Guide de résolution — Bac Centres Étrangers J2 10 juin 2026

Questions 1 à 4 — Plan, vecteur normal, équation

L’espace est muni d’un repère orthonormé \(\left(\mathrm{O}\,;\,\overrightarrow{\imath},\,\overrightarrow{\jmath},\,\overrightarrow{k}\right)\).

On considère :

les points de l’espace \(\mathrm{A}(1\,;\,0\,;\,3)\), \(\mathrm{B}(2\,;\,1\,;\,-1)\), \(\mathrm{C}(1\,;\,1\,;\,1)\) et \(\mathrm{H}(0\,;\,2\,;\,1)\) ;
le vecteur \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\).

Démontrer que les points A, B et C définissent un plan de l’espace.
Démontrer que le vecteur \(\overrightarrow{n}\) est un vecteur normal au plan (ABC).
Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
Vérifier que le point H appartient au plan (ABC).

Méthodes de cours

Trois points définissent un plan si, et seulement si, ils ne sont pas alignés, c’est-à-dire si les vecteurs \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) ne sont pas colinéaires.

Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) (soustraction des coordonnées : extrémité \(-\) origine).
Vérifier qu’ils ne sont pas proportionnels (pas de réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}=k\,\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)).

💡 Deux vecteurs sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles. Il suffit d’exhiber deux coordonnées dont les rapports diffèrent.

Un vecteur \(\overrightarrow{n}\) est normal au plan (ABC) lorsqu’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan :

\[\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0 \quad\text{et}\quad \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=0\]

Dans un repère orthonormé, le produit scalaire se calcule par \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v\).

💡 Il faut vérifier les deux produits scalaires : l’orthogonalité à un seul vecteur ne suffit pas.

Si \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) est normal au plan, celui-ci admet une équation de la forme :

\[ax+by+cz+d=0\]

On détermine \(d\) en écrivant qu’un point connu du plan (par exemple A) vérifie l’équation.

💡 Les coefficients \(a\), \(b\), \(c\) sont directement les coordonnées du vecteur normal.

Un point appartient au plan si, et seulement si, ses coordonnées vérifient l’équation cartésienne.

Remplacer \(x\), \(y\), \(z\) par les coordonnées de H et vérifier que le membre de gauche est nul.

Questions 5 à 7 — Angle, droite orthogonale, point S

Déterminer la mesure en degré de l’angle \(\widehat{\mathrm{BAH}}\).
Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((d)\) orthogonale au plan (ABC) et passant par le point H.
Déterminer les coordonnées du point \(\mathrm{S}\left(x_{\mathrm{S}}\,;\,y_{\mathrm{S}}\,;\,z_{\mathrm{S}}\right)\) de la droite \((d)\) tel que :
- la distance entre le point S et le plan (ABC) est 6 ;
- son abscisse \(x_{\mathrm{S}}\) est positive.

Méthodes de cours

L’angle \(\widehat{\mathrm{BAH}}\) est l’angle entre les vecteurs \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AH}}\). On utilise :

\[\cos\widehat{\mathrm{BAH}}=\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AH}}}{\left\lVert\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right\rVert\times\left\lVert\overrightarrow{\mathrm{AH}}\right\rVert}\]

Calculer \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{AH}}\), puis le produit scalaire.
Calculer les normes : \(\left\lVert\overrightarrow{u}\right\rVert=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\).
En déduire l’angle avec \(\arccos\), puis convertir en degrés.

💡 Penser à régler la calculatrice en mode degré pour la valeur finale.

Une droite est définie par un point et un vecteur directeur.

La droite \((d)\) est orthogonale au plan (ABC) : elle est donc dirigée par un vecteur normal au plan, c’est-à-dire \(\overrightarrow{n}\). Elle passe par H.

Représentation paramétrique, avec \(t\in\mathbb{R}\) :

\[\begin{cases} x = x_{\mathrm{H}} + a\,t\\ y = y_{\mathrm{H}} + b\,t\\ z = z_{\mathrm{H}} + c\,t \end{cases}\]

💡 Les coefficients \(a\), \(b\), \(c\) sont les coordonnées du vecteur directeur \(\overrightarrow{n}\).

