4a.

💡 Sur la branche strictement croissante, \(f\) est négative avant \(\alpha\) et positive après. Sur la branche décroissante, rappelle que \(f\) reste au-dessus de son asymptote. Un seul changement de signe, en \(\alpha\).

Si \(f\) est positive sur \([a\,;b]\), l'aire entre \(\mathcal{C}_f\), l'axe des abscisses et les droites \(x=a\) et \(x=b\) vaut

\[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b)-F(a).\]

💡 Ne saute pas l'étape de justification du signe : sers-toi du tableau de signes de Q4c pour dire que \(f\geqslant 0\) sur \([0\,;2]\) (c'est possible parce que \(\alpha<0\)). Donne ensuite la valeur exacte avec \(\mathrm{e}^{-2}\), puis l'arrondi.

Comparer une courbe et une droite revient à étudier le signe de la différence : pose \(g(x)=(4x+1)-f(x)\) et cherche à montrer que \(g\geqslant 0\) sur \(\mathbb{R}\).

Ici, l'argument rapide « \(f\) est concave donc sous ses tangentes » ne marche pas : \(f''\) change de signe sur \(\mathbb{R}\). Il faut donc étudier \(g\) pour de bon, en passant par \(g'\) puis \(g''\).

💡 Utilise \(g'(x)=4-f'(x)\), puis le signe de \(g''\) pour obtenir les variations de \(g'\). Pense à calculer \(g'(0)\) : la tangente touche la courbe en \(0\), donc cette valeur est remarquable et t'indique où \(g'\) s'annule. Conclus par le minimum de \(g\), dont tu calculeras la valeur exacte.

Exercice 3 (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Les affirmations sont indépendantes.

On considère l'équation différentielle \[(E)\quad y' - 2y = (x- 3)\mathrm{e}^{x},\]
où \(y\) est une fonction de la variable \(x\), définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

Affirmation 1 :

La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = (x - 2)\mathrm{e}^{x}\) est solution de l'équation différentielle \((E)\).
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\), par \(f(x) = (2x + 1) \cos (x)\).
On intègre par parties \(\displaystyle\int_0^{\pi} f(x)\,\mathrm{d}x\).

Affirmation 2 :

\[\int_0^{\pi} f(x)\,\mathrm{d}x = - 4\pi\]
On considère l'inéquation suivante sur \(]7~;~+\infty[\) : \[\ln \left(2x^{2} - 6x - 56\right) \geqslant \ln(4x - 8)\]
Affirmation 3 :

L'ensemble des solutions de cette inéquation est l'intervalle \(]8~;~+\infty[\).
On considère la suite \(\left(u_{n}\right)\) définie par \(u_{0} = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \[u_{n+1} = \dfrac{3u_{n}}{5u_{n} + 3}\]
On admet que \(u_{n} \neq 0\) pour tout entier naturel \(n\).

On considère la suite \(\left(v_{n}\right)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_{n} = \dfrac{2}{u_{n}}\).

Affirmation 4 :

La suite \(\left(v_{n}\right)\) est une suite arithmétique.
On lance \(3\,600\) fois un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6.
Affirmation 5 :

La probabilité que le nombre d'apparitions du 6 soit strictement compris entre \(450\) et \(750\) est minorée par \(0,97\).

Méthodes de cours

Inutile de résoudre \((E)\) : il suffit de tester la fonction proposée. Calcule \(f'(x)\), forme \(f'(x)-2f(x)\), factorise par \(\mathrm{e}^{x}\), puis compare au second membre \((x-3)\mathrm{e}^{x}\).

💡 Sois très attentif au signe du crochet obtenu : \((3-x)\) et \((x-3)\) ne sont pas la même chose ! Si tu trouves l'opposé, l'affirmation est fausse et il faut le dire explicitement.

\[\int_a^b u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x=\Big[u(x)v(x)\Big]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x.\]

On dérive le polynôme et on intègre le cosinus : pose \(u(x)=2x+1\) et \(v'(x)=\cos x\).

💡 Pense à préciser que \(u\) et \(v\) sont dérivables à dérivées continues sur \([0\,;\pi]\). Le crochet s'évalue en \(0\) et \(\pi\) : que valent \(\sin 0\) et \(\sin \pi\) ? Un résultat sans \(\pi\) doit t'alerter sur l'affirmation.

Deux étapes obligatoires. 1) Vérifier que les deux expressions sous les \(\ln\) sont strictement positives sur \(]7\,;+\infty[\) (factorise le trinôme \(2x^2-6x-56\)). 2) Utiliser la stricte croissance de \(\ln\) : pour \(A>0\) et \(B>0\), \(\ln A\geqslant \ln B \iff A\geqslant B\).

On se ramène alors à une inéquation du second degré : calcule le discriminant et dresse le tableau de signes, sans oublier d'intersecter avec \(]7\,;+\infty[\).

