Guide de résolution — Bac Centres Étrangers J1 10 juin 2026

Partie A — Arbre et probabilités conditionnelles

La fédération internationale d’escrime établit des normes de fabrication sur les lames des armes des tireurs afin de garantir au maximum leur sécurité.

Pour tester la conformité de l’acier employé, la lame est pliée puis redressée toutes les secondes jusqu’à la rupture. La lame est conforme si la rupture intervient après plus de cinq heures de test.

Un équipementier d’escrime se fournit auprès de trois fabricants de lames. Son stock est composé de \(60\,\%\) de lames du fournisseur A, de \(12\,\%\) de lames du fournisseur B, le reste venant du fournisseur C.

Une étude qualité a montré que :

\(90\,\%\) des lames du fournisseur A étaient conformes ;
\(95\,\%\) des lames du fournisseur B étaient conformes ;
\(85\,\%\) des lames du fournisseur C étaient conformes.

Un contrôle est déclenché sur une des lames vendues par l’équipementier. On considère les évènements suivants :

\(A\) : « la lame testée provient du fournisseur A » ;
\(B\) : « la lame testée provient du fournisseur B » ;
\(C\) : « la lame testée provient du fournisseur C » ;
\(T\) : « la lame testée est conforme ».

On note \(\overline{T}\) l’évènement contraire de \(T\).

1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous représentant la situation.

Arbre de probabilité à compléter — les … sont les probabilités manquantes

Déterminer \(P\big(A\cap\overline{T}\,\big)\) et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
Démontrer que la probabilité que la lame testée soit conforme est de \(0{,}892\).
Sachant que la lame testée n’est pas conforme, déterminer la probabilité qu’elle provienne du fournisseur B. On donnera la valeur arrondie au millième.

Méthodes de cours

Sur un arbre pondéré :

les branches du 1^er niveau portent \(P(A)\), \(P(B)\), \(P(C)\), les proportions de chaque fournisseur ;
les branches du 2^e niveau portent les probabilités conditionnelles \(P_A(T)\), \(P_B(T)\), \(P_C(T)\), etc.

La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut toujours \(1\).

💡 La proportion du fournisseur C n’est pas donnée directement : \(P(C)=1-P(A)-P(B)\). De même \(P_A(\overline{T})=1-P_A(T)\).

La probabilité d’un chemin de l’arbre est le produit des probabilités rencontrées :

\[P\big(A\cap\overline{T}\,\big)=P(A)\times P_A\big(\overline{T}\,\big)\]

Pour l’interprétation : c’est la proportion de lames qui proviennent à la fois du fournisseur A et qui ne sont pas conformes.

Les événements \(A\), \(B\), \(C\) forment une partition de l’univers (la lame provient d’un et un seul fournisseur). Donc :

\[P(T)=P(A\cap T)+P(B\cap T)+P(C\cap T)\]

Chaque terme se calcule comme un produit le long du chemin correspondant.

💡 Calculer chaque terme séparément, puis additionner ; on doit retrouver exactement \(0{,}892\).

On cherche \(P_{\overline{T}}(B)\) : la lame n’est pas conforme, quelle est la probabilité qu’elle vienne de B ?

\[P_{\overline{T}}(B)=\dfrac{P\big(B\cap\overline{T}\,\big)}{P\big(\overline{T}\,\big)}\]

On connaît \(P\big(B\cap\overline{T}\,\big)\) (produit sur le chemin \(B\to\overline{T}\)) et \(P\big(\overline{T}\,\big)=1-P(T)=1-0{,}892\).

💡 Ne pas confondre \(P_{\overline{T}}(B)\) et \(P_B\big(\overline{T}\,\big)\) : les conditions sont inversées. Arrondir au millième seulement à la fin.

Partie B — Loi binomiale

D’après la partie A, la probabilité qu’une lame de l’équipementier ne soit pas conforme est égale à \(0{,}108\).

Lors d’une compétition d’escrime, l’équipementier apporte un échantillon de 75 lames provenant de son stock. On considère qu’il les a choisies au hasard et de manière indépendante. De plus son stock de lames est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise.

