Guide de résolution — Bac Métropole J1 remplacement 8 septembre 2026

Exercice 1 (5 points) — Partie A

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à \(10^{-3}\) près.
Les parties A, B et C sont indépendantes les unes des autres et peuvent donc être traitées séparément.

On s'intéresse au respect des délais de livraison de colis à domicile dans une agglomération. Une étude a permis d'établir que :

lorsque le livreur est expérimenté, le délai de livraison est respecté pour \(95\,\%\) des colis ;
lorsque le livreur est débutant, le délai de livraison est respecté pour \(75\,\%\) des colis.

Dans une entreprise qui emploie ses propres livreurs parmi lesquels \(60\,\%\) sont expérimentés et les autres sont débutants, on s'intéresse à une livraison choisie au hasard.

On note :

\(E\) l'événement : « la livraison est effectuée par un livreur expérimenté » ;
\(R\) l'événement : « le délai de livraison est respecté ».

Calculer \(P(E \cap R)\). On pourra s'appuyer sur un arbre de probabilité.
Justifier que \(P(R) = 0,87\). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Sachant qu'un colis a été livré en respectant les délais de livraison, quelle est la probabilité qu'il ait été livré par un livreur expérimenté ?

Méthodes de cours

Traduis chaque pourcentage de l'énoncé : les \(60\,\%\) portent sur la première génération (\(E\), \(\overline{E}\)), les \(95\,\%\) et \(75\,\%\) sont des probabilités conditionnelles (\(P_E(R)\), \(P_{\overline{E}}(R)\)) et vont sur la seconde génération.

La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches :

\[P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)\]

💡 Les branches issues d'un même nœud ont une somme égale à 1 : complète les \(\overline{R}\) avec \(1-0,95\) et \(1-0,75\), le correcteur regarde si l'arbre est entièrement pondéré.

Si \(E\) et \(\overline{E}\) forment une partition de l'univers :

\[P(R) = P(E \cap R) + P(\overline{E} \cap R)\]

Réutilise le résultat de la question 1 et calcule le second chemin avec la règle du produit. Tu dois retrouver exactement \(0,87\).

💡 « Justifier » exige de citer la partition et la formule avant le calcul. Pour l'interprétation, repasse en pourcentage et en français : que représente \(0,87\) pour l'ensemble des livraisons de l'entreprise ?

« Sachant que le délai est respecté » : l'événement connu est \(R\). On cherche donc \(P_R(E)\), qui ne se lit pas sur l'arbre :

\[P_R(E) = \frac{P(E \cap R)}{P(R)}\]

💡 Ne confonds pas \(P_R(E)\) avec \(P_E(R) = 0,95\) : l'ordre compte. Le numérateur et le dénominateur ont déjà été calculés aux questions 1 et 2. Arrondis à \(10^{-3}\) comme demandé.

Exercice 1 (5 points) — Partie B

Dans le but d'améliorer le service livraison, l'entreprise analyse un échantillon de \(200\) livraisons prises au hasard parmi celles effectuées par un livreur expérimenté sur une période donnée. On rappelle que la probabilité qu'un livreur expérimenté respecte les délais de livraison est \(95\,\%\).

On suppose que le nombre de colis est assez important pour que l'on puisse assimiler le choix de cet échantillon à des tirages successifs avec remise.

On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de colis livrés en respectant les délais de livraison parmi les \(200\) livraisons de cet échantillon.

Justifier que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
L'événement « tous les colis ont été livrés en respectant les délais de livraison » est-il un événement impossible ? Justifier.
Donner \(P(X \geqslant 190)\) puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Méthodes de cours

Une variable suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(n\,;p)\) quand elle compte le nombre de succès dans la répétition de \(n\) épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès \(p\).

Identifie les quatre ingrédients dans l'énoncé : l'épreuve, le succès, le nombre de répétitions, et ce qui garantit l'indépendance.

💡 Point de rédaction sanctionné : nomme explicitement le succès et cite la phrase « tirages successifs avec remise », c'est elle qui justifie l'indépendance.

Un événement est impossible si et seulement si sa probabilité est nulle. Traduis l'événement en termes de \(X\), puis utilise la formule de la loi binomiale :

\[P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k}\]

💡 Arrondie à \(10^{-3}\), la valeur obtenue peut s'afficher \(0,000\) : ne conclus pas sur l'arrondi, mais sur l'expression exacte. Une puissance d'un réel strictement positif peut-elle être nulle ?