💡 Le vrai piège est ailleurs : l'inégalité est large (\(\geqslant\)). Teste donc la borne trouvée — appartient-elle ou non à l'ensemble des solutions ? La différence entre un crochet ouvert et un crochet fermé suffit à rendre l'affirmation fausse.

Une suite est arithmétique si \(v_{n+1}-v_n\) est constante (indépendante de \(n\)). Exprime \(v_{n+1}=\dfrac{2}{u_{n+1}}\) en remplaçant \(u_{n+1}\) par sa formule, puis simplifie la fraction de fraction.

💡 Après simplification, sépare la fraction en deux morceaux : \(\dfrac{2(5u_n+3)}{3u_n}=\dfrac{10u_n}{3u_n}+\dfrac{6}{3u_n}\). Le second terme doit faire réapparaître \(v_n=\dfrac{2}{u_n}\). Précise la raison et le premier terme \(v_0\).

Identifie d'abord la loi : répétition de \(3\,600\) lancers identiques et indépendants, succès « obtenir un 6 » de probabilité \(\tfrac16\) — donc une loi binomiale, dont tu calcules \(\mathrm{E}(X)=np\) et \(\mathrm{V}(X)=np(1-p)\).

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : pour tout réel \(a>0\),

\[P\big(|X-\mathrm{E}(X)|\geqslant a\big)\leqslant \frac{\mathrm{V}(X)}{a^{2}}.\]

💡 L'étape clé est de réécrire \(]450\,;750[\) sous la forme \(]\mathrm{E}(X)-a\,;\mathrm{E}(X)+a[\) : l'intervalle est-il bien centré sur l'espérance ? Tu en déduis \(a\), puis tu passes à l'évènement contraire pour obtenir une minoration de la probabilité cherchée.

Exercice 4 (5 points) — Partie A

L'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(\mathrm{O} ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}\right)\) d'unité 1 cm.

Partie A

On considère les points de l'espace \(\mathrm{R}(1~;~0~;~6)\), \(\mathrm{S}(1~;~3~;~2)\), \(\mathrm{T}(3,5~;~7~;~5)\) et \(\mathrm{A}(-2,5~;~8~;~4,5)\).

Démontrer que les points \(\mathrm{R}\), \(\mathrm{S}\) et \(\mathrm{T}\) ne sont pas alignés.
1. Démontrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix} -10 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan \((\mathrm{RST})\).
2. En déduire une équation cartésienne du plan \((\mathrm{RST})\).
1. Vérifier que le point \(\mathrm{A}\) n'appartient pas au plan \((\mathrm{RST})\).
2. On note \(d_{1}\) la droite passant par le point \(\mathrm{A}\) et orthogonale au plan \((\mathrm{RST})\).
  Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(d_{1}\).
3. Soit le point \(\mathrm{H}\) projeté orthogonal de \(\mathrm{A}\) sur \((\mathrm{RST})\).
  Vérifier que ses coordonnées sont \((2,5~;~6~;~3)\).
1. Démontrer que le triangle \(\mathrm{RST}\) est rectangle en \(\mathrm{S}\).
2. Vérifier que le volume du tétraèdre \(\mathrm{ARST}\) est égal à \(\dfrac{625}{24}\) cm\(^{3}\).
  On rappelle que le volume du tétraèdre est donné par la formule :
  
  \[V = \frac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}\]

Méthodes de cours

Trois points sont alignés si et seulement si deux vecteurs construits sur eux sont colinéaires. Calcule les coordonnées de \(\vec{\mathrm{RS}}\) et \(\vec{\mathrm{RT}}\) et montre qu'aucun réel \(k\) ne vérifie \(\vec{\mathrm{RT}}=k\,\vec{\mathrm{RS}}\).

💡 Une coordonnée nulle d'un côté et non nulle de l'autre suffit à conclure immédiatement : regarde la première coordonnée de \(\vec{\mathrm{RS}}\). Cette question sert aussi à légitimer l'existence du plan \((\mathrm{RST})\) pour la suite.

\(\vec{n}\) est normal au plan \((\mathrm{RST})\) s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan : vérifie \(\vec{n}\cdot\vec{\mathrm{RS}}=0\) et \(\vec{n}\cdot\vec{\mathrm{RT}}=0\).

Un plan de vecteur normal \(\vec{n}(a\,;b\,;c)\) a une équation de la forme \(ax+by+cz+d=0\) ; on trouve \(d\) en y injectant les coordonnées d'un point du plan.

💡 N'oublie pas de rappeler que \(\vec{\mathrm{RS}}\) et \(\vec{\mathrm{RT}}\) ne sont pas colinéaires (c'est la question 1 !) : sans cela la justification est incomplète. Vérifie ensuite ton équation avec les deux autres points.

Un point appartient à un plan si et seulement si ses coordonnées vérifient son équation cartésienne.

💡 Remplace \(x\), \(y\), \(z\) par les coordonnées de \(\mathrm{A}\) et calcule le membre de gauche. S'il n'est pas nul, conclus. Garde ce nombre sous la main : il réapparaîtra dans le calcul de la question 3.c.

