Guide de résolution — Bac Asie Jour 2 2026

Partie A — Questions 1 et 2

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\left]-\infty\,;\dfrac{3}{2}\right[\) par \(f(x) = \dfrac{x-2}{2x-3}\).

1. Justifier tous les éléments du tableau de variation ci-dessous.

Variations de \(f\) sur \(\left]-\infty\,;\tfrac{3}{2}\right[\) — à justifier (dérivée, limites).

2. En déduire que pour tout \(x\in[0\,;1]\), on a \(f(x)\in[0\,;1]\).

Méthodes de cours

\(f\) est dérivable sur \(\left]-\infty\,;\tfrac{3}{2}\right[\) comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.

Formule : \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\).

Ici \(u(x) = x-2\) et \(v(x) = 2x-3\). Développer et réduire le numérateur : il se simplifie en une constante.

💡 Le dénominateur \((2x-3)^2\) est un carré, donc strictement positif : le signe de \(f'\) ne dépend que du signe du numérateur.

En \(-\infty\), \(f\) est un quotient de deux polynômes de même degré. Deux stratégies au programme :

factoriser numérateur et dénominateur par le terme de plus haut degré, puis utiliser \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\tfrac{1}{x}=0\) ;
ou conclure par le quotient des coefficients dominants.

Étudier séparément le numérateur et le dénominateur quand \(x\to\tfrac{3}{2}^-\).

Le dénominateur \(2x-3\) tend vers \(0\) : déterminer son signe à gauche de \(\tfrac{3}{2}\) (cela donne \(0^-\) ou \(0^+\)).

💡 Limite d’un quotient dont le dénominateur tend vers \(0\) : le résultat est \(\pm\infty\), le signe se déduit de la règle des signes.

Si \(f\) est croissante sur \([0\,;1]\), alors pour tout \(x\in[0\,;1]\) :

\[0\leqslant x\leqslant 1 \iff f(0)\leqslant f(x)\leqslant f(1).\]

Calculer les bornes \(f(0)\) et \(f(1)\), puis vérifier que l’intervalle obtenu est inclus dans \([0\,;1]\).

Partie B — Questions 1 à 4

On considère la suite \((u_n)\) définie par :

\[\begin{cases} u_0 = 0 \\[2pt] u_{n+1} = \dfrac{u_n - 2}{2u_n - 3}, \;\text{pour tout entier naturel } n. \end{cases}\]

En utilisant la fonction \(f\), démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) : \(\quad 0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1\).
En déduire que la suite \((u_n)\) converge.
On note \(l\) la limite de la suite \((u_n)\). En admettant que \(l\) est solution de l’équation \(f(x)=x\) sur l’intervalle \([0\,;1]\), montrer que \(l = 1\).
On donne ci-dessous une fonction seuil écrite en langage Python.
def seuil(h): n=0 u=0 while u<1-h: n=n+1 u=(u-2)/(2*u-3) return n

L’appel seuil(0.0001) renvoie la valeur \(5\,000\). Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.

Méthodes de cours

Noter la propriété \(P(n) : 0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1\), puis rédiger en trois temps :

Initialisation : vérifier \(P(0)\) (calculer \(u_1 = f(u_0)\)).
Hérédité : supposer \(P(n)\) vraie, en déduire \(P(n+1)\).
Conclusion par le principe de récurrence.

💡 Pour l’hérédité, utiliser que \(u_{n+1}=f(u_n)\) et la croissance de \(f\) : si \(a\leqslant b\) alors \(f(a)\leqslant f(b)\). Appliquer \(f\) à chaque membre de l’encadrement.

Théorème : toute suite croissante et majorée converge (de même, décroissante et minorée).

Relire l’encadrement de Q1 pour identifier le sens de variation de \((u_n)\) et un majorant.

Résoudre l’équation par équivalences. Sur \([0\,;1]\), \(2x-3\neq 0\), donc :

\[\dfrac{x-2}{2x-3}=x \iff x-2 = x(2x-3) \iff \ldots\]

Se ramener à une équation polynomiale du second degré, puis ne conserver que la (les) solution(s) appartenant à \([0\,;1]\).

💡 Le trinôme obtenu se factorise sous la forme d’un carré : repérer une racine double.

La boucle while u<1-h calcule les termes successifs de \((u_n)\) et s’arrête dès que \(u_n\geqslant 1-h\) ; la variable n compte le rang atteint.

Ici \(h = 0{,}0001\) : la fonction cherche le plus petit rang \(n\) tel que \(u_n\geqslant 1-h\). Relier ce seuil à la limite trouvée en Q3.

💡 « Interpréter » = traduire en français le rôle du nombre renvoyé (à quelle distance de la limite se trouve la suite à partir de ce rang ?).