La calculatrice donne les probabilités cumulées \(P(X \leqslant k)\). Passe par l'événement contraire :

\[P(X \geqslant 190) = 1 - P(X \leqslant 189)\]

💡 Piège classique : le contraire de \(X \geqslant 190\) est \(X \leqslant 189\) et non \(X \leqslant 190\). Pour l'interprétation, reformule en français avec « au moins 190 colis sur 200 ».

Exercice 1 (5 points) — Partie C

Deux zones géographiques sont desservies sans que les livraisons dans l'une n'aient d'incidence sur celles dans l'autre :

en zone A, les délais de livraison sont respectés dans \(85\,\%\) des cas ;
en zone B, les délais de livraison sont respectés dans \(90\,\%\) des cas.

L'entreprise observe \(120\) livraisons effectuées en zone A et \(80\) livraisons effectuées en zone B.

On note :

\(X_A\) la variable aléatoire comptabilisant le nombre de colis livrés respectant les délais de livraison en zone A ;
\(X_B\) la variable aléatoire comptabilisant le nombre de colis livrés respectant les délais de livraison en zone B ;
\(S = X_A + X_B\) la variable aléatoire donnant le nombre total de colis livrés respectant les délais de livraison.

On admet que \(X_A\) suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(120\,;0,85)\) et que \(X_B\) suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(80\,;0,90)\).

Calculer l'espérance et la variance des variables \(X_A\) et \(X_B\).
Calculer \(E(S)\).
Quelle condition permet d'affirmer que \(V(S) = 22,5\) ?
À l'aide d'une inégalité de Bienaymé-Tchebychev, minorer \(P(S \in [165\,;183])\) et interpréter le résultat.

Méthodes de cours

Si \(Y\) suit la loi \(\mathcal{B}(n\,;p)\) :

\[E(Y) = np \qquad V(Y) = np(1-p)\]

Applique ces formules deux fois, avec les paramètres de \(X_A\) puis ceux de \(X_B\).

💡 Garde les valeurs exactes (ce sont des décimaux simples) : tu en auras besoin telles quelles aux questions 3 et 4.

La linéarité de l'espérance est toujours vraie, sans hypothèse :

\[E(X + Y) = E(X) + E(Y)\]

Pour la variance, l'additivité n'est valable que sous une hypothèse précise du cours :

\[V(X + Y) = V(X) + V(Y) \quad \text{si } X \text{ et } Y \text{ sont indépendantes}\]

💡 La question 3 attend le nom de cette hypothèse, puis sa justification : relis la toute première phrase de la partie C, elle a été écrite pour ça. Vérifie ensuite que la somme des deux variances redonne bien \(22,5\).

Pour tout réel \(a > 0\) :

\[P\big(|S - E(S)| \geqslant a\big) \leqslant \frac{V(S)}{a^2}\]

Commence par vérifier que l'intervalle \([165\,;183]\) est centré sur \(E(S)\), puis écris-le sous la forme \(|S - E(S)| \leqslant \ldots\). Passe enfin à l'événement contraire pour obtenir une minoration.

💡 Attention au sens des inégalités : l'inégalité du cours porte sur \(|S - E(S)| \geqslant a\), dont le contraire est \(|S - E(S)| < a\) (strict). Comme \(S\) ne prend que des valeurs entières, « \(\leqslant 9\) » équivaut à « \(< 10\) » : choisir \(a = 10\) plutôt que \(a = 9\) donne une minoration plus fine.

Exercice 2 (5 points) — Partie A

Soit \(f\) la fonction définie sur \(]-3\,;+\infty[\) par : \(f(x) = \dfrac{2x}{x+3}\).

On admet que \(f\) est dérivable sur \(]-3\,;+\infty[\).

Vérifier, en détaillant les calculs, que pour tout réel \(x\) de \(]-3\,;+\infty[\), \(f'(x) = \dfrac{6}{(x+3)^2}\).
En déduire que \(f\) est croissante sur \(]-3\,;+\infty[\).

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = 1\) et pour tout entier naturel \(n\) par \(u_{n+1} = f(u_n)\).

Démontrer, par récurrence, que pour tout entier \(n\), on a : \(0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1\).
En déduire que \((u_n)\) est convergente.

Méthodes de cours

Pose \(u(x) = 2x\) et \(v(x) = x + 3\), puis applique :

\[\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\]

Tu dois retrouver exactement l'expression de l'énoncé. Le sens de variation se lit ensuite sur le signe de \(f'(x)\).