On désigne par \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de lames non conformes dans cet échantillon.

On admet que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
Calculer la probabilité que 6 lames exactement soient non conformes dans cet échantillon. On arrondira le résultat au millième.
L’équipementier affirme que la probabilité qu’il y ait strictement plus de 8 lames non conformes dans cet échantillon est inférieure à \(50\,\%\). A-t-il raison ?

Méthodes de cours

On répète \(n=75\) fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli dont le succès est « la lame est non conforme », de probabilité \(p=0{,}108\).

La variable \(X\) comptant le nombre de succès suit donc la loi binomiale \(\mathcal{B}(n\,;\,p)\).

💡 Bien préciser les deux paramètres : \(n=75\) et \(p=0{,}108\).

Pour une loi binomiale \(\mathcal{B}(n\,;\,p)\) :

\[P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}\]

Ici \(k=6\). En pratique, on utilise la calculatrice (fonction binomFdp / binomPDF).

💡 Vérifier que la calculatrice est bien réglée avec \(n=75\) et \(p=0{,}108\) ; arrondir au millième.

« Strictement plus de 8 » se traduit par \(X>8\), c’est-à-dire \(X\geqslant 9\). On passe par l’événement contraire :

\[P(X>8)=1-P(X\leqslant 8)\]

Calculer \(P(X\leqslant 8)\) avec la calculatrice (fonction binomFRép / binomCDF), puis comparer \(P(X>8)\) à \(0{,}5\) pour conclure sur l’affirmation.

💡 Piège classique : \(X>8\) n’est pas \(1-P(X\leqslant 9)\). On a bien \(X>8\iff X\geqslant 9\iff X\leqslant 8\) au complémentaire.

Partie C — Moyenne et inégalité de concentration

Soit \(n\) un entier strictement positif désignant le nombre de compétitions durant lesquelles l’équipementier est présent. Il apporte à chaque fois un échantillon de 75 lames.

Les variables aléatoires \(X_{1},\ \ldots,\ X_{n}\), que l’on considère indépendantes, donnent pour chaque échantillon le nombre de lames non conformes.

On pose \(\;M_{n}=\dfrac{X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}}{n}\).

Déterminer l’espérance \(\mathrm{E}\left(M_{n}\right)\) et la variance \(\mathrm{V}\left(M_{n}\right)\) de la variable aléatoire \(M_{n}\).
Justifier l’inégalité suivante, pour tout entier naturel \(n\) non nul : \[P\left(\left|\,M_{n}-8{,}1\,\right|\geqslant 2\right)\leqslant\dfrac{1{,}8063}{n}.\]
Déterminer une valeur de l’entier \(n\) à partir de laquelle \(\;P\left(\left|\,M_{n}-8{,}1\,\right|<2\right)\geqslant 0{,}95\). Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Méthodes de cours

Chaque \(X_{i}\) suit la loi \(\mathcal{B}(75\,;\,0{,}108)\), donc :

\[\mathrm{E}(X_{i})=np=75\times 0{,}108\qquad\mathrm{V}(X_{i})=np(1-p)=75\times 0{,}108\times 0{,}892\]

Pour la moyenne de \(n\) variables indépendantes de même loi :

\[\mathrm{E}\left(M_{n}\right)=\mathrm{E}(X_{1})\qquad\text{et}\qquad\mathrm{V}\left(M_{n}\right)=\dfrac{\mathrm{V}(X_{1})}{n}\]

💡 L’espérance \(\mathrm{E}(X_{i})=8{,}1\) : c’est bien le \(8{,}1\) qui apparaît dans les questions suivantes. La variance, elle, est divisée par \(n\) (et non \(n^{2}\), car on divise par \(n^{2}\) une somme de \(n\) variances).

