Guide de résolution — Bac Métropole J1 16 juin 2026

Exercice 1 (5 points) — Partie A

Un navire assure la liaison entre deux ports de la Méditerranée.

Lors d'une traversée, une famille a la possibilité de réserver une cabine ainsi qu'un emplacement pour un véhicule.

Parmi l'ensemble des familles effectuant la traversée, on constate que \(30\,\%\) réservent un emplacement pour un véhicule et, parmi ces dernières, \(80\,\%\) réservent une cabine.

On sait par ailleurs que \(75\,\%\) des familles effectuant la traversée réservent une cabine.

On choisit au hasard une famille effectuant la traversée, et on considère les évènements suivants :

\(V\) : « la famille réserve un emplacement pour un véhicule » ;
\(C\) : « la famille réserve une cabine ».

Pour un évènement quelconque \(E\), on désigne par \(\overline{E}\) son évènement contraire et par \(P(E)\) sa probabilité.

1. Donner \(P(C)\).
2. Reproduire l'arbre ci-contre et compléter les quatre pointillés.
Calculer la probabilité qu'une famille réserve un emplacement pour un véhicule et une cabine.
Une famille a réservé une cabine.
Déterminer la probabilité qu'elle réserve un emplacement pour un véhicule.
Déterminer \(P_{\overline{V}}(C)\).
On arrondira le résultat à \(10^{-2}\).
Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Méthodes de cours

Repérer les probabilités données directement :

« \(30\,\%\) réservent un véhicule » \(\to P(V)\) ; en déduire \(P(\overline{V}) = 1 - P(V)\) ;
« parmi ces dernières, \(80\,\%\) réservent une cabine » \(\to\) probabilité conditionnelle \(P_V(C)\), puis \(P_V(\overline{C}) = 1 - P_V(C)\).

La donnée « \(75\,\%\) réservent une cabine » est une probabilité totale \(P(C)\) : elle ne se place pas sur une branche, elle servira aux questions suivantes.

💡 Les quatre pointillés à compléter sont les branches \(V\), \(V\!\to\!C\), \(V\!\to\!\overline{C}\) et \(\overline{V}\). Les deux branches issues de \(\overline{V}\) restent inconnues pour l'instant : elles se déduiront en Q4. Pense à la règle « somme des branches d'un même nœud \(=1\) ».

La probabilité le long d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités des branches :

\[P(V \cap C) = P(V)\times P_V(C).\]

💡 Repère le chemin « véhicule » puis « cabine » et multiplie les deux probabilités lues sur ces branches.

On cherche \(P_C(V)\) : on connaît la cabine, on remonte vers le véhicule. Définition :

\[P_C(V) = \frac{P(V \cap C)}{P(C)}.\]

💡 Le numérateur a été calculé en Q2, le dénominateur est la donnée \(P(C)\) de la Q1. Attention à ne pas confondre \(P_C(V)\) et \(P_V(C)\) : l'indice indique l'évènement déjà réalisé.

\(V\) et \(\overline{V}\) forment une partition de l'univers. La formule des probabilités totales s'écrit :

\[P(C) = P(V \cap C) + P(\overline{V} \cap C) = P(V)\,P_V(C) + P(\overline{V})\,P_{\overline{V}}(C).\]

Tout est connu sauf \(P_{\overline{V}}(C)\) : il suffit d'isoler cette inconnue.

💡 Une fois \(P_{\overline{V}}(C)\) obtenue et arrondie à \(10^{-2}\), interprète-la par une phrase : « parmi les familles qui ne réservent pas de véhicule, environ … % réservent une cabine. »

Exercice 1 (5 points) — Partie B

Sur ce trajet, la réservation d'une cabine et d'un emplacement pour un véhicule sont facturés en supplément du coût de la traversée.

Ces suppléments sont d'un montant de :

100 € pour une cabine ;
70 € pour l'emplacement d'un véhicule.

On suppose qu'une famille peut réserver au maximum une cabine et au maximum un emplacement pour un véhicule.

À ces suppléments peuvent s'ajouter le prix payé pour des extras (repas, boissons, etc.).

On note \(X\) la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu'elle paie, en euro, pour les suppléments.

On donne ci-dessous la loi de probabilité de \(X\).

On note \(Y\) la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu'elle paie, en euro, pour les extras.