Idée clé. La droite \((d)\) est orthogonale au plan (ABC) et passe par H, qui appartient à ce plan. Donc H est le projeté orthogonal de tout point de \((d)\) sur le plan : la distance de S au plan (ABC) est égale à la longueur \(\mathrm{HS}\). On se ramène ainsi à un simple calcul de distance entre deux points, au programme.

1. Paramétrer S. Comme \(\mathrm{S}\in(d)\), ses coordonnées sont données par la représentation paramétrique de Q6 : il existe un réel \(t\) tel que

\[\begin{cases} x_{\mathrm{S}} = x_{\mathrm{H}} + a\,t\\ y_{\mathrm{S}} = y_{\mathrm{H}} + b\,t\\ z_{\mathrm{S}} = z_{\mathrm{H}} + c\,t \end{cases}\]

où \(a\), \(b\), \(c\) sont les coordonnées du vecteur directeur \(\overrightarrow{n}\).

2. Exprimer la distance HS. On forme le vecteur

\[\overrightarrow{\mathrm{HS}}\begin{pmatrix}x_{\mathrm{S}}-x_{\mathrm{H}}\\ y_{\mathrm{S}}-y_{\mathrm{H}}\\ z_{\mathrm{S}}-z_{\mathrm{H}}\end{pmatrix}\qquad\text{puis}\qquad \mathrm{HS}=\left\lVert\overrightarrow{\mathrm{HS}}\right\rVert=\sqrt{(x_{\mathrm{S}}-x_{\mathrm{H}})^2+(y_{\mathrm{S}}-y_{\mathrm{H}})^2+(z_{\mathrm{S}}-z_{\mathrm{H}})^2}\]

En reportant les expressions du système, on obtient \(\mathrm{HS}\) en fonction de \(t\).

3. Poser le système et résoudre. Le point S cherché vérifie le système formé par la représentation paramétrique et la condition de distance :

\[\begin{cases} x_{\mathrm{S}} = x_{\mathrm{H}} + a\,t\\ y_{\mathrm{S}} = y_{\mathrm{H}} + b\,t\\ z_{\mathrm{S}} = z_{\mathrm{H}} + c\,t\\[2pt] \mathrm{HS}=6 \end{cases}\]

L’équation \(\mathrm{HS}=6\) (ou, de façon équivalente, \(\mathrm{HS}^2=36\) pour éviter la racine) donne deux valeurs opposées de \(t\). On reporte chacune dans le système, puis on ne conserve que la solution pour laquelle \(x_{\mathrm{S}}>0\).

💡 Comme \(\overrightarrow{\mathrm{HS}}=t\,\overrightarrow{n}\), on a directement \(\mathrm{HS}=|t|\times\left\lVert\overrightarrow{n}\right\rVert\) : l’équation \(\mathrm{HS}=6\) se résout alors très vite en \(t\), sans développer les carrés.

Partie A — Arbre et probabilités conditionnelles

Parmi les habitants âgés d’au moins 15 ans vivant en France, on compte :

\(21\,\%\) de personnes de 15 à 29 ans ;
\(46\,\%\) de personnes de 30 à 59 ans ;
\(33\,\%\) de personnes d’au moins 60 ans.

On s’intéresse à l’utilisation d’un réseau social par les habitants âgés d’au moins 15 ans vivant en France. On a ainsi pu observer que :

\(70\,\%\) des personnes de 15 à 29 ans ont déjà publié sur ce réseau social ;
\(46\,\%\) des personnes de 30 à 59 ans ont déjà publié sur ce réseau social ;
\(15\,\%\) des personnes d’au moins 60 ans ont déjà publié sur ce réseau social.

On interroge une personne âgée d’au moins 15 ans vivant en France et on lui demande si elle a déjà publié sur ce réseau social.

On note :

\(J\) l’événement : « la personne interrogée a entre 15 et 29 ans » ;
\(M\) l’événement : « la personne interrogée a entre 30 et 59 ans » ;
\(S\) l’événement : « la personne interrogée a au moins 60 ans » ;
\(R\) l’événement : « la personne interrogée a déjà publié sur ce réseau social ».