Pour une variable d’espérance \(\mu\) et de variance \(V\), et pour tout réel \(a>0\) :

\[P\left(\left|\,M_{n}-\mu\,\right|\geqslant a\right)\leqslant\dfrac{\mathrm{V}\left(M_{n}\right)}{a^{2}}\]

Ici \(\mu=\mathrm{E}\left(M_{n}\right)=8{,}1\) et \(a=2\). Reporter \(\mathrm{V}\left(M_{n}\right)\) (question 1) et \(a^{2}=4\) :

\[\dfrac{\mathrm{V}\left(M_{n}\right)}{4}=\dfrac{75\times 0{,}108\times 0{,}892}{4\,n}\]

💡 Calculer le numérateur \(\dfrac{75\times 0{,}108\times 0{,}892}{4}\) : on doit retrouver exactement \(1{,}8063\).

On passe à l’événement contraire de celui de la question 2 :

\[P\left(\left|\,M_{n}-8{,}1\,\right|<2\right)=1-P\left(\left|\,M_{n}-8{,}1\,\right|\geqslant 2\right)\geqslant 1-\dfrac{1{,}8063}{n}\]

Il suffit donc que \(1-\dfrac{1{,}8063}{n}\geqslant 0{,}95\). Résoudre cette inéquation en \(n\) :

\[1-\dfrac{1{,}8063}{n}\geqslant 0{,}95\iff\dfrac{1{,}8063}{n}\leqslant 0{,}05\iff n\geqslant\dfrac{1{,}8063}{0{,}05}\]

En déduire le plus petit entier \(n\) convenable. Interprétation : à partir de ce nombre de compétitions, la moyenne du nombre de lames non conformes par échantillon est à moins de 2 de \(8{,}1\) avec une probabilité d’au moins \(95\,\%\).

Affirmations 1 à 3

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.

1. On considère l’équation différentielle suivante, où \(y\) est une fonction de la variable réelle \(x\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) : \[(E):\quad y'+y=2\cos(x)\]

Affirmation 1 : La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(\;f(x)=4\mathrm{e}^{-x}+\cos(x)+\sin(x)\;\) est solution de l’équation différentielle \((E)\).

2. On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(\;f(x)=2x\;\) et \(\;g(x)=\sin(x)\). On note \(\mathcal{C}_{f}\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère et \(\mathcal{C}_{g}\) celle de \(g\).

Affirmation 2 : Les courbes \(\mathcal{C}_{f}\) et \(\mathcal{C}_{g}\) ont un seul point d’intersection.

3. On considère la suite \((v_{n})\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(\;v_{n}=\dfrac{2n+\sin(n)}{n+1}\).

Affirmation 3 : La suite \((v_{n})\) diverge.

Méthodes de cours

Une fonction \(f\) est solution de \((E):y'+y=2\cos(x)\) si, pour tout \(x\), on a \(f'(x)+f(x)=2\cos(x)\).

Calculer \(f'(x)\) (dériver \(4\mathrm{e}^{-x}+\cos x+\sin x\)).
Former la somme \(f'(x)+f(x)\) et la simplifier.
Comparer le résultat à \(2\cos(x)\) : si l’égalité est vraie pour tout \(x\), l’affirmation est vraie ; sinon elle est fausse.

💡 Rappel : \(\left(\mathrm{e}^{-x}\right)'=-\mathrm{e}^{-x}\), \((\cos x)'=-\sin x\), \((\sin x)'=\cos x\).

Les abscisses des points d’intersection vérifient \(f(x)=g(x)\), soit ici \(2x=\sin(x)\).

Étudier la fonction \(h(x)=2x-\sin(x)\) : le nombre de points d’intersection est le nombre de solutions de \(h(x)=0\).

Calculer \(h'(x)=2-\cos(x)\) et déterminer son signe (penser à l’encadrement de \(\cos\)).
En déduire le sens de variation de \(h\), puis le nombre de fois où \(h\) s’annule.

💡 Comme \(\cos(x)\leqslant 1<2\), le signe de \(h'\) est constant : une fonction strictement monotone s’annule au plus une fois. Une racine évidente saute aux yeux.

Une suite diverge si elle n’a pas de limite finie. Il suffit donc d’étudier si \((v_{n})\) converge.