💡 « En détaillant les calculs » : écris \(u\), \(u'\), \(v\), \(v'\) et la ligne intermédiaire avant simplification. Pour le signe, un carré est positif, mais précise pourquoi il est ici strictement positif sur \(]-3\,;+\infty[\).

Note \(P(n)\) la propriété « \(0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1\) ».

Initialisation : calcule \(u_1\) et vérifie \(P(0)\).

Hérédité : pars de \(0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1\) et applique \(f\) aux quatre membres. Une fonction croissante conserve l'ordre :

\[a \leqslant b \iff f(a) \leqslant f(b) \quad (a, b \text{ dans l'intervalle où } f \text{ est croissante})\]

💡 C'est exactement pour cette étape que la question 1 a été posée. Pense à calculer \(f(0)\) et \(f(1)\), puis à vérifier que les nombres manipulés sont bien dans \(]-3\,;+\infty[\).

Toute suite décroissante et minorée converge ; toute suite croissante et majorée converge.

Lis dans l'encadrement de la question 2 les deux informations dont tu as besoin : le sens de variation de \((u_n)\) et un minorant.

💡 Ce théorème donne l'existence de la limite, pas sa valeur : ne cherche pas à la calculer ici, la partie B s'en charge.

Exercice 2 (5 points) — Partie B

On admet que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \neq 0\).

On note \((v_n)\) et \((w_n)\) les suites définies pour tout entier naturel \(n\) par :

\[v_n = \frac{1}{u_n} \quad \text{et} \quad w_n = v_n + 1\]

Vérifier que, pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1} = \dfrac{3}{2}v_n + \dfrac{1}{2}\).
Démontrer que \((w_n)\) est une suite géométrique dont on précisera les paramètres.
En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \[u_n = \frac{1}{2\left(\frac{3}{2}\right)^n - 1}\]
Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).
1. Recopier et compléter le script suivant de telle sorte que la fonction seuil() renvoie le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\) soit inférieur ou égal à \(10^{-3}\).
  def seuil():
      n = 0
      u = 1
      while ... :
          n = n + 1
          u = ...
      return ...
2. Quelle est la valeur renvoyée par la fonction seuil() ?

Méthodes de cours

Pars de la définition : \(v_{n+1} = \dfrac{1}{u_{n+1}}\), remplace \(u_{n+1}\) par \(f(u_n)\), puis prends l'inverse de la fraction.

Sépare ensuite la fraction obtenue en deux termes pour faire apparaître \(\dfrac{1}{u_n}\), c'est-à-dire \(v_n\).

💡 L'inverse de \(\dfrac{a}{b}\) est \(\dfrac{b}{a}\) : ne te lance pas dans une mise au même dénominateur, la décomposition \(\dfrac{a+b}{c} = \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c}\) suffit.

Il faut établir, pour tout \(n\), une relation de la forme :

\[w_{n+1} = q \times w_n\]

Écris \(w_{n+1} = v_{n+1} + 1\), remplace avec la question 1, puis factorise pour faire apparaître \(v_n + 1\). Termine en calculant le premier terme \(w_0\).

💡 « Préciser les paramètres » = donner la raison et le premier terme. Oublier \(w_0\) coûte des points, et il te sert directement à la question 3.

Terme général d'une suite géométrique :

\[w_n = w_0 \times q^n\]

Remonte ensuite la chaîne des définitions : \(v_n = w_n - 1\), puis \(u_n = \dfrac{1}{v_n}\). Tu dois retomber sur l'expression annoncée.

💡 Écris \(q^n\) avec la raison entre parenthèses, \(\left(\frac{3}{2}\right)^n\) : \(\frac{3^n}{2}\) serait faux. Et c'est bien \(w_n\), pas \(v_n\), qui est géométrique : ne saute pas l'étape \(v_n = w_n - 1\).

\[\text{si } q > 1 : \lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty \qquad \text{si } -1 < q < 1 : \lim_{n \to +\infty} q^n = 0\]

Détermine d'abord la limite du dénominateur, puis conclus par quotient.

💡 Cohérence : la partie A t'a appris que \((u_n)\) est décroissante et minorée par 0. Ta limite doit être compatible avec ces informations.

La boucle while tourne tant que la condition d'arrêt n'est pas atteinte : sa condition est donc la négation de « \(u_n \leqslant 10^{-3}\) ».

Dans la boucle, u doit passer au terme suivant : utilise la relation de récurrence \(u_{n+1} = f(u_n)\) (ou la formule explicite de la question 3). La fonction renvoie le rang atteint.