On admet que la variable aléatoire \(Y\) a pour espérance \(\mathrm{E}(Y)=104\) et pour variance \(\mathrm{V}(Y)=1\,686\).

On suppose que les variables \(X\) et \(Y\) sont indépendantes.

Justifier que \(\mathrm{E}(X)=96\) et que \(\mathrm{V}(X)=3\,114\).
À titre exceptionnel, la compagnie propose une remise de \(40\,\%\) sur les suppléments et les extras.
On note \(Z\) la variable aléatoire qui, à chaque famille effectuant la traversée, associe le montant total pour les suppléments et les extras, en euro, payé par cette famille après réduction.
1. Justifier que \(Z = 0{,}6(X + Y)\).
2. En déduire que \(\mathrm{E}(Z)=120\) et que \(\mathrm{V}(Z)=1\,728\), où \(\mathrm{E}(Z)\) est l'espérance de la variable aléatoire \(Z\) et \(\mathrm{V}(Z)\) sa variance.
On note \(n\) un entier naturel non nul et on choisit au hasard un échantillon de \(n\) familles effectuant cette traversée bénéficiant de la réduction exceptionnelle définie en question 2.
On admet que ce choix peut être assimilé à un tirage avec remise.

On désigne par \(Z_1\) la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la première famille, \(Z_2\) la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la deuxième famille et ainsi de suite, \(Z_n\) la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la \(n\)-ième famille.

On considère la variable aléatoire \(M_n=\dfrac{Z_1+Z_2+\ldots+Z_n}{n}\) donnant le prix total moyen pour les suppléments et les extras, payé par ces familles.

On admet que les variables \(Z_1\,,\ Z_2\,,\ \ldots,\ Z_n\) sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité que la variable aléatoire \(Z\).
1. Montrer que l'espérance \(\mathrm{E}(M_n)\) de la variable \(M_n\) est égale à 120, et que sa variance \(\mathrm{V}(M_n)\) est égale à \(\dfrac{1\,728}{n}\).
2. Déterminer le plus petit entier \(n\) pour lequel l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d'affirmer que \[\mathrm{P}\big(114

Méthodes de cours

Formules de cours :

\[\mathrm{E}(X) = \sum_i x_i\,P(X = x_i),\qquad \mathrm{V}(X) = \sum_i x_i^2\,P(X = x_i) - \big(\mathrm{E}(X)\big)^2.\]

💡 Calcule d'abord \(\mathrm{E}(X)\) ligne par ligne, puis \(\mathrm{E}(X^2)\) avec les \(x_i^2\), et applique la formule de König-Huygens pour la variance. Vérifie que tu retombes sur les valeurs annoncées.

Le montant total avant remise est \(X + Y\) ; une remise de \(40\,\%\) revient à ne payer que \(60\,\%\), d'où le facteur \(0{,}6\).

Propriétés (avec \(a\) constante) :

\[\mathrm{E}(aW) = a\,\mathrm{E}(W),\qquad \mathrm{V}(aW) = a^2\,\mathrm{V}(W).\]

Et par linéarité / indépendance :

\[\mathrm{E}(X+Y) = \mathrm{E}(X)+\mathrm{E}(Y),\qquad \mathrm{V}(X+Y) = \mathrm{V}(X)+\mathrm{V}(Y)\ \text{(si indépendantes)}.\]

💡 Attention au carré pour la variance : le facteur \(0{,}6\) devient \(0{,}6^2 = 0{,}36\). L'indépendance de \(X\) et \(Y\) est indispensable pour additionner les variances.

Pour \(n\) variables indépendantes de même loi que \(Z\) :

\[\mathrm{E}(M_n) = \mathrm{E}(Z),\qquad \mathrm{V}(M_n) = \frac{\mathrm{V}(Z)}{n}.\]

💡 Redémontre-le rapidement : \(\mathrm{E}\!\left(\frac{1}{n}\sum Z_i\right) = \frac1n \sum \mathrm{E}(Z_i)\) et \(\mathrm{V}\!\left(\frac{1}{n}\sum Z_i\right) = \frac{1}{n^2}\sum \mathrm{V}(Z_i)\) grâce à l'indépendance.

Forme utile ici (autour de l'espérance) :

\[P\big(|M_n - \mathrm{E}(M_n)| < \delta\big) \geqslant 1 - \frac{\mathrm{V}(M_n)}{\delta^2}.\]

L'encadrement \(114 < M_n < 126\) se réécrit \(|M_n - 120| < 6\) : ici \(\delta = 6\).