Encadrer le numérateur grâce à \(-1\leqslant\sin(n)\leqslant 1\) :

\[\dfrac{2n-1}{n+1}\leqslant v_{n}\leqslant\dfrac{2n+1}{n+1}\]

Déterminer la limite de chaque borne, puis appliquer le théorème des gendarmes pour conclure sur la limite de \((v_{n})\).

💡 \(\dfrac{2n\pm 1}{n+1}\) : factoriser par \(n\) en haut et en bas pour lever l’indétermination. Si la limite est finie, la suite converge — donc ne diverge pas.

Questions 1 et 2 — Coordonnées et angle

On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous.

Cube ABCDEFGH — I milieu de [EF], J milieu de [EH], K milieu de [AE]

On munit l’espace du repère orthonormal \(\left(\mathrm{A}\,;\,\overrightarrow{\mathrm{AB}},\,\overrightarrow{\mathrm{AD}},\,\overrightarrow{\mathrm{AE}}\right)\).

Soit I le milieu du segment [EF], J le milieu de [EH] et K le milieu de [AE].

Donner les coordonnées des points I, J et K.
1. Déterminer la valeur du produit scalaire \(\overrightarrow{\mathrm{AI}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AJ}}\).
2. En déduire la mesure de l’angle \(\widehat{\mathrm{IAJ}}\) arrondie au dixième de degré.

Méthodes de cours

Dans le repère \(\left(\mathrm{A}\,;\,\overrightarrow{\mathrm{AB}},\,\overrightarrow{\mathrm{AD}},\,\overrightarrow{\mathrm{AE}}\right)\), les sommets du cube ont des coordonnées \(0\) ou \(1\) : par exemple \(\mathrm{A}(0\,;\,0\,;\,0)\), \(\mathrm{B}(1\,;\,0\,;\,0)\), \(\mathrm{E}(0\,;\,0\,;\,1)\), etc.

Le milieu \(\mathrm{M}\) de \([PQ]\) a pour coordonnées la demi-somme :

\[x_{\mathrm{M}}=\dfrac{x_{P}+x_{Q}}{2},\quad y_{\mathrm{M}}=\dfrac{y_{P}+y_{Q}}{2},\quad z_{\mathrm{M}}=\dfrac{z_{P}+z_{Q}}{2}\]

💡 Commencer par écrire les coordonnées de E, F, H et A, puis appliquer la formule du milieu pour I, J et K.

Le repère étant orthonormé, pour \(\overrightarrow{\mathrm{AI}}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AJ}}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}\) :

\[\overrightarrow{\mathrm{AI}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AJ}}=xx'+yy'+zz'\]

Déterminer d’abord les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{\mathrm{AI}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AJ}}\) (différence des coordonnées extrémité − origine).

On utilise la formule reliant produit scalaire et angle :

\[\cos\widehat{\mathrm{IAJ}}=\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{AI}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AJ}}}{\left\lVert\overrightarrow{\mathrm{AI}}\right\rVert\times\left\lVert\overrightarrow{\mathrm{AJ}}\right\rVert}\]

Calculer les normes \(\left\lVert\overrightarrow{u}\right\rVert=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\), puis l’angle avec \(\arccos\), arrondi au dixième de degré.

💡 Régler la calculatrice en mode degré avant de prendre l’arccosinus.

Questions 3 et 4 — Plan (AIJ) et distance

1. Démontrer que le vecteur \(\overrightarrow{\mathrm{KC}}\) est un vecteur normal au plan (AIJ).
2. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (AIJ) est \[x+y-\dfrac{1}{2}z=0\]
Soit L le projeté orthogonal du point C sur le plan (AIJ).
1. Déterminer les coordonnées du point L.
2. En déduire que la distance du point C au plan (AIJ) est égale à \(\dfrac{4}{3}\).

Méthodes de cours

Un vecteur est normal à un plan s’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Ici, il suffit de montrer :

\[\overrightarrow{\mathrm{KC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AI}}=0\qquad\text{et}\qquad\overrightarrow{\mathrm{KC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AJ}}=0\]

Déterminer les coordonnées de \(\overrightarrow{\mathrm{KC}}\) (différence C − K), puis calculer les deux produits scalaires.