On note \(\overline{R}\) l’événement contraire de l’événement \(R\).

Dans tout l’exercice, les valeurs approchées seront arrondies au millième.

1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité.

Arbre de probabilité à compléter — les … sont les probabilités manquantes

Déterminer \(P(M\cap R)\).
Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
On interroge au hasard une personne âgée d’au moins 15 ans vivant en France.
1. Calculer la probabilité qu’elle ait déjà publié sur ce réseau social.
2. On sait que cette personne a déjà publié sur ce réseau social. Déterminer la probabilité qu’elle ait au moins 60 ans.

Méthodes de cours

Sur un arbre pondéré :

les branches du 1^er niveau portent les probabilités \(P(J)\), \(P(M)\), \(P(S)\) (les proportions de chaque tranche d’âge) ;
les branches du 2^e niveau portent les probabilités conditionnelles \(P_J(R)\), \(P_M(R)\), \(P_S(R)\), etc.

La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut toujours \(1\).

💡 Par exemple \(P_J(\overline{R})=1-P_J(R)\). Les pourcentages « des personnes de 15 à 29 ans qui ont publié » sont bien des probabilités conditionnelles \(P_J(R)\).

La probabilité d’un chemin de l’arbre est le produit des probabilités rencontrées :

\[P(M\cap R)=P(M)\times P_M(R)\]

Pour l’interprétation : il s’agit de la proportion de personnes qui ont à la fois entre 30 et 59 ans et qui ont déjà publié.

Les événements \(J\), \(M\), \(S\) forment une partition de l’univers (toute personne est dans une et une seule tranche). Donc :

\[P(R)=P(J\cap R)+P(M\cap R)+P(S\cap R)\]

Chaque terme se calcule comme un produit le long du chemin correspondant.

💡 Calculer chaque terme séparément, puis additionner. Arrondir seulement à la fin, au millième.

On cherche \(P_R(S)\) : la personne a publié, quelle est la probabilité qu’elle ait au moins 60 ans ?

\[P_R(S)=\dfrac{P(S\cap R)}{P(R)}\]

On connaît \(P(S\cap R)\) (produit sur le chemin \(S\to R\)) et \(P(R)\) (résultat de la question 3a).

💡 Ne pas confondre \(P_R(S)\) et \(P_S(R)\) : ce ne sont pas les mêmes conditions.

Partie B — Loi binomiale

Au cours d’un sondage, on interroge successivement, au hasard et de manière indépendante, 100 personnes âgées d’au moins 15 ans vivant en France et on leur demande si elles ont déjà publié sur ce réseau social.

La population du pays est suffisamment grande pour qu’on assimile le choix des personnes sondées à des tirages successifs avec remise.

On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes ayant déjà publié sur ce réseau social parmi ces 100 personnes interrogées.

Dans cette partie, on admet que la probabilité qu’une personne âgée d’au moins 15 ans vivant en France ait déjà publié sur ce réseau social est \(0{,}41\).

On admet que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale. Donner ses paramètres.
Calculer la probabilité qu’au moins la moitié des 100 personnes interrogées ait déjà publié sur ce réseau social.
Déterminer l’espérance de la variable aléatoire \(X\) et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

Méthodes de cours

Une variable suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(n\,;\,p)\) lorsqu’on répète \(n\) fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p\), et que \(X\) compte le nombre de succès.

Identifier ici : le nombre de répétitions \(n\) et la probabilité de succès \(p\) (le succès = « la personne a déjà publié »).

💡 Le tirage avec remise garantit l’indépendance et une probabilité de succès constante.

« Au moins la moitié des 100 » se traduit par l’événement \(\{X\geqslant 50\}\).

On passe par l’événement contraire :

\[P(X\geqslant 50)=1-P(X\leqslant 49)\]

La probabilité \(P(X\leqslant 49)\) se calcule directement à la calculatrice (loi binomiale cumulée).

💡 Bien faire attention à la borne : \(X\geqslant 50\) est le complémentaire de \(X\leqslant 49\) (et non \(X\leqslant 50\)).

