Guide de résolution — Bac Métropole J2 17 juin 2026

Exercice 1 (5 points)

Dans le repère orthonormé \(\left(\mathrm{O};\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k}\right)\), on considère les points :

A\((2 ; 1 ; 1)\), B\((3 ;-2 ; 0)\), C\((0 ;-1 ; 1)\) et D\((0 ; 0 ; 2)\).

Montrer que les points A, B et C définissent un plan.
1. Montrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) est normal au plan (ABC).
2. En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : \[x-y+4z-5=0.\]
Vérifier qu'une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) passant par D et orthogonale au plan (ABC) est donnée par : \[\begin{cases} x=t \\ y=-t \\ z=2+4t \end{cases} \quad \text{ avec } t \in \mathbb{R}.\]
Montrer que le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC) est le point H\(\left(-\dfrac{1}{6} ; \dfrac{1}{6} ; \dfrac{4}{3}\right)\).
1. Montrer que le triangle ABC est isocèle en B.
2. Montrer que l'aire du triangle ABC est \(3 \sqrt{2}\).
1. En déduire que le volume du tétraèdre ABCD est égal à 1.
  On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par : \(V=\dfrac{1}{3} \mathcal{B} h\), où \(\mathcal{B}\) est l'aire d'une base et \(h\) la hauteur relative à cette base.
2. On admet que la distance du point A au plan (BCD) est égale à \(\sqrt{2}\).
  En déduire l'aire du triangle BCD.
Dans cette question, on note \(\mathrm{D}_{k}\) le point ayant pour coordonnées \((0 ; 0 ; k)\), où \(k\) est un réel.
1. Déterminer la valeur de \(k\) pour laquelle les points A, B, C et \(\mathrm{D}_{k}\) sont coplanaires.
  Quel est alors le projeté orthogonal du point D\(_{k}\) sur le plan (ABC)?
2. Peut-on trouver une valeur de \(k\) telle que A soit le projeté orthogonal de \(\mathrm{D}_{k}\) sur le plan (ABC) ?

Méthodes de cours

A, B, C définissent un plan si et seulement si \(\vec{\mathrm{AB}}\) et \(\vec{\mathrm{AC}}\) ne sont pas colinéaires.

💡 Calcule les coordonnées des deux vecteurs et montre qu'ils ne sont pas proportionnels.

\(\vec{n}\) est normal si \(\vec{n}\cdot\vec{\mathrm{AB}}=0\) et \(\vec{n}\cdot\vec{\mathrm{AC}}=0\). Pour l'équation, écrire \(x-y+4z+d=0\) puis déterminer \(d\) avec un point du plan.

💡 Reporte les coordonnées de A pour trouver \(d=-5\).

\(\Delta\) passe par D et est dirigée par un vecteur normal au plan, donc par \(\vec{n}\). Écrire \(x=x_D+t\,n_x\), etc.

💡 Avec D\((0;0;2)\) et \(\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}\), vérifie que tu retrouves le système proposé.

H est l'intersection de \(\Delta\) et du plan (ABC) : injecter la représentation paramétrique dans l'équation du plan pour trouver \(t\), puis les coordonnées.

💡 Tu peux aussi vérifier directement que H appartient au plan et que \(\vec{\mathrm{DH}}\) est colinéaire à \(\vec{n}\).

Isocèle en B : comparer les longueurs \(\mathrm{BA}\) et \(\mathrm{BC}\) (normes de \(\vec{\mathrm{BA}}\) et \(\vec{\mathrm{BC}}\)).

Aire : \(\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\left\|\vec{\mathrm{AB}}\wedge\vec{\mathrm{AC}}\right\|\) (produit vectoriel), ou via une base et la hauteur.

💡 Si \(\mathrm{BA}=\mathrm{BC}\), le triangle est isocèle en B ; l'aire doit valoir \(3\sqrt{2}\).

Volume avec base ABC et hauteur \(h=\mathrm{DH}\) (distance de D au plan (ABC)) : \(V=\dfrac{1}{3}\,\mathcal{A}_{ABC}\times \mathrm{DH}\).

Pour l'aire de BCD : utiliser le même volume avec la base BCD et la hauteur \(\sqrt{2}\) (distance de A au plan (BCD)), et isoler \(\mathcal{B}\).

💡 \(\mathrm{DH}\) se calcule comme norme de \(\vec{\mathrm{DH}}\). Puis \(\mathcal{A}_{BCD}=\dfrac{3V}{\sqrt{2}}\).