💡 Écris la condition « \(1 - \dfrac{\mathrm{V}(M_n)}{6^2} \geqslant 0{,}85\) », remplace \(\mathrm{V}(M_n) = \dfrac{1\,728}{n}\), puis résous l'inéquation en \(n\). Comme \(n\) est entier, prends le plus petit entier qui convient. Interprète : avec ce nombre de familles, la moyenne est « presque sûrement » proche de \(120\) €.

Exercice 2 (4 points) — Question 1

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

L'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath}\,,\,\vec{k}\right)\).
On considère :
- la droite \((d)\) dont une représentation paramétrique est : \[\begin{cases} x=t \\ y=-1{,}5-t \\ z=2-2t \end{cases}\text{ où } t \in \mathbb{R}\,;\]
- les points A\((3 ; 0 ; 2)\) et B\((2 ; 1 ;-3)\) ;
- le plan \((\mathcal{P})\) d'équation : \(-x+y-5z-0{,}5=0\).
1. Affirmation 1 :
  Le plan \((\mathcal{P})\) est orthogonal à la droite (AB), et passe par le milieu du segment [AB].
2. Affirmation 2 :
  Les droites \((d)\) et (AB) sont sécantes.
3. On considère le point C de coordonnées \((1{,}5 ; -3 ; -1)\).
  Affirmation 3 :
  
  La mesure de l'angle \(\widehat{\mathrm{ACB}}\), arrondie à \(10^{-1}\), est égale à \(70{,}5\)°.
Titouan et Clotilde participent à un escape game. Ils se retrouvent dans une salle possédant deux portes de sortie, A et B, chacune protégée par un digicode équipé de 8 touches portant des symboles différents :
- le digicode de la porte A utilise un code de 3 symboles différents devant être saisis dans l'ordre ;
- celui de la porte B utilise un code de 4 symboles différents qui peuvent être saisis dans n'importe quel ordre.
N'étant pas parvenus à obtenir d'indices, ils décident de procéder au hasard à la saisie des codes.

Clotilde choisit un code pour la porte A, et Titouan choisit un code pour la porte B.

On considère que les choix des codes sont équiprobables.

Affirmation 4 :

Titouan a plus de chances d'ouvrir sa porte que Clotilde.

(Les affirmations 1 à 3 sont traitées dans cet onglet ; l'affirmation 4 dans l'onglet suivant.)

Méthodes de cours

Deux choses à vérifier, indépendantes :

Orthogonalité : \((\mathcal{P})\) est orthogonal à (AB) si et seulement si le vecteur normal \(\vec{n}\) de \((\mathcal{P})\) est colinéaire à \(\vec{\mathrm{AB}}\). Lire \(\vec{n}\) dans l'équation (coefficients de \(x,y,z\)) et calculer \(\vec{\mathrm{AB}}\).
Milieu : calculer les coordonnées du milieu \(\mathrm{I}\) de [AB] (moyenne des coordonnées), puis vérifier qu'elles satisfont l'équation de \((\mathcal{P})\).

💡 Si \(\vec{n}\) et \(\vec{\mathrm{AB}}\) sont colinéaires et que \(\mathrm{I} \in (\mathcal{P})\), l'affirmation est vraie. Il faut les deux conditions.

Deux droites sont sécantes si elles ont exactement un point commun. Écris une représentation paramétrique de (AB) avec un paramètre différent (par exemple \(s\)) de celui de \((d)\).

Égale les coordonnées et résous le système en \((s,t)\).

💡 Si le système n'a aucune solution, les droites ne sont pas sécantes. Vérifie au passage si les vecteurs directeurs sont colinéaires (parallèles) ou non (non coplanaires) — utile pour justifier.

L'angle \(\widehat{\mathrm{ACB}}\) a pour sommet C : il est formé par les vecteurs \(\vec{\mathrm{CA}}\) et \(\vec{\mathrm{CB}}\).

\[\cos\big(\widehat{\mathrm{ACB}}\big) = \frac{\vec{\mathrm{CA}} \cdot \vec{\mathrm{CB}}}{\left\|\vec{\mathrm{CA}}\right\| \times \left\|\vec{\mathrm{CB}}\right\|}.\]

💡 Calcule séparément le produit scalaire \(\vec{\mathrm{CA}} \cdot \vec{\mathrm{CB}}\) et les deux normes, puis \(\arccos\) du quotient. Compare l'arrondi à \(10^{-1}\) à la valeur \(70{,}5\)° annoncée pour trancher.