Pour une loi binomiale \(\mathcal{B}(n\,;\,p)\) :

\[E(X)=n\,p\]

Interprétation : c’est le nombre moyen de personnes ayant publié, attendu sur un grand nombre de sondages de 100 personnes.

Partie A — Étude de \(f\) et de \(g\)

On note \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \([2\,;\,+\infty[\) par

\[f(x)=\ln\!\left(3x^{2}+2x\right).\]

On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle \([2\,;\,+\infty[\) et on note \(f'\) sa fonction dérivée.

Démontrer que la fonction \(f\) est strictement croissante sur l’intervalle \([2\,;\,+\infty[\).
On note \(g\) la fonction définie sur l’intervalle \([2\,;\,+\infty[\) par :
\[g(x)=f(x)-x\]

On admet que la fonction \(g\) est strictement décroissante sur l’intervalle \([2\,;\,+\infty[\) et que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty\).
1. Démontrer que l’équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur l’intervalle \([2\,;\,+\infty[\).
2. Donner la valeur de \(\alpha\) arrondie au centième.
3. En déduire le tableau de signes de la fonction \(g\) sur l’intervalle \([2\,;\,+\infty[\).

Méthodes de cours

Pour une fonction \(u\) strictement positive et dérivable :

\[\big(\ln(u)\big)'=\dfrac{u'}{u}\]

Ici \(u(x)=3x^{2}+2x\), donc \(u'(x)=6x+2\). Étudier le signe de \(f'(x)=\dfrac{6x+2}{3x^{2}+2x}\) sur \([2\,;\,+\infty[\).

💡 Sur \([2\,;\,+\infty[\), le numérateur \(6x+2\) et le dénominateur \(3x^2+2x\) sont strictement positifs : \(f'(x)>0\), donc \(f\) est strictement croissante.

Si une fonction est continue (elle l’est car dérivable) et strictement monotone sur un intervalle, et si \(0\) est compris entre les valeurs aux bornes, alors l’équation \(g(x)=0\) admet une unique solution.

Vérifier :

\(g\) est strictement décroissante (admis) ;
\(g(2)>0\) (à calculer) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty<0\) (admis).

💡 Calculer \(g(2)=f(2)-2=\ln(16)-2\) pour justifier qu’il est strictement positif.

Utiliser la calculatrice : balayage (table de valeurs) ou résolution numérique, en encadrant \(\alpha\) de plus en plus finement jusqu’au centième.

💡 Encadrer \(\alpha\) par deux valeurs distantes de \(0{,}01\) dont les images par \(g\) sont de signes contraires.

Comme \(g\) est strictement décroissante et s’annule une seule fois en \(\alpha\), son signe se déduit immédiatement :

positive avant \(\alpha\) ;
nulle en \(\alpha\) ;
négative après \(\alpha\).

💡 Ce tableau de signes servira directement en Partie B (croissance de la suite).

Partie B — Étude de la suite \((a_n)\)

Dans cette partie, les réponses pourront s’appuyer sur les résultats de la partie A.

On définit une suite \((a_{n})\) par son premier terme \(a_{0}>0\) et, pour tout entier naturel \(n\),

\[a_{n+1}=\ln\!\left(3\,{a_{n}}^{2}+2a_{n}\right)\]

On étudie le cas où \(\;2\leqslant a_{0}\leqslant\alpha\,\), où \(\alpha\) est l’unique solution de l’équation \(g(x)=0\).

Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(2\leqslant a_{n}\leqslant\alpha\).
Démontrer que la suite \((a_{n})\) est croissante.
Démontrer que la suite \((a_{n})\) converge.
Démontrer que la limite de la suite \((a_{n})\) est \(\alpha\).

Méthodes de cours

On remarque que \(a_{n+1}=f(a_n)\) avec \(f\) la fonction de la Partie A.