💡 \(\overrightarrow{\mathrm{AI}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AJ}}\) ne sont pas colinéaires (A, I, J ne sont pas alignés) : ils définissent bien le plan (AIJ).

Un plan de vecteur normal \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) admet une équation de la forme \(ax+by+cz+d=0\).

Les coefficients \(a\), \(b\), \(c\) sont les coordonnées de \(\overrightarrow{\mathrm{KC}}\). Pour trouver \(d\), utiliser qu’un point connu du plan (par exemple A) vérifie l’équation.

💡 A\((0\,;\,0\,;\,0)\) appartient au plan, donc \(d=0\). On peut au besoin multiplier toute l’équation par une constante pour retrouver la forme demandée.

Le projeté orthogonal L de C sur le plan est l’intersection du plan et de la droite passant par C dirigée par le vecteur normal \(\overrightarrow{\mathrm{KC}}\).

Écrire une représentation paramétrique de cette droite : un point de la droite a pour coordonnées \(\left(x_{\mathrm{C}}+a t\,;\,y_{\mathrm{C}}+b t\,;\,z_{\mathrm{C}}+c t\right)\).
Reporter ces coordonnées dans l’équation du plan, résoudre l’équation en \(t\).
Remplacer \(t\) pour obtenir les coordonnées de L.

La distance de C au plan (AIJ) est la longueur \(\mathrm{CL}\), où L est le projeté orthogonal obtenu en Q4a :

\[\mathrm{dist}\big(\mathrm{C},(\mathrm{AIJ})\big)=\mathrm{CL}=\left\lVert\overrightarrow{\mathrm{CL}}\right\rVert=\sqrt{(x_{\mathrm{L}}-x_{\mathrm{C}})^{2}+(y_{\mathrm{L}}-y_{\mathrm{C}})^{2}+(z_{\mathrm{L}}-z_{\mathrm{C}})^{2}}\]

Calculer cette longueur ; on doit retrouver \(\dfrac{4}{3}\).

💡 Comme \(\overrightarrow{\mathrm{CL}}=t\,\overrightarrow{\mathrm{KC}}\) (avec le \(t\) trouvé en Q4a), on a directement \(\mathrm{CL}=|t|\times\left\lVert\overrightarrow{\mathrm{KC}}\right\rVert\), ce qui évite tout calcul de racine inutile.

Question 5 — Droite (IM) et coplanarité

5. Soit M un point de la droite (FG). On admet que les coordonnées de M sont \((1\,;\,m\,;\,1)\) avec \(m\) appartenant à \(\mathbb{R}\).

Démontrer qu’une représentation paramétrique de la droite (IM) est \[\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}s+\dfrac{1}{2}\\[4pt] y=m\,s\\[2pt] z=1 \end{cases}\quad\text{avec }s\in\mathbb{R}\]
Peut-on affirmer que les droites (IM) et (KC) sont coplanaires quelle que soit la valeur de \(m\) ?

Méthodes de cours

Une droite est déterminée par un point et un vecteur directeur. Ici, la droite (IM) passe par I et est dirigée par \(\overrightarrow{\mathrm{IM}}\).

Calculer \(\overrightarrow{\mathrm{IM}}\begin{pmatrix}x_{\mathrm{M}}-x_{\mathrm{I}}\\ y_{\mathrm{M}}-y_{\mathrm{I}}\\ z_{\mathrm{M}}-z_{\mathrm{I}}\end{pmatrix}\), puis écrire, avec \(s\in\mathbb{R}\) :

\[\begin{cases} x=x_{\mathrm{I}}+s\,(x_{\mathrm{M}}-x_{\mathrm{I}})\\ y=y_{\mathrm{I}}+s\,(y_{\mathrm{M}}-y_{\mathrm{I}})\\ z=z_{\mathrm{I}}+s\,(z_{\mathrm{M}}-z_{\mathrm{I}}) \end{cases}\]

Vérifier que l’on retrouve bien la forme proposée par l’énoncé.