Pour 5.b, résous \(u_n \leqslant 10^{-3}\) avec la formule explicite et le logarithme népérien, ou fais tourner le script / le tableau de valeurs de la calculatrice.

💡 En Python, \(10^{-3}\) s'écrit 10**(-3) ou 0.001, jamais 10^-3. Vérifie ta réponse en encadrant : \(u_{n-1} > 10^{-3}\) et \(u_n \leqslant 10^{-3}\).

Exercice 3 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Les affirmations sont indépendantes.
Pour toutes les questions, l'espace est muni d'un repère orthonormé.

Soit \(\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{w}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) trois vecteurs de l'espace.
Affirmation 1 : Les vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) forment une base de l'espace.
Soit quatre points de l'espace :
\(\mathrm{A}(1\,;2\,;3)\), \(\mathrm{B}(2\,;0\,;1)\), \(\mathrm{C}(0\,;1\,;2)\), \(\mathrm{D}(0\,;4\,;-1)\)

On admet que les points \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) et \(\mathrm{C}\) ne sont pas alignés.

Affirmation 2 : La droite \((\mathrm{CD})\) est orthogonale au plan \((\mathrm{ABC})\).
Soit \(d\) une droite de l'espace dont une représentation paramétrique est : \[\begin{cases} x = 2t \\ y = -2 + 4t \\ z = -2 + t \end{cases} \text{ avec } t \in \mathbb{R}\]
Soit \(P_1\) le plan de vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\) et passant par \(\mathrm{E}(1\,;1\,;-1)\).

Affirmation 3 : L'intersection de la droite \(d\) et du plan \(P_1\) est le point \(\mathrm{M}(2\,;2\,;-1)\).
Soit \(\mathrm{N}(2\,;0\,;-2)\) et \(\mathrm{H}(1\,;-2\,;0)\) deux points de l'espace.
Soit \(P_2\) le plan d'équation cartésienne \(x + 2y - 2z + 3 = 0\).

Affirmation 4 : La distance de \(\mathrm{N}\) au plan \(P_2\) est \(\mathrm{NH}\).

Méthodes de cours

Trois vecteurs forment une base de l'espace si et seulement s'ils sont non coplanaires.

Méthode : vérifie que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires, puis cherche deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}\). Traduis cette égalité coordonnée par coordonnée : tu obtiens un système de trois équations à deux inconnues.

💡 Deux équations suffisent à trouver \(a\) et \(b\) ; c'est la troisième qui tranche. Si elle est vérifiée, les vecteurs sont coplanaires ; si elle donne une absurdité, ils ne le sont pas.

Une droite est orthogonale à un plan si un vecteur directeur de la droite est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.

Calcule \(\vec{\mathrm{CD}}\), \(\vec{\mathrm{AB}}\), \(\vec{\mathrm{AC}}\), puis les produits scalaires :

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = xx' + yy' + zz'\]

💡 Un seul produit scalaire nul ne suffit pas. Cite aussi l'hypothèse « A, B, C non alignés » : c'est elle qui garantit que \(\vec{\mathrm{AB}}\) et \(\vec{\mathrm{AC}}\) ne sont pas colinéaires.

Détermine d'abord une équation cartésienne de \(P_1\) : un vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) donne \(ax + by + cz + d = 0\), et le point \(\mathrm{E}\) fixe \(d\).

Un point est le point d'intersection s'il appartient à la fois à \(d\) et à \(P_1\). Pour trouver l'intersection, on reporte \(x(t)\), \(y(t)\), \(z(t)\) dans l'équation du plan et on résout en \(t\).

💡 Anti-méthode : vérifier seulement que \(\mathrm{M}\) est sur \(d\) ne prouve rien. Teste les deux appartenances ; si l'une échoue, un contre-exemple suffit pour conclure.

La distance de \(\mathrm{N}\) au plan \(P_2\) est la longueur \(\mathrm{NH}\) où \(\mathrm{H}\) est le projeté orthogonal de \(\mathrm{N}\) sur \(P_2\). Pour que le point \(\mathrm{H}\) donné soit ce projeté, deux conditions :

\(\mathrm{H} \in P_2\) (ses coordonnées vérifient l'équation) ;
\(\vec{\mathrm{NH}}\) est colinéaire à un vecteur normal de \(P_2\), qu'on lit sur les coefficients de l'équation.

💡 Pour tout point \(\mathrm{K}\) du plan, \(\mathrm{NK}\) est supérieure ou égale à la distance : c'est bien la colinéarité avec \(\vec{n}\) qu'il faut vérifier, pas seulement l'appartenance de \(\mathrm{H}\) au plan. Tu peux terminer en calculant \(\mathrm{NH}\).