Coplanaires : \(\mathrm{D}_k(0;0;k)\) appartient au plan (ABC) si ses coordonnées vérifient \(x-y+4z-5=0\). Le projeté orthogonal d'un point du plan est le point lui-même.

Pour que A soit le projeté de \(\mathrm{D}_k\), il faudrait que \(\vec{\mathrm{D}_k\mathrm{A}}\) soit colinéaire à \(\vec{n}\) (direction orthogonale au plan).

💡 Pour la coplanarité, résous \(4k-5=0\). Pour la seconde question, compare \(\vec{\mathrm{D}_k\mathrm{A}}\) (qui dépend de \(k\)) au vecteur \(\vec{n}\) et regarde si la colinéarité est possible.

Exercice 2 (5 points) — Partie A

Un bassin destiné à l'élevage des truites contient 30 000 litres d'eau, régulièrement renouvelée.

Pour vérifier la présence éventuelle de substances polluantes dans le bassin, on procède à des analyses régulières.

On étudie dans les deux parties ci-dessous un cas de contamination de l'eau par une substance polluante à l'aide de deux modèles différents.

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A : modèle discret

On note \(V_{n}\) le volume, en litre, de la substance polluante présente dans le bassin, \(n\) heures après le début du phénomène de pollution.

On a ainsi \(V_{0}=0\).

On admet que pour tout entier naturel \(n\), \(V_{n+1}=0,995 V_{n}+6\).

Calculer \(V_{1}\) et \(V_{2}\).
Recopier et compléter le programme ci-contre pour qu'il renvoie le volume en litre de substance polluante présente dans le bassin après \(n\) heures.
def volume(n):
    v = ...
    for k in range(n):
        v = ...
    return v
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(V_{n} \leqslant V_{n+1} \leqslant 1200\).
Justifier que la suite \((V_{n})\) converge, et calculer sa limite.

Méthodes de cours

Appliquer la relation \(V_{n+1}=0,995 V_{n}+6\) avec \(n=0\) puis \(n=1\), à partir de \(V_0=0\).

💡 \(V_1=0,995\times 0+6\), puis réinjecte \(V_1\) pour obtenir \(V_2\).

Le programme initialise \(v\) à la valeur \(V_0\), puis répète \(n\) fois la mise à jour qui transforme un terme en le suivant.

💡 Première ligne « v = ... » : la valeur de \(V_0\). Ligne dans la boucle « v = ... » : la relation de récurrence appliquée à v (\(0{,}995\,v + 6\)).

Double inégalité prouvant à la fois la croissance et la majoration par \(1200\).

Hérédité : la fonction \(x \mapsto 0{,}995\,x + 6\) est croissante ; l'appliquer à l'encadrement supposé.

💡 De \(V_n \leqslant V_{n+1} \leqslant 1200\), on obtient \(0{,}995\,V_n+6 \leqslant 0{,}995\,V_{n+1}+6 \leqslant 0{,}995\times 1200 + 6\) ; vérifie que \(0{,}995\times 1200 + 6 \leqslant 1200\).

Suite croissante et majorée par \(1200\) : elle converge. La limite \(\ell\) est solution de \(\ell = 0{,}995\,\ell + 6\).

💡 Résous l'équation de point fixe pour trouver \(\ell\).

Exercice 2 (5 points) — Partie B

Partie B : modèle continu

On note \(v(t)\) le volume, en litre, de la substance polluante présente dans le bassin à l'instant \(t\), en heure.

On admet que la fonction \(v\) est définie et dérivable sur l'intervalle \([0 ;+\infty[\), et on note \(v'\) sa fonction dérivée.

On considère que le phénomène de pollution débute au temps \(t=0\) ; ainsi \(v(0)=0\).

On admet que la fonction \(v\) est solution de l'équation différentielle : \[(E) : \quad y'=-0,005 y+6,\] où \(y\) est une fonction inconnue et où \(y'\) est la fonction dérivée de \(y\).