💡 Avec \(\mathrm{I}\left(\tfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,1\right)\), la coordonnée \(x\) part de \(\tfrac{1}{2}\) et \(z\) reste constant égal à \(1\) : cohérent avec le système donné.

Deux droites de l’espace sont coplanaires lorsqu’elles sont sécantes ou parallèles (sinon elles sont non coplanaires).

Comparer les vecteurs directeurs \(\overrightarrow{\mathrm{IM}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{KC}}\) : s’ils sont colinéaires, les droites sont parallèles (donc coplanaires).
Sinon, chercher un point commun en résolvant le système formé par les deux représentations paramétriques : si ce système admet une solution, les droites sont sécantes (donc coplanaires).

Discuter selon la valeur de \(m\) pour répondre au « quelle que soit la valeur de \(m\) ».

💡 Critère pratique : (IM) et (KC) sont coplanaires si, et seulement si, les vecteurs \(\overrightarrow{\mathrm{IM}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{KC}}\) et un vecteur reliant un point de chaque droite (par exemple \(\overrightarrow{\mathrm{IK}}\)) sont liés.

Partie A — Limites, dérivée et variations

On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par \[f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}\]

On note \(\mathcal{C}_{f}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan. On admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\). On note \(f'\) sa fonction dérivée et \(f''\) sa fonction dérivée seconde.

1. Déterminer les limites de la fonction \(f\) aux bornes de l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).
2. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
Pour tout réel strictement positif \(x\), démontrer que \[f'(x)=\dfrac{1-2\ln(x)}{x^{3}}\]
Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\) en précisant les limites et les valeurs exactes des éventuels extremums de la fonction.

Méthodes de cours

En \(0^{+}\) : \(\ln(x)\to-\infty\) et \(x^{2}\to 0^{+}\), donc le quotient tend vers \(-\infty\).

En \(+\infty\) : utiliser les croissances comparées. Rappeler que \(\dfrac{\ln(x)}{x^n}\to 0\).

Une limite infinie en une borne finie correspond à une asymptote verticale ; une limite finie en \(\pm\infty\) correspond à une asymptote horizontale.

\(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty\) : la droite d’équation \(x=0\) (axe des ordonnées) est asymptote verticale.
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\) : la droite d’équation \(y=0\) (axe des abscisses) est asymptote horizontale.

Poser \(u(x)=\ln(x)\) et \(v(x)=x^{2}\), avec \(u'(x)=\dfrac{1}{x}\) et \(v'(x)=2x\). Alors :

\[f'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}=\dfrac{\frac{1}{x}\times x^{2}-\ln(x)\times 2x}{\left(x^{2}\right)^{2}}\]

Simplifier le numérateur (factoriser par \(x\)) et le dénominateur pour aboutir à \(\dfrac{1-2\ln(x)}{x^{3}}\).

Le signe de \(f'(x)\) est celui de son numérateur \(1-2\ln(x)\), car \(x^{3}>0\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

Résoudre \(1-2\ln(x)=0\), c’est-à-dire \(\ln(x)=\dfrac{1}{2}\iff x=\mathrm{e}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\mathrm{e}}\), puis étudier le signe de part et d’autre.

En déduire le sens de variation, puis calculer la valeur exacte de l’extremum \(f\!\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)\).

💡 Pour l’extremum : \(f\!\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)=\dfrac{\ln\!\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)}{\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)^{2}}\) et \(\ln\!\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)=\dfrac{1}{2}\). Ne pas oublier de reporter les limites de Q1 aux extrémités du tableau.