Exercice 3 (6 points) — Partie A

On étudie le fonctionnement d'un système de chauffage installé dans une pièce.

Ce système se déclenche automatiquement dès que la température de la pièce est inférieure ou égale à 18 °C (degrés Celsius), et s'éteint lorsqu'elle atteint 20 °C.

Partie A : Phase de chauffage

Pour une température de la pièce variant de 18 °C à 20 °C, le système de chauffage fonctionne en continu. La température de la pièce augmente progressivement.

Dans cette partie, on modélise la température de la pièce, en degré Celsius, à l'instant \(t\), exprimé en dizaines de minutes, par une fonction \(T\) définie sur \([0 ;+\infty[\).

On admet que la fonction \(T\) est :

dérivable sur \([0 ;+\infty[\) ;
solution de l'équation différentielle \[(E): \quad y'=-0{,}035\, y+0{,}91\] où \(y\) est une fonction de la variable \(t\), définie et dérivable sur \([0 ;+\infty[\).

On note \(T'\) la fonction dérivée de la fonction \(T\).

On suppose qu'au début de l'étude, la température de la pièce est de 18 °C.

Ainsi \quad \(T(0)=18\).

Donner les solutions de l'équation différentielle \((E)\) sur \([0 ; +\infty[\).
En déduire que, pour tout nombre réel \(t\) appartenant à l'intervalle \([0 ;+\infty[\), on a : \[T(t)=26-8\, \mathrm{e}^{-0{,}035 t}.\]
Selon ce modèle, déterminer au bout de combien de temps la pièce atteindra la température de 20 °C.
On exprimera le résultat en heures et minutes arrondi à la minute.
Si une panne du système de chauffage l'empêche de s'éteindre lorsque la température de la pièce atteint 20 °C, la température de la pièce pourra-t-elle dépasser 28 °C selon ce modèle ?
Justifier.

Méthodes de cours

Théorème : les solutions de \(y' = ay + b\) (avec \(a \neq 0\)) sur un intervalle sont les fonctions \[t \longmapsto K\,\mathrm{e}^{at} - \frac{b}{a},\qquad K \in \mathbb{R}.\]

Ici, identifier \(a\) et \(b\) dans \((E) : y' = -0{,}035\,y + 0{,}91\).

💡 Le terme constant \(-\dfrac{b}{a}\) correspond à la solution d'équilibre (quand \(y' = 0\)). Calcule-le : il donnera la limite/asymptote du modèle.

La condition \(T(0) = 18\) permet de déterminer la constante \(K\) : remplace \(t = 0\) dans la forme générale et résous l'équation obtenue.

💡 Comme \(\mathrm{e}^{0} = 1\), l'équation en \(K\) est immédiate. Vérifie ensuite que ton expression coïncide bien avec \(26 - 8\,\mathrm{e}^{-0{,}035\,t}\).

Poser l'équation \(26 - 8\,\mathrm{e}^{-0{,}035\,t} = 20\) et isoler l'exponentielle, puis appliquer le logarithme népérien :

\[\mathrm{e}^{-0{,}035\,t} = \frac{6}{8} \iff -0{,}035\,t = \ln\!\left(\frac{3}{4}\right) \iff t = \frac{\ln(3/4)}{-0{,}035}.\]

💡 Le résultat \(t\) est en dizaines de minutes : multiplie par \(10\) pour avoir des minutes, puis convertis en heures + minutes (arrondi à la minute).

Étudier le comportement de \(T(t) = 26 - 8\,\mathrm{e}^{-0{,}035\,t}\). Comme \(\mathrm{e}^{-0{,}035\,t} > 0\) pour tout \(t\), on a une majoration immédiate de \(T(t)\).

💡 Encadre : puisque \(8\,\mathrm{e}^{-0{,}035t} > 0\), compare \(T(t)\) à \(26\). Que vaut la limite quand \(t \to +\infty\) ? Conclus sur la possibilité (ou non) de dépasser \(28\)°C.