1. Déterminer les solutions de l'équation différentielle \((E)\) sur \([0 ;+\infty[\).
2. Montrer que pour tout réel \(t\) appartenant à l'intervalle \([0 ;+\infty[\) : \[v(t)=1200\left(1-\mathrm{e}^{-0,005 t}\right).\]
3. Calculer la limite de \(v\) en \(+\infty\).
4. Déterminer le sens de variation de la fonction \(v\) sur l'intervalle \([0 ;+\infty[\).
Un taux de substance polluante supérieur à \(5\,\%\) du volume du bassin nécessite un nettoyage complet. Selon ce modèle, le propriétaire devra-t-il procéder à ce nettoyage ?
Pour pouvoir dépolluer rapidement le bassin et éviter de lourdes conséquences sur l'élevage, il est préconisé que le volume de la substance polluante ne dépasse pas 50 litres.
Déterminer la valeur exacte de l'instant au-delà duquel le volume de la substance dépasse 50 litres dans le bassin.

En donner la valeur en heure et minute, arrondie à la minute.

Méthodes de cours

Les solutions de \(y'=ay+b\) (\(a\neq 0\)) sont \(t \mapsto K\mathrm{e}^{at}-\dfrac{b}{a}\), \(K\in\mathbb{R}\). Ici \(a=-0,005\) et \(b=6\).

💡 Le terme constant \(-\dfrac{b}{a}=\dfrac{6}{0,005}=1200\) : c'est la solution d'équilibre (et la limite future).

Utiliser \(v(0)=0\) pour déterminer \(K\) (avec \(\mathrm{e}^{0}=1\)).

💡 Tu obtiens \(K=-1200\), d'où \(v(t)=1200-1200\mathrm{e}^{-0,005t}=1200\left(1-\mathrm{e}^{-0,005t}\right)\).

Quand \(t\to+\infty\), \(\mathrm{e}^{-0,005t}\to 0\). Pour les variations, dériver \(v\) : \(v'(t)=1200\times 0,005\,\mathrm{e}^{-0,005t}\).

💡 \(v'(t)>0\) (exponentielle positive) : \(v\) est croissante, et tend vers sa limite par valeurs inférieures.

Calculer \(5\,\%\) du volume du bassin (\(30\,000\) litres) et le comparer au volume maximal possible de polluant, donné par la limite de \(v\).

💡 Compare \(0,05\times 30\,000\) à la borne supérieure de \(v(t)\) : si le volume de polluant ne peut jamais l'atteindre, le nettoyage n'est pas nécessaire.

Résoudre \(v(t)=50\), soit \(1200\left(1-\mathrm{e}^{-0,005t}\right)=50\). Isoler l'exponentielle puis appliquer \(\ln\).

💡 Tu obtiens une valeur exacte de la forme \(t=-200\ln(\cdots)\) ; convertis ensuite en heures et minutes (arrondi à la minute).

Exercice 3 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Justifier chaque réponse.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

On désigne par « musiciens professionnels » l'ensemble des femmes et hommes pratiquant un instrument de manière professionnelle.

Une étude a été réalisée auprès des musiciens professionnels pratiquant différents genres musicaux (Pop, Rap, Rock, Classique, etc.).
Cette étude indique que :
- \(52\,\%\) des musiciens professionnels jouent de la Pop ;
- parmi les musiciens professionnels jouant de la Pop, \(32\,\%\) sont des femmes ;
- \(20\,\%\) des musiciens professionnels sont des femmes.
On choisit au hasard une personne dans l'ensemble des musiciens professionnels.

On note :
- \(O\) l'évènement : « la personne joue de la Pop » ;
- \(F\) l'évènement : « la personne est une femme ».
Affirmation 1 : Si la personne choisie est une femme, alors la probabilité qu'elle joue de la Pop est de 0,832.
La proportion de musiciens professionnels au sein de la population active dans le secteur de la culture est estimée à \(6,2\,\%\).
On prélève au hasard et de manière indépendante un échantillon de 5 000 personnes au sein de cette population.

La population considérée est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On considère la variable aléatoire \(X\) qui, à tout échantillon ainsi défini, associe le nombre de musiciens professionnels dans l'échantillon.

Affirmation 2 : En arrondissant le résultat au dixième, on a \(P(X \leqslant 340) \approx 0,4\).

Affirmation 3 : En appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on peut affirmer qu'il y a plus de \(95\,\%\) de chance que, sur cet échantillon de 5 000 actifs dans le secteur de la culture, le nombre de musiciens professionnels soit strictement compris entre 230 et 390.
Un jeu sur le thème de la culture de la Pop est proposé à 10 personnes dont 4 sont des musiciens professionnels.
Deux équipes de 5 joueurs s'affrontent.

Elles sont chacune constituées de 2 musiciens professionnels et de 3 personnes qui ne le sont pas.

Affirmation 4 : On peut former ainsi 120 équipes différentes.