Partie A — Tangente, convexité et inégalité

Déterminer l’équation réduite de la droite \(\Delta\), tangente à la courbe \(\mathcal{C}_{f}\) au point A d’abscisse 1.
Vérifier que pour tout réel strictement positif \(x\), on a \[f''(x)=\dfrac{-5+6\ln(x)}{x^{4}}\]
1. Étudier la convexité de la fonction \(f\) en précisant les coordonnées des éventuels points d’inflexion.
2. En déduire que, pour tout réel \(x\) appartenant à \(\left]0\,;\,\mathrm{e}^{\frac{5}{6}}\right]\), on a \[x-1\geqslant\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}\]
Justifier que, pour tout réel \(x\) appartenant à \(\left[\mathrm{e}^{\frac{5}{6}}\,;\,+\infty\right[\), on a aussi \[x-1\geqslant\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}\]

Méthodes de cours

La tangente à \(\mathcal{C}_{f}\) au point d’abscisse \(a\) a pour équation :

\[y=f'(a)(x-a)+f(a)\]

Ici \(a=1\). Calculer \(f(1)\) et \(f'(1)\) (les deux se calculent très simplement car \(\ln(1)=0\)), puis écrire l’équation réduite de \(\Delta\).

💡 \(f(1)=\dfrac{\ln 1}{1}=0\) et \(f'(1)=\dfrac{1-2\ln 1}{1}=1\) : l’équation de \(\Delta\) prendra une forme très simple, à réutiliser en Q6b.

Dériver \(f'(x)=\dfrac{1-2\ln(x)}{x^{3}}\) comme un quotient. Poser \(u(x)=1-2\ln(x)\) (donc \(u'(x)=-\dfrac{2}{x}\)) et \(v(x)=x^{3}\) (donc \(v'(x)=3x^{2}\)).

Appliquer \(\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}\), puis simplifier en factorisant par \(x^{2}\) au numérateur pour obtenir \(\dfrac{-5+6\ln(x)}{x^{4}}\).

La convexité se lit sur le signe de \(f''\). Comme \(x^{4}>0\), le signe de \(f''(x)\) est celui de \(-5+6\ln(x)\).

Résoudre \(-5+6\ln(x)=0\iff\ln(x)=\dfrac{5}{6}\iff x=\mathrm{e}^{\frac{5}{6}}\), puis étudier le signe :

\(f''(x)<0\) sur \(\left]0\,;\,\mathrm{e}^{\frac{5}{6}}\right[\) : \(f\) est concave ;
\(f''(x)>0\) sur \(\left]\mathrm{e}^{\frac{5}{6}}\,;\,+\infty\right[\) : \(f\) est convexe.

Le point d’abscisse \(\mathrm{e}^{\frac{5}{6}}\) est un point d’inflexion (changement de convexité) ; donner aussi son ordonnée \(f\!\left(\mathrm{e}^{\frac{5}{6}}\right)\).

Sur un intervalle où une fonction est concave, sa courbe est située en dessous de chacune de ses tangentes.

Sur \(\left]0\,;\,\mathrm{e}^{\frac{5}{6}}\right]\), \(f\) est concave, donc \(\mathcal{C}_{f}\) est sous sa tangente \(\Delta\) au point d’abscisse 1, dont l’équation est \(y=x-1\) (question 4). On a donc \(f(x)\leqslant x-1\), c’est-à-dire \(x-1\geqslant\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}\).

💡 Moyen mnémotechnique : « concave = courbe sous les tangentes », « convexe = courbe au-dessus ».

Utiliser la convexité de la fonction et sa décroissance par rapport à la tangente croissante.

Partie B — Suite \(\left(I_{n}\right)\) et méthode des rectangles

On considère la suite \(\left(I_{n}\right)\) définie, pour tout entier naturel non nul \(n\), par : \[I_{n}=\int_{1}^{n}\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}\,\mathrm{d}x\]

Donner une interprétation graphique de \(I_{n}\) pour \(n\) un entier naturel non nul.
Démontrer que la suite \(\left(I_{n}\right)\) est croissante.
On souhaite calculer une approximation de \(\;\displaystyle\int_{1}^{10}f(x)\,\mathrm{d}x\;\) en déterminant la somme des aires des rectangles tracés dans le graphique ci-dessous.