Exercice 4 (6 points) — Partie A

On peut traiter indépendamment les parties A et B.

On considère l'équation différentielle :

\[(E) : 2y' + 3y = 8\mathrm{e}^{-\frac{3}{2}t}\]

où \(y\) est une fonction de la variable \(t\) et elle est définie et dérivable sur \([0\,;+\infty[\).

Résoudre dans l'intervalle \([0\,;+\infty[\) l'équation différentielle \((E') : 2y' + 3y = 0\).
Soit \(f\) la fonction dérivable sur \([0\,;+\infty[\), définie par \(f(t) = 4t\mathrm{e}^{-\frac{3}{2}t}\).
On admet que cette fonction \(f\) est une solution de l'équation différentielle \((E)\).

On considère une fonction \(g\) définie et dérivable sur \([0\,;+\infty[\).

Démontrer que :

« \(g\) est solution de \((E)\) » est équivalent à « \(g - f\) solution de \((E')\) ».
En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle \((E)\).
Déterminer toutes les solutions de \((E)\) qui s'annulent en 0.

Méthodes de cours

Les solutions de \(y' = ay\) sont les fonctions :

\[t \mapsto C\mathrm{e}^{at}, \quad C \in \mathbb{R}\]

Mets d'abord \((E')\) sous la forme \(y' = ay\) en isolant \(y'\) : c'est là que se lit la valeur de \(a\).

💡 Piège : \(a\) n'est pas \(-3\) ; il faut diviser par le coefficient de \(y'\). N'oublie pas « \(C \in \mathbb{R}\) » dans la réponse.

Écris ce que signifie « \(f\) est solution de \((E)\) » : \(2f' + 3f = 8\mathrm{e}^{-\frac{3}{2}t}\). Remplace alors le second membre de \((E)\) pour \(g\) par \(2f' + 3f\) et regroupe, par linéarité de la dérivation :

\[(g - f)' = g' - f'\]

Pour Q3 : si \(g - f\) est solution de \((E')\), la question 1 te dit à quoi \(g - f\) est égale ; il reste à isoler \(g\).

💡 On demande une équivalence : rédige une chaîne de \(\iff\) (chaque étape est réversible), ou démontre séparément les deux implications.

Remplace \(t\) par 0 dans l'expression générale obtenue en Q3, avec \(\mathrm{e}^0 = 1\), et résous \(g(0) = 0\) d'inconnue \(C\).

💡 La question dit « toutes les solutions » : conclus en précisant combien il y en a, et reconnais-la si tu l'as déjà rencontrée dans l'exercice.

Exercice 4 (6 points) — Partie B

Un essai clinique est réalisé auprès de plusieurs patients volontaires afin de valider ou non l'efficacité d'un médicament. On demande au patient d'avaler le médicament sous la forme d'un comprimé de 1 mg puis on étudie la quantité de ce médicament présente dans le sang au cours du temps.

La quantité de ce médicament en fonction du temps écoulé après la prise du comprimé, en mg, est modélisée par la fonction \(f\) dérivable sur \([0\,;+\infty[\), définie par :

\[f(t) = 4t\mathrm{e}^{-\frac{3}{2}t}, \quad t \text{ étant exprimé en heures.}\]

Déterminer \(\displaystyle\lim_{t \to +\infty} f(t)\). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
1. Vérifier en détaillant les calculs que pour tout réel \(t\) positif, \[f'(t) = (4 - 6t)\mathrm{e}^{-\frac{3}{2}t}\]
2. Étudier le signe de la dérivée et en déduire le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \([0\,;+\infty[\).
3. Au bout de combien de temps la quantité de ce médicament présente dans le sang est-elle maximale ?
Démontrer que l'équation \(f(t) = 0,5\) admet une unique solution sur \([1\,;3]\).
Donner un encadrement de cette solution, notée \(\alpha\), à \(10^{-2}\) près.
L'essai clinique sera validé si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
- Condition 1 : \(50\,\%\) de la quantité du médicament est éliminée de l'organisme au plus tard 2 heures après la prise du comprimé.
- Condition 2 : la quantité moyenne du médicament présente dans le corps du patient entre 1 heure et 3 heures après la prise du comprimé est inférieure à 0,40 mg.
La condition 1 est-elle réalisée ?

La condition 2 est-elle réalisée ?