Initialisation : l’hypothèse de l’énoncé donne \(2\leqslant a_0\leqslant\alpha\).
Hérédité : supposer \(2\leqslant a_n\leqslant\alpha\). Comme \(f\) est croissante (Partie A), appliquer \(f\) conserve l’ordre : \[f(2)\leqslant f(a_n)\leqslant f(\alpha)\quad\text{soit}\quad f(2)\leqslant a_{n+1}\leqslant f(\alpha).\]

💡 Justifier que \(f(2)\geqslant 2\) et que \(f(\alpha)=\alpha\). Cette dernière égalité vient de \(g(\alpha)=0\), soit \(f(\alpha)-\alpha=0\).

Étudier le signe de la différence :

\[a_{n+1}-a_n=f(a_n)-a_n=g(a_n)\]

D’après Q1, \(2\leqslant a_n\leqslant\alpha\) ; d’après le tableau de signes de \(g\) (Partie A), \(g\) est positive sur \([2\,;\,\alpha]\), donc \(g(a_n)\geqslant 0\).

💡 \(a_{n+1}-a_n\geqslant 0\) pour tout \(n\) : la suite est croissante.

Théorème : toute suite croissante et majorée converge (de même, décroissante et minorée).

Ici \((a_n)\) est croissante (Q2) et majorée par \(\alpha\) (Q1) : elle converge donc vers une limite \(\ell\).

Si \((a_n)\to\ell\) et \(a_{n+1}=f(a_n)\) avec \(f\) continue, alors par passage à la limite :

\[\ell=f(\ell)\quad\Longleftrightarrow\quad g(\ell)=0\]

Or \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) ; et \(\ell\in[2\,;\,\alpha]\) par passage à la limite dans l’encadrement de Q1. Donc \(\ell=\alpha\).

💡 Bien invoquer l’unicité de la solution de \(g(x)=0\) (Partie A) pour conclure.

Partie C — Encadrement et algorithme

Dans cette partie, on prend \(a_{0}=2\).

La suite \((a_{n})\) est ainsi définie par \(a_{0}=2\) et, pour tout entier naturel \(n\),

\[a_{n+1}=\ln\!\left(3\,{a_{n}}^{2}+2a_{n}\right)\]

On note \((b_{n})\) la suite définie par \(b_{0}=10\) et, pour tout entier naturel \(n\),

\[b_{n+1}=\ln\!\left(3\,{b_{n}}^{2}+2b_{n}\right)\]

On admet que la suite \((b_{n})\) est strictement décroissante et qu’elle converge vers \(\alpha\).

Justifier que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(\;a_{n}\leqslant b_{n}\).
On considère le script ci-dessous écrit en langage Python.
from math import *
def algo(p):
    a = 2
    b = 10
    n = 0
    while b - a > 10**(-p):
        a = log(3*a**2 + 2*a)
        b = log(3*b**2 + 2*b)
        n = n + 1
    return (n, a)

On rappelle qu’en langage Python :
- la commande log(c) renvoie la valeur de \(\ln(c)\) ;
- la commande a**2 renvoie la valeur de \(a^{2}\).
1. Donner les valeurs renvoyées par l’instruction algo(2). On arrondira si besoin les valeurs au millième.
2. Interpréter les valeurs renvoyées dans le contexte de l’exercice.

Méthodes de cours

Les deux suites sont engendrées par la même fonction \(f\), qui est croissante.

Initialisation : \(a_0=2\leqslant 10=b_0\).
Hérédité : si \(a_n\leqslant b_n\), alors \(f(a_n)\leqslant f(b_n)\) par croissance de \(f\), c’est-à-dire \(a_{n+1}\leqslant b_{n+1}\).

La boucle while se poursuit tant que \(b-a>10^{-p}\). Pour algo(2), on s’arrête dès que \(b-a\leqslant 10^{-2}=0{,}01\).

À chaque tour : mettre à jour \(a\) et \(b\) par la relation de récurrence, puis incrémenter \(n\). Dresser un petit tableau de valeurs \((n,\,a,\,b)\) à la calculatrice.

💡 Le résultat est un couple : \(n\) = nombre d’itérations effectuées, \(a\) = valeur de \(a_n\) à l’arrêt (à arrondir au millième).

Pour tout \(n\), on a \(a_n\leqslant\alpha\leqslant b_n\) (car \((a_n)\) croît vers \(\alpha\) et \((b_n)\) décroît vers \(\alpha\)). Les deux suites encadrent \(\alpha\).