Rectangles d’approximation sous la courbe \(\mathcal{C}_{f}\) entre \(x=1\) et \(x=10\)

Pour cela, on utilise le script suivant, écrit en langage Python.

from math import *

S = 1/(2*exp(1))
for i in range(2, 10):
S = ...
print(S)

Recopier et compléter ce script afin qu’il réponde au problème posé.

Méthodes de cours

Sur \([1\,;\,+\infty[\), on a \(\ln(x)\geqslant 0\), donc \(f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}\geqslant 0\).

L’intégrale d’une fonction positive s’interprète comme une aire : \(I_{n}\) est l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe \(\mathcal{C}_{f}\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=1\) et \(x=n\).

Étudier la différence de deux termes consécutifs grâce à la relation de Chasles :

\[I_{n+1}-I_{n}=\int_{1}^{n}\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}\,\mathrm{d}x + \int_{n}^{n+1}\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}\,\mathrm{d}x - \int_{1}^{n}\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}\,\mathrm{d}x\]

Sur \([n\,;\,n+1]\subset[1\,;\,+\infty[\), la fonction est positive, donc cette intégrale est positive : \(I_{n+1}\geqslant I_{n}\). La suite est croissante.

💡 Propriété clé : l’intégrale d’une fonction positive sur un intervalle \([a\,;\,b]\) avec \(a\leqslant b\) est positive.

Chaque rectangle a une largeur 1, donc son aire est égale à sa hauteur. La somme des aires approche l’intégrale.

D’après le graphique, le premier rectangle (sur \([1\,;\,2]\)) a pour hauteur le maximum \(\dfrac{1}{2\mathrm{e}}\) — c’est l’initialisation S = 1/(2*exp(1)). Les rectangles suivants, sur \([i\,;\,i+1]\) pour \(i\) de 2 à 9, ont pour hauteur \(f(i)=\dfrac{\ln(i)}{i^{2}}\).

La ligne à compléter ajoute donc à \(S\) l’aire du rectangle courant :

S = S + log(i)/i**2

💡 En Python, range(2, 10) parcourt \(i=2,3,\ldots,9\) (la borne 10 est exclue) : on ajoute bien 8 rectangles aux côtés du premier.

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

Bac Centres Étrangers
10 juin 2026 — Sujet 1

Partie A — Arbre et probabilités conditionnelles

Méthodes de cours

Partie B — Loi binomiale

Méthodes de cours

Partie C — Moyenne et inégalité de concentration

Méthodes de cours

Affirmations 1 à 3

Méthodes de cours

Affirmations 4 et 5

Méthodes de cours

Questions 1 et 2 — Coordonnées et angle

Méthodes de cours

Questions 3 et 4 — Plan (AIJ) et distance

Méthodes de cours

Question 5 — Droite (IM) et coplanarité

Méthodes de cours

Partie A — Limites, dérivée et variations

Méthodes de cours

Partie A — Tangente, convexité et inégalité

Méthodes de cours

Partie B — Suite \(\left(I_{n}\right)\) et méthode des rectangles

Méthodes de cours

Partie B — Intégration par parties et limite

Méthodes de cours

Bac Centres Étrangers10 juin 2026 — Sujet 1

Partie A — Arbre et probabilités conditionnelles

Méthodes de cours

Partie B — Loi binomiale

Méthodes de cours

Partie C — Moyenne et inégalité de concentration

Méthodes de cours

Affirmations 1 à 3

Méthodes de cours

Affirmations 4 et 5

Méthodes de cours

Questions 1 et 2 — Coordonnées et angle

Méthodes de cours

Questions 3 et 4 — Plan (AIJ) et distance

Méthodes de cours

Question 5 — Droite (IM) et coplanarité

Méthodes de cours

Partie A — Limites, dérivée et variations

Méthodes de cours

Partie A — Tangente, convexité et inégalité

Méthodes de cours

Partie B — Suite \(\left(I_{n}\right)\) et méthode des rectangles

Méthodes de cours

Partie B — Intégration par parties et limite

Méthodes de cours

Bac Centres Étrangers
10 juin 2026 — Sujet 1