Méthodes de cours

En \(+\infty\), \(4t \to +\infty\) et \(\mathrm{e}^{-\frac{3}{2}t} \to 0\) : forme indéterminée « \(\infty \times 0\) ». On lève l'indétermination avec le résultat du cours :

\[\lim_{X \to +\infty} X\mathrm{e}^{-X} = \lim_{X \to +\infty} \frac{X}{\mathrm{e}^{X}} = 0\]

Fais apparaître \(X = \dfrac{3}{2}t\) en écrivant \(4t\) comme un multiple de \(\dfrac{3}{2}t\).

💡 L'interprétation porte sur la quantité de médicament dans le sang « à long terme ». Une phrase suffit, mais elle est attendue.

\[(uv)' = u'v + uv' \qquad \left(\mathrm{e}^{kt}\right)' = k\,\mathrm{e}^{kt}\]

Pose \(u(t) = 4t\) et \(v(t) = \mathrm{e}^{-\frac{3}{2}t}\), puis factorise par l'exponentielle pour retrouver l'expression annoncée.

💡 Ne perds pas le signe \(-\) du coefficient \(-\dfrac{3}{2}\) en dérivant \(v\) : c'est lui qui produit le \(-6t\).

Une exponentielle est strictement positive : le signe de \(f'(t)\) est celui du facteur affine \(4 - 6t\). Résous \(4 - 6t > 0\) puis dresse le tableau avec les valeurs aux bornes et l'extremum.

Le maximum est atteint là où \(f'\) s'annule en passant du \(+\) au \(-\).

💡 Q2c demande un temps : convertis le résultat en heures et minutes, c'est plus parlant qu'une fraction d'heure. La valeur exacte de \(f\) au maximum se simplifie avec \(\mathrm{e}^{-1}\).

Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a\,;b]\), alors pour tout \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(t) = k\) admet une unique solution dans \([a\,;b]\).

Vérifie que \([1\,;3]\) est inclus dans un intervalle où \(f\) est strictement monotone (tableau de Q2b), calcule \(f(1)\) et \(f(3)\), et situe \(0,5\). Pour l'encadrement, balaye à la calculatrice avec un pas de \(0,01\).

💡 Les trois hypothèses (continuité, stricte monotonie, valeur intermédiaire) doivent être citées. Pour l'encadrement, donne les deux valeurs de \(f\) qui encadrent \(0,5\), ce sont elles qui justifient ta réponse.

Le comprimé contient 1 mg : la moitié est éliminée quand il ne reste plus que \(0,5\) mg dans le sang. Tu viens de déterminer à quel instant \(f\) atteint cette valeur après le pic.

Utilise le sens de variation de \(f\) sur \(\left[\dfrac{2}{3}\,;+\infty\right[\) pour justifier que \(f(t) \leqslant 0,5\) à partir de cet instant, puis compare avec 2 heures.

💡 Contrôle rapide : calcule aussi \(f(2)\) et compare-le à \(0,5\). Les deux raisonnements doivent concorder.

La quantité moyenne sur \([a\,;b]\) est la valeur moyenne de \(f\) :

\[m = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\]

Pour calculer l'intégrale d'un produit « polynôme \(\times\) exponentielle », intègre par parties :

\[\int_a^b u(t)v'(t)\,\mathrm{d}t = \big[u(t)v(t)\big]_a^b - \int_a^b u'(t)v(t)\,\mathrm{d}t\]

Dérive le facteur \(4t\) (il devient constant) et primitive l'exponentielle.

💡 Une primitive de \(\mathrm{e}^{kt}\) est \(\dfrac{1}{k}\mathrm{e}^{kt}\) : avec \(k = -\dfrac{3}{2}\), attention au signe et au \(\dfrac{2}{3}\). Autre voie élégante : la partie A donne \(3f = 8\mathrm{e}^{-\frac{3}{2}t} - 2f'\), qui fournit directement une primitive de \(f\). N'oublie pas le facteur \(\dfrac{1}{3-1}\) avant de comparer à 0,40.

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

Bac Métropole8 septembre 2026 — Sujet de remplacement (Jour 1)

Exercice 1 (5 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 1 (5 points) — Partie B

Méthodes de cours

Exercice 1 (5 points) — Partie C

Méthodes de cours

Exercice 2 (5 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 2 (5 points) — Partie B

Méthodes de cours

Exercice 3 (4 points)

Méthodes de cours

Exercice 4 (6 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 4 (6 points) — Partie B

Méthodes de cours

Bac Métropole
8 septembre 2026 — Sujet de remplacement (Jour 1)