Lorsque \(b-a\leqslant 10^{-p}\), la valeur \(a\) renvoyée est une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-p}\) près, et \(n\) est le nombre d’itérations nécessaires pour atteindre cette précision.

Partie A — Associer \(f\), \(f'\) et \(f''\)

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé trois courbes \(\mathcal{C}_{1}\), \(\mathcal{C}_{2}\) et \(\mathcal{C}_{3}\).

Les courbes correspondent aux représentations graphiques de trois fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) : une fonction \(f\), sa dérivée \(f'\) et sa dérivée seconde \(f''\).

Les trois courbes \(\mathcal{C}_{1}\) (rouge, pointillés), \(\mathcal{C}_{2}\) (bleu, plein) et \(\mathcal{C}_{3}\) (vert, tirets)

Associer chacune des fonctions \(f\), \(f'\) et \(f''\) à sa courbe représentative. Aucune justification n’est attendue.

Méthodes de cours

La dérivée renseigne sur les variations de la fonction :

là où la fonction est croissante, sa dérivée est positive ;
là où la fonction admet un extremum (tangente horizontale), sa dérivée s’annule en changeant de signe.

💡 Repérer les abscisses des extrema d’une courbe : la courbe « dérivée » doit couper l’axe des abscisses à ces mêmes abscisses.

\(f''\) est la dérivée de \(f'\) : elle décrit les variations de \(f'\) et la convexité de \(f\).

Stratégie : choisir une courbe candidate pour \(f\), vérifier que la deuxième correspond bien à ses variations (donc à \(f'\)), puis que la troisième correspond aux variations de \(f'\) (donc à \(f''\)).

💡 Procéder par élimination en croisant les positions des extrema et des zéros des trois courbes.

Partie B — Équation différentielle \((E)\)

On considère l’équation différentielle \((E)\) définie par

\[(E)\quad y'+y=(2x-3)\,\mathrm{e}^{-x}\]

où \(y\) est une fonction de la variable réelle \(x\).

On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[g(x)=\left(x^{2}-3x\right)\mathrm{e}^{-x}\]

Démontrer que la fonction \(g\) est une solution particulière de l’équation différentielle \((E)\).
Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation différentielle \(\;y'+y=0\).
En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle \((E)\).
Déterminer la solution \(f\) de l’équation différentielle \((E)\) telle que \(\;f(0)=2\).

Méthodes de cours

Il s’agit de calculer \(g'(x)\) puis de vérifier que \(g'(x)+g(x)\) est bien égal au second membre \((2x-3)\mathrm{e}^{-x}\).

\(g\) est un produit \(u\,v\) avec \(u(x)=x^{2}-3x\) et \(v(x)=\mathrm{e}^{-x}\). Utiliser \((uv)'=u'v+uv'\) et \(\big(\mathrm{e}^{-x}\big)'=-\mathrm{e}^{-x}\).

💡 Factoriser systématiquement par \(\mathrm{e}^{-x}\) pour comparer plus facilement au second membre.

L’équation s’écrit \(y'=-y\), soit \(y'=a\,y\) avec \(a=-1\).

Les solutions de \(y'=a\,y\) sont les fonctions :

\[x\longmapsto K\,\mathrm{e}^{a x}=K\,\mathrm{e}^{-x},\qquad K\in\mathbb{R}\]

Théorème : les solutions de \((E)\) sont les sommes

\[\text{solution particulière}\;+\;\text{solution de l’équation homogène}\]

soit \(y(x)=\left(x^{2}-3x\right)\mathrm{e}^{-x}+K\,\mathrm{e}^{-x}\) avec \(K\in\mathbb{R}\).

Écrire la condition \(f(0)=2\) en remplaçant \(x\) par \(0\) dans l’expression générale, puis résoudre pour trouver la valeur de \(K\).

💡 \(\mathrm{e}^{0}=1\) : l’équation en \(K\) se résout en une ligne.