Exercice 3 (6 points) — Partie B

Partie B : Phase de refroidissement

Lorsque la pièce atteint la température de 20 °C, le système de chauffage s'éteint et la pièce refroidit.

On modélise la température de la pièce par la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=20\) et pour tout entier naturel \(n\) : \[u_{n+1}=0{,}965\, u_n+0{,}35+0{,}07\, \mathrm{e}^{-0{,}1 n}\,,\] où \(n\) est un nombre entier exprimant le temps écoulé en dizaines de minutes.

Montrer que \quad \(u_1=19{,}72\).
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a \[u_n>10.\]

On admet que la suite \((u_n)\) est décroissante.

En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.
On note \(\ell\) la limite de la suite \(\left(u_n\right)\).
1. Justifier que cette limite est solution de l'équation \[x=0{,}965\, x+0{,}35.\]
2. Déterminer \(\ell\) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
On rappelle que le système de chauffage se met en marche automatiquement dès que la température de la pièce, est inférieure ou égale à 18 °C.
1. Recopier et compléter les lignes 4, 5 et 6 du programme écrit en langage Python ci-dessous, afin qu'il renvoie le nombre de dizaines de minutes à partir duquel le système de chauffage se remettra en marche.
  1.  def marche() :
  2.     n = 0
  3.     u = 20
  4.     while … :
  5.         u = …
  6.         n = …
  7.     return n
2. Déterminer le temps, en dizaines de minutes, à partir duquel le système de chauffage se remettra en marche.

Méthodes de cours

Appliquer la relation avec \(n = 0\) : \(u_1 = 0{,}965\,u_0 + 0{,}35 + 0{,}07\,\mathrm{e}^{-0{,}1 \times 0}\), avec \(u_0 = 20\) et \(\mathrm{e}^{0} = 1\).

💡 Pose le calcul terme à terme pour retrouver exactement \(19{,}72\) (pense à \(\mathrm{e}^{0} = 1\)).

Initialisation : vérifier \(u_0 > 10\).

Hérédité : supposer \(u_n > 10\). Minorer chaque terme de \(u_{n+1} = 0{,}965\,u_n + 0{,}35 + 0{,}07\,\mathrm{e}^{-0{,}1n}\) :

de \(u_n > 10\), on tire \(0{,}965\,u_n > 9{,}65\) ;
le terme \(0{,}07\,\mathrm{e}^{-0{,}1n}\) est strictement positif.

💡 En additionnant les minorations, montre que \(u_{n+1} > 10\). Le terme exponentiel, même petit, reste \(> 0\) : ne l'oublie pas dans l'inégalité.

On dispose de deux informations : \((u_n)\) est décroissante (admis) et minorée par \(10\) (Q2).

💡 Énonce le théorème : toute suite décroissante et minorée converge. Cela garantit l'existence de \(\ell\) (sans en donner la valeur — c'est l'objet de la Q4).

Passage à la limite dans \(u_{n+1} = 0{,}965\,u_n + 0{,}35 + 0{,}07\,\mathrm{e}^{-0{,}1n}\) : quand \(n \to +\infty\), \(u_n \to \ell\), \(u_{n+1} \to \ell\), et le terme \(0{,}07\,\mathrm{e}^{-0{,}1n} \to 0\).

On obtient \(\ell = 0{,}965\,\ell + 0{,}35\).

💡 Résous cette équation du premier degré en \(\ell\). Interprète : c'est la température vers laquelle tend la pièce si le chauffage ne se rallumait jamais (température « d'équilibre » du refroidissement).

Le programme doit compter les itérations tant que la température reste trop élevée pour rallumer le chauffage (seuil \(18\)°C).

Ligne 4 (condition du while) : continuer tant que la température est strictement supérieure à \(18\).
Ligne 5 : faire passer u au terme suivant à l'aide de la relation de récurrence (avec exp et l'indice n courant).
Ligne 6 : incrémenter le compteur n.

💡 Attention à l'ordre de mise à jour : la condition porte sur la température courante. Pour la Q5b, fais tourner la boucle (ou la suite calculée en Partie B) jusqu'à descendre à \(18\)°C ou moins, et lis la valeur de \(n\) renvoyée.

Exercice 4 (5 points) — Partie A

On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(]-1 ;+\infty[\) par : \[f(x)=a+\dfrac{b \ln (x+1)}{x+1}.\] où \(a\) et \(b\) sont des réels, et \(\ln\) désigne la fonction logarithme népérien.

On admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(]-1 ; +\infty [\).

On note \(f'\) sa fonction dérivée et \(f''\) sa fonction dérivée seconde.

Partie A

L'objectif de cette partie est de déterminer les valeurs de \(a\) et \(b\) de sorte que la courbe représentative de la fonction \(f\) sur \(]-1 ;+\infty[\) corresponde à celle tracée dans le repère orthonormé ci-dessous :

On précise que la droite \(T_{\mathrm{A}}\) est la tangente à la courbe représentative de la fonction \(f\) au point A\((0 ; 1)\).

Justifier que \(a=1\).
En utilisant le graphique :
1. Donner la valeur de \(f'(0)\). Justifier.
2. Donner le signe de \(f''(1)\). Justifier.
1. Montrer que pour tout réel \(x\) appartenant à \(]-1 ;+\infty[\), on a : \[f'(x)=\dfrac{b(1-\ln (x+1))}{(x+1)^{2}}\]
2. En déduire la valeur de \(b\).

Méthodes de cours

Le point A\((0\,;\,1)\) appartient à la courbe, donc \(f(0) = 1\). Calculer \(f(0)\) à partir de l'expression : que vaut \(\ln(0+1)\) ?

💡 Comme \(\ln 1 = 0\), le terme en \(b\) disparaît en \(x = 0\). L'égalité \(f(0) = 1\) donne directement \(a\).

\(f'(0)\) est le coefficient directeur de la tangente \(T_{\mathrm{A}}\) au point A.

💡 Lis deux points entiers de \(T_{\mathrm{A}}\) sur le graphique et calcule la pente \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\). C'est la valeur de \(f'(0)\).

Le signe de \(f''\) traduit la convexité : \(f'' > 0\) si la courbe « tourne vers le haut » (convexe), \(f'' < 0\) si elle « tourne vers le bas » (concave).

💡 Observe l'allure de la courbe au voisinage de \(x = 1\) : est-elle creusée vers le haut ou bombée vers le bas ? Déduis-en le signe de \(f''(1)\) et justifie par la position par rapport aux tangentes.

Seul le terme \(\dfrac{b\,\ln(x+1)}{x+1}\) dépend de \(x\). Pose \(u(x) = \ln(x+1)\) et \(v(x) = x+1\), puis applique \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\), avec \(u'(x) = \dfrac{1}{x+1}\) et \(v'(x) = 1\).

💡 Au numérateur, \(\dfrac{1}{x+1}\times (x+1) = 1\) : tu obtiens \(1 - \ln(x+1)\). N'oublie pas le facteur \(b\) et le dénominateur \((x+1)^2\).

Évalue l'expression de \(f'(x)\) trouvée en Q3a au point \(x = 0\), puis identifie avec la valeur de \(f'(0)\) lue au graphique (Q2a).

💡 En \(x = 0\), \(\ln 1 = 0\) et \((0+1)^2 = 1\) : l'expression se simplifie énormément et donne \(f'(0)\) en fonction de \(b\). L'égalité fournit \(b\).

Exercice 4 (5 points) — Partie B

Partie B

On admet dans la suite de l'exercice que la fonction \(f\) est définie sur \(]-1 ;+\infty[\) par : \[f(x)=1+\dfrac{4 \ln (x+1)}{x+1}\]

Justifier que la droite d'équation \(y=1\) est asymptote à la courbe représentative de la fonction \(f\).
Résoudre l'inéquation \(1-\ln (x+1)>0\) sur \(]-1 ;+\infty[\).
On admet que \(\lim\limits_{x \to -1} f(x)=-\infty\).
Dresser le tableau de variation complet de la fonction \(f\) en indiquant la valeur exacte de son extremum.

Justifier.
Montrer que l'équation \(f(x)=1{,}5\) admet une unique solution dans l'intervalle \([2 ; +\infty[\).
En donner une valeur arrondie à \(10^{-1}\).
1. Montrer que : \[\int_{0}^{2} \dfrac{\ln (x+1)}{x+1} \,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\big(\ln 3\big)^{2}.\]
2. En déduire l'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction \(f\), l'axe des ordonnées et la droite d'équation \(x=2\).

Méthodes de cours

La droite \(y = 1\) est asymptote en \(+\infty\) si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = 1\), c'est-à-dire si le terme \(\dfrac{4\,\ln(x+1)}{x+1} \to 0\).