Une droite orthogonale à un plan est dirigée par un vecteur normal de ce plan. Elle passe ici par \(\mathrm{A}\).

Une représentation paramétrique s'écrit \(\begin{cases}x=x_A+a t\\ y=y_A+b t\\ z=z_A+c t\end{cases}\), \(t\in\mathbb{R}\).

💡 N'oublie jamais de préciser « \(t\in\mathbb{R}\) » : c'est un point de rédaction régulièrement sanctionné.

Le projeté orthogonal de \(\mathrm{A}\) sur le plan est le point d'intersection de la droite \(d_1\) et du plan : reporte la représentation paramétrique dans l'équation cartésienne pour déterminer la valeur du paramètre.

💡 Comme l'énoncé dit « vérifier », tu peux aussi procéder autrement : montrer que le point proposé appartient au plan et que \(\vec{\mathrm{AH}}\) est colinéaire à \(\vec{n}\). La méthode par le paramètre reste la plus sûre.

Le triangle est rectangle en \(\mathrm{S}\) si et seulement si \(\vec{\mathrm{SR}}\cdot\vec{\mathrm{ST}}=0\).

💡 Attention à bien partir du sommet \(\mathrm{S}\) : ce sont les vecteurs \(\vec{\mathrm{SR}}\) et \(\vec{\mathrm{ST}}\), pas \(\vec{\mathrm{RS}}\) et \(\vec{\mathrm{RT}}\). Le repère étant orthonormé, le produit scalaire se calcule coordonnée par coordonnée.

Choisis \(\mathrm{RST}\) comme base : comme il est rectangle en \(\mathrm{S}\) (Q4a), son aire vaut simplement \(\dfrac12\times \mathrm{SR}\times \mathrm{ST}\) — les deux côtés de l'angle droit.

La hauteur relative à cette base est la distance de \(\mathrm{A}\) au plan \((\mathrm{RST})\), c'est-à-dire \(\mathrm{AH}\) avec le \(\mathrm{H}\) de la question 3.c.

💡 Garde les longueurs sous forme exacte (avec des radicaux) jusqu'au bout : les racines se simplifient dans le produit et tu retombes exactement sur \(\dfrac{625}{24}\). Un arrondi intermédiaire te ferait rater la vérification.

Exercice 4 (5 points) — Partie B

Partie B

Soit \(\mathrm{M}(x~;~y~;~z)\) un point de la droite \(d_{2}\) de représentation paramétrique :

\[\begin{cases}x=-4,5 +s \\ y=4-4s \\ z=5,5-2s \end{cases},\; s \in \mathbb{R}\]

Démontrer que \(\mathrm{AM}^{2} = 21s^{2} + 24s + 21\).
Déterminer les coordonnées du point \(\mathrm{M}\) de la droite \(d_{2}\) pour lesquelles la distance \(\mathrm{AM}\) est minimale.

Méthodes de cours

Calcule d'abord les coordonnées de \(\vec{\mathrm{AM}}\) en fonction de \(s\) : chaque coordonnée est la coordonnée de \(\mathrm{M}\) (qui dépend de \(s\)) moins celle de \(\mathrm{A}\).

Le repère étant orthonormé, si \(\vec{\mathrm{AM}}\) a pour coordonnées \((a\,;b\,;c)\) alors \(\mathrm{AM}^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}\).

💡 On travaille sur \(\mathrm{AM}^{2}\) et non sur \(\mathrm{AM}\) pour éviter la racine carrée. Développe les trois carrés séparément, puis regroupe les termes en \(s^{2}\), en \(s\) et les constantes : attention aux signes dans \((-4s-4)^{2}\).

La fonction racine carrée étant strictement croissante sur \([0\,;+\infty[\), la distance \(\mathrm{AM}\) est minimale exactement quand \(\mathrm{AM}^{2}\) l'est : il suffit donc de minimiser le trinôme de la question 1.

Un trinôme \(as^{2}+bs+c\) avec \(a>0\) atteint son minimum en \(s=-\dfrac{b}{2a}\).

💡 Commence par justifier le passage de \(\mathrm{AM}\) à \(\mathrm{AM}^{2}\) (une phrase suffit). Une fois \(s\) trouvé, reporte-le dans les trois équations paramétriques : les coordonnées obtenues sont des fractions, laisse-les sous forme exacte. Ce point \(\mathrm{M}\) est le projeté orthogonal de \(\mathrm{A}\) sur \(d_{2}\), ce que tu peux mentionner en conclusion.

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

Bac Métropole — La Réunion9 septembre 2026 — Sujet 2 (Jour 2)

Exercice 1 (5 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 1 (5 points) — Partie B

Méthodes de cours

Exercice 2 (5 points)

Méthodes de cours

Exercice 3 (5 points)

Méthodes de cours

Exercice 4 (5 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 4 (5 points) — Partie B

Méthodes de cours

Bac Métropole — La Réunion
9 septembre 2026 — Sujet 2 (Jour 2)