Partie C — Étude de \(f\) et intégrale

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x)=\mathrm{e}^{-x}\left(x^{2}-3x+2\right)\]

et on note \(\mathcal{C}_{f}\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Étudier le signe de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
1. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(-\infty\).
2. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).
On note \(I\) l’intégrale définie par :
\[I=\int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x\]
1. À l’aide de deux intégrations par parties successives, démontrer que \(\;I=1-\dfrac{1}{\mathrm{e}}\).
2. Interpréter graphiquement ce résultat.

Méthodes de cours

Pour tout réel \(x\), \(\mathrm{e}^{-x}>0\). Le signe de \(f(x)\) est donc celui du trinôme \(x^{2}-3x+2\).

Factoriser le trinôme (chercher ses racines), puis dresser le tableau de signes : un trinôme de coefficient dominant positif est négatif entre ses racines, positif à l’extérieur.

💡 \(x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)\).

Quand \(x\to-\infty\) : \(x^{2}-3x+2\to+\infty\) et \(\mathrm{e}^{-x}\to+\infty\).

Le produit de deux facteurs tendant vers \(+\infty\) tend vers \(+\infty\).

Écrire \(f(x)=\dfrac{x^{2}-3x+2}{\mathrm{e}^{x}}\) (car \(\mathrm{e}^{-x}=\tfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}\)).

Rappel de croissances comparées : pour tout entier \(n\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{n}}{\mathrm{e}^{x}}=0\).

💡 L’exponentielle l’emporte sur le polynôme : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\).

Formule :

\[\int_{a}^{b} u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x=\Big[u(x)\,v(x)\Big]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x\]

Choisir \(v\) = partie polynomiale (qu’on dérive pour en abaisser le degré) et \(u'=\mathrm{e}^{-x}\). Une première IPP fait apparaître un polynôme de degré 1 ; une seconde IPP achève le calcul.

💡 Une primitive de \(\mathrm{e}^{-x}\) est \(-\mathrm{e}^{-x}\). Soigner les signes à chaque étape.

Sur \([0\,;\,1]\), le signe de \(f\) (question 1) montre que \(f\) est positive. L’intégrale \(I\) représente alors l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe \(\mathcal{C}_{f}\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=1\).

💡 Préciser « en unités d’aire » et vérifier que \(f\geqslant 0\) sur tout l’intervalle d’intégration.

Bac Centres Étrangers
10 juin 2026 — Sujet 2

Questions 1 à 4 — Plan, vecteur normal, équation

Méthodes de cours

Questions 5 à 7 — Angle, droite orthogonale, point S

Méthodes de cours

Partie A — Arbre et probabilités conditionnelles

Méthodes de cours

Partie B — Loi binomiale

Méthodes de cours

Partie C — Moyenne sur 150 villes

Méthodes de cours

Partie A — Étude de \(f\) et de \(g\)

Méthodes de cours

Partie B — Étude de la suite \((a_n)\)

Méthodes de cours

Partie C — Encadrement et algorithme

Méthodes de cours

Partie A — Associer \(f\), \(f'\) et \(f''\)

Méthodes de cours

Partie B — Équation différentielle \((E)\)

Méthodes de cours

Partie C — Étude de \(f\) et intégrale

Méthodes de cours

Partie D — Tangentes passant par l’origine

Méthodes de cours

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Questions 1 à 4 — Plan, vecteur normal, équation

Méthodes de cours

Questions 5 à 7 — Angle, droite orthogonale, point S

Méthodes de cours

Partie A — Arbre et probabilités conditionnelles

Méthodes de cours

Partie B — Loi binomiale

Méthodes de cours

Partie C — Moyenne sur 150 villes

Méthodes de cours

Partie A — Étude de \(f\) et de \(g\)

Méthodes de cours

Partie B — Étude de la suite \((a_n)\)

Méthodes de cours

Partie C — Encadrement et algorithme

Méthodes de cours

Partie A — Associer \(f\), \(f'\) et \(f''\)

Méthodes de cours

Partie B — Équation différentielle \((E)\)

Méthodes de cours

Partie C — Étude de \(f\) et intégrale

Méthodes de cours

Partie D — Tangentes passant par l’origine

Méthodes de cours

Bac Centres Étrangers
10 juin 2026 — Sujet 2