Pose \(X = x+1 \to +\infty\) et utilise la croissance comparée \(\displaystyle\lim_{X\to+\infty}\dfrac{\ln X}{X} = 0\).

💡 Rédige : « \(f(x) - 1 = \dfrac{4\ln(x+1)}{x+1} \to 0\) quand \(x \to +\infty\) », ce qui est la définition d'une asymptote horizontale d'équation \(y = 1\).

\(1 - \ln(x+1) > 0 \iff \ln(x+1) < 1\). Comme \(1 = \ln(\mathrm{e})\) et que \(\ln\) est strictement croissante :

\[\ln(x+1) < \ln(\mathrm{e}) \iff x + 1 < \mathrm{e}.\]

💡 N'oublie pas la contrainte du domaine \(x > -1\) : la solution est un intervalle borné des deux côtés. Exprime la borne supérieure avec \(\mathrm{e}\).

Avec \(b = 4\), on a \(f'(x) = \dfrac{4\big(1 - \ln(x+1)\big)}{(x+1)^2}\). Le dénominateur est strictement positif : le signe de \(f'\) est celui de \(1 - \ln(x+1)\), déjà étudié en Q2.

Reporte le signe de \(f'\) (positif puis négatif) et les limites : \(-\infty\) en \(-1\), \(1\) en \(+\infty\).

💡 Le maximum est atteint au point qui annule \(f'\), c'est-à-dire en \(x + 1 = \mathrm{e}\). Calcule la valeur exacte \(f(\mathrm{e}-1)\) : le \(\ln(\mathrm{e}) = 1\) simplifie tout.

Sur \([2\,;\,+\infty[\), \(f\) est continue et strictement monotone (regarde le tableau de variation : \(2 > \mathrm{e}-1\), donc \(f\) y est strictement décroissante).

Vérifie que \(1{,}5\) est compris entre \(f(2)\) et la limite en \(+\infty\) (qui vaut \(1\)).

💡 Les hypothèses (continuité + stricte monotonie + valeur intermédiaire) donnent l'unicité. Pour l'arrondi à \(10^{-1}\), procède par balayage/dichotomie à la calculatrice.

Remarque que \(\dfrac{\ln(x+1)}{x+1} = u'(x)\,u(x)\) avec \(u(x) = \ln(x+1)\) et \(u'(x) = \dfrac{1}{x+1}\). Une primitive de \(u'u\) est \(\dfrac{u^2}{2}\).

\[\int_0^2 \frac{\ln(x+1)}{x+1}\,\mathrm{d}x = \left[\frac{\big(\ln(x+1)\big)^2}{2}\right]_0^2.\]

💡 Aux bornes : \(\ln(2+1) = \ln 3\) et \(\ln(0+1) = \ln 1 = 0\). Tu retrouves \(\tfrac12(\ln 3)^2\).

Sur \([0\,;\,2]\), \(f(x) > 0\) : l'aire cherchée est \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x\). Décompose :

\[\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^2 1\,\mathrm{d}x + 4\int_0^2 \frac{\ln(x+1)}{x+1}\,\mathrm{d}x.\]

💡 La première intégrale vaut \(2\) ; la seconde se déduit de la Q5a (sans oublier le facteur \(4\)). Donne le résultat en unités d'aire, sous forme exacte avec \((\ln 3)^2\).

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

Bac Métropole
16 juin 2026 — Jour 1

Exercice 1 (5 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 1 (5 points) — Partie B

Méthodes de cours

Exercice 2 (4 points) — Question 1

Méthodes de cours

Exercice 2 (4 points) — Question 2

Méthodes de cours

Exercice 3 (6 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 3 (6 points) — Partie B

Méthodes de cours

Exercice 4 (5 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 4 (5 points) — Partie B

Méthodes de cours

Bac Métropole16 juin 2026 — Jour 1

Exercice 1 (5 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 1 (5 points) — Partie B

Méthodes de cours

Exercice 2 (4 points) — Question 1

Méthodes de cours

Exercice 2 (4 points) — Question 2

Méthodes de cours

Exercice 3 (6 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 3 (6 points) — Partie B

Méthodes de cours

Exercice 4 (5 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 4 (5 points) — Partie B

Méthodes de cours

Bac Métropole
16 juin 2026 — Jour 1