Méthodes de cours

On cherche \(P_F(O)\). Par la formule \(P_F(O)=\dfrac{P(O \cap F)}{P(F)}\), il faut d'abord \(P(O\cap F)\).

Or « parmi les Pop, \(32\,\%\) sont des femmes » donne \(P_O(F)=0,32\), donc \(P(O\cap F)=P(O)\times P_O(F)\).

💡 Calcule \(P(O\cap F)=0,52\times 0,32\), puis divise par \(P(F)=0,20\). Compare à \(0,832\).

\(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n=5\,000\) et \(p=0,062\) (tirage assimilé à avec remise). On cherche \(P(X \leqslant 340)\).

💡 L'espérance est \(np=310\). Utilise la calculatrice (binomiale cumulée) pour évaluer \(P(X\leqslant 340)\), puis arrondis au dixième et compare à \(0,4\).

Calcule \(E(X)=np\) et \(V(X)=np(1-p)\). L'intervalle \(]230 ; 390[\) est centré sur \(E(X)=310\) : il s'écrit \(|X-310|<80\).

\[P\big(|X-310|<80\big)\geqslant 1-\frac{V(X)}{80^2}.\]

💡 Calcule la minoration \(1-\dfrac{V(X)}{80^2}\) et compare-la à \(0,95\) pour trancher.

Une équipe est constituée de 2 musiciens (choisis parmi 4) et de 3 non-musiciens (choisis parmi 6), l'ordre n'important pas : combinaisons.

\[\dbinom{4}{2}\times\dbinom{6}{3}.\]

💡 Calcule ce produit et compare à \(120\). (La seconde équipe est entièrement déterminée par le choix de la première.)

Exercice 4 (6 points) — Partie A

Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur l'intervalle \([0 ;+\infty[\) dont on donne ci-dessous une partie de la courbe représentative \(\mathcal{C}_f\) dans un repère orthogonal.

On note \(f'\) sa fonction dérivée.

On précise que :

la courbe \(\mathcal{C}_f\) admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point C d'abscisse 1 ;
la tangente \(T_{\mathrm{A}}\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point A\(\left(\dfrac{1}{2} ; 0 \right)\) passe par le point B\(\left(1 ; \mathrm{e}^{2}\right)\).

À l'aide du graphique ci-contre :
1. Donner \(f'(1)\).
2. Donner la solution de l'équation \(f(x)=0\) sur l'intervalle \([0 ; 3]\).
Déterminer \(f'\left(\dfrac{1}{2}\right)\).
Parmi les trois courbes \(\mathcal{C}_{1}\), \(\mathcal{C}_{2}\) et \(\mathcal{C}_{3}\) ci-dessous, deux représentent des primitives de la fonction \(f\).
Indiquer lesquelles et justifier.

Méthodes de cours

Une tangente parallèle à l'axe des abscisses a un coefficient directeur nul.

💡 Au point C d'abscisse 1, la tangente est horizontale : déduis-en directement la valeur de \(f'(1)\).

Résoudre \(f(x)=0\) revient à lire l'abscisse du point d'intersection de \(\mathcal{C}_f\) avec l'axe des abscisses sur \([0;3]\).

💡 Le point A donne cette intersection : lis son abscisse.

\(f'\left(\tfrac12\right)\) est le coefficient directeur de la tangente \(T_{\mathrm{A}}\) au point A, qui passe par A\(\left(\tfrac12;0\right)\) et B\(\left(1;\mathrm{e}^2\right)\).

\[f'\!\left(\tfrac12\right)=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.\]

💡 Calcule la pente avec les deux points : tu obtiens \(2\mathrm{e}^2\).

Une primitive \(F\) de \(f\) vérifie \(F'=f\) : la pente de \(\mathcal{C}_F\) en chaque point égale la valeur de \(f\). En particulier, là où \(f\) s'annule (en \(x=\tfrac12\)), une primitive a une tangente horizontale (extremum) ; là où \(f>0\), la primitive est croissante.

De plus, deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante : leurs courbes se déduisent l'une de l'autre par translation verticale.

💡 Repère les deux courbes qui se déduisent l'une de l'autre par translation verticale et dont les variations correspondent au signe de \(f\). La troisième (translatée horizontalement) ne convient pas.

Exercice 4 (6 points) — Partie B

Un industriel doit créer un logo représentant la forme ci-contre (Fig. 1).

La dimension de 0,3 cm indiquée sur la figure est une contrainte imposée par le client.

L'industriel choisit de modéliser le contour de ce logo à l'aide d'une portion de la courbe de la fonction \(f\) vue en partie A, et de l'image de cette portion par la symétrie par rapport à l'axe des abscisses, sur un intervalle \([0,5 ; \alpha]\).

Le nombre \(\alpha\) est un réel supérieur à 1 que l'on déterminera dans cette partie.

L'ensemble est représenté graphiquement dans un repère orthonormé (Fig. 2) d'unité 1 cm.

On admet que la fonction \(f\) est définie sur l'intervalle \([0 ;+\infty[\) par : \[f(x)=(2 x-1) \mathrm{e}^{-2 x+3}.\]

1. Vérifier que pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle \([0 ;+\infty[\) : \[f(x)=\mathrm{e}^{2} \times \dfrac{2 x-1}{\mathrm{e}^{2 x-1}}.\]
2. En déduire la limite de \(f\) en \(+\infty\).
  (On pourra poser \(X = 2x-1\)).
1. Montrer que, pour tout \(x\) de l'intervalle \([0 ; +\infty[\), \[f'(x)=(-4 x+4) \mathrm{e}^{-2 x+3}.\]
2. Construire le tableau complet des variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0 ;+\infty[\).
Justifier que la contrainte imposée par le client se traduit par l'égalité \(f(\alpha)=0,15\).
Montrer qu'il existe une unique valeur de \(\alpha\) dans l'intervalle \([1 ;+\infty[\) qui permette de vérifier cette égalité.

En donner une valeur arrondie au dixième.

Méthodes de cours

Utiliser les propriétés des exponentielles : \(\mathrm{e}^{-2x+3}=\mathrm{e}^{2}\times\mathrm{e}^{-2x+1}=\dfrac{\mathrm{e}^{2}}{\mathrm{e}^{2x-1}}\).

💡 Remplace dans \(f(x)=(2x-1)\mathrm{e}^{-2x+3}\) pour faire apparaître la forme \(\mathrm{e}^{2}\times\dfrac{2x-1}{\mathrm{e}^{2x-1}}\).

Poser \(X=2x-1\) : quand \(x\to+\infty\), \(X\to+\infty\). L'expression devient \(\mathrm{e}^{2}\times\dfrac{X}{\mathrm{e}^{X}}\).

💡 Utilise \(\displaystyle\lim_{X\to+\infty}\dfrac{X}{\mathrm{e}^{X}}=0\) (croissance comparée) pour conclure sur la limite de \(f\).

\(f\) est un produit \(u\times v\) avec \(u(x)=2x-1\) et \(v(x)=\mathrm{e}^{-2x+3}\). Alors \(u'=2\) et \(v'=-2\mathrm{e}^{-2x+3}\).

💡 Applique \((uv)'=u'v+uv'\) puis factorise par \(\mathrm{e}^{-2x+3}\) : tu obtiens \((-4x+4)\mathrm{e}^{-2x+3}\).

Le signe de \(f'(x)=(-4x+4)\mathrm{e}^{-2x+3}\) est celui de \(-4x+4\) (exponentielle positive). Étudier ce signe sur \([0;+\infty[\).

💡 \(f'\) s'annule en \(x=1\) (le point C !). Précise les valeurs aux bornes : \(f(0)\), le maximum \(f(1)\), et la limite en \(+\infty\) (Q1b).

La hauteur totale du logo en \(x=\alpha\) est l'écart entre la courbe et son symétrique, soit \(2\,f(\alpha)\). La contrainte de \(0,3\) cm donne \(2\,f(\alpha)=0,3\), d'où \(f(\alpha)=0,15\).

Sur \([1;+\infty[\), \(f\) est continue et strictement décroissante (tableau de variations) : appliquer le corollaire du TVI.

💡 Vérifie que \(0,15\) est compris entre \(f(1)\) et la limite en \(+\infty\) (qui vaut \(0\)). Puis encadre \(\alpha\) par balayage et arrondis au dixième.

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

Bac Métropole
17 juin 2026 — Sujet 2 (Jour 2)

Exercice 1 (5 points)

Méthodes de cours

Exercice 2 (5 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 2 (5 points) — Partie B

Méthodes de cours

Exercice 3 (4 points)

Méthodes de cours

Exercice 4 (6 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 4 (6 points) — Partie B

Méthodes de cours

Exercice 4 (6 points) — Partie C

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