Partie A — Questions 1 à 4

Dans cet exercice, on s’intéresse aux lancers-francs effectués par un joueur lors de compétitions de basketball. Pour modéliser la situation, on considère dans chaque partie du problème que les conditions dans lesquelles s’effectuent ces lancers sont identiques et que ces lancers sont indépendants deux à deux.

Les statistiques de réussite des lancers-francs d’un joueur sont de \(49{,}2\,\%\) lors d’une saison. Dans cette partie, on assimilera cette fréquence à sa probabilité de réussite d’un lancer-franc. Au cours d’un match, ce joueur tente \(16\) lancers-francs. On désigne par \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de lancers-francs réussis par ce joueur lors de ce match.

Justifier que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Déterminer l’espérance de la variable aléatoire \(X\) et l’interpréter dans le contexte de cet exercice.
Calculer \(P(X = 5)\).
Calculer la probabilité que le joueur réussisse au moins six lancers-francs.

Méthodes de cours

\(X\sim\mathcal{B}(n\,;\,p)\) lorsqu’on répète \(n\) fois, de façon indépendante et dans des conditions identiques, une même épreuve de Bernoulli à deux issues, et que \(X\) compte le nombre de succès.

Rédaction attendue : identifier l’épreuve de Bernoulli, le succès et sa probabilité, le nombre de répétitions, puis l’indépendance.

💡 Lire les deux paramètres directement dans l’énoncé : nombre de lancers et probabilité de réussite.

Formule : si \(X\sim\mathcal{B}(n\,;\,p)\), alors \(E(X)=np\).

L’interprétation se formule comme une moyenne : nombre moyen de lancers réussis par match sur un grand nombre de matchs de 16 lancers.

Formule : \(P(X=k)=\dbinom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{\,n-k}\).

Poser \(k=5\), puis terminer le calcul à la calculatrice (arrondi à \(10^{-3}\)).

« Au moins six » se traduit par \(P(X\geqslant 6)\). Passer par l’événement contraire :

\[P(X\geqslant 6) = 1 - P(X\leqslant 5).\]

💡 La calculatrice donne directement la probabilité cumulée \(P(X\leqslant 5)\) (fonction « binomFRép » / cumulative).

Partie B — Questions 1 à 5

On note \(p\) la probabilité que le joueur réussisse un lancer-franc, où \(p\) est un réel tel que \(0\leqslant p\leqslant 1\).

On se place dans le cas où le joueur effectue \(3\) lancers-francs. On désigne par \(Y\) la variable aléatoire qui donne le nombre de lancers-francs réussis par ce joueur.

Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire \(Y\).
Exprimer \(P(Y=2)\) en fonction de \(p\).
Donner la loi de probabilité de \(Y\). Présenter la réponse sous forme de tableau.
Montrer que \(P(Y\geqslant 2) = -2p^3 + 3p^2\).
On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([0\,;1]\) par \(f(x) = -2x^3 + 3x^2\).
1. Étudier le sens de variation de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([0\,;1]\) et dresser son tableau de variation en y faisant figurer les valeurs aux bornes de l’intervalle \([0\,;1]\).
2. En déduire l’existence d’une unique valeur \(\alpha\) dans l’intervalle \([0\,;1]\) telle que \(f(\alpha)=0{,}9\).
3. Donner un encadrement d’amplitude \(10^{-2}\) de cette valeur \(\alpha\).
4. Interpréter la valeur de \(\alpha\) dans le contexte de l’exercice.

Méthodes de cours

\(Y\) compte les succès sur \(3\) répétitions indépendantes : \(Y\sim\mathcal{B}(3\,;p)\), donc \(Y\) prend les valeurs \(0,1,2,3\).

Formule générale : \(P(Y=k)=\dbinom{3}{k}\,p^{k}(1-p)^{\,3-k}\). L’appliquer pour chaque \(k\) afin de remplir le tableau de la loi.

💡 \(\dbinom{3}{0}=\dbinom{3}{3}=1\) et \(\dbinom{3}{1}=\dbinom{3}{2}=3\).

\(\{Y\geqslant 2\} = \{Y=2\}\cup\{Y=3\}\) (événements incompatibles), donc :

\[P(Y\geqslant 2) = P(Y=2) + P(Y=3).\]

Remplacer par les expressions trouvées, développer et réduire pour aboutir à la forme demandée.

\(f\) est un polynôme, donc dérivable sur \([0\,;1]\). Calculer \(f'(x)\), puis le factoriser pour étudier son signe.

Reporter le signe de \(f'\) et les valeurs \(f(0)\), \(f(1)\) dans le tableau.

💡 Sur \([0\,;1]\), regarder le signe de chaque facteur de \(f'(x)\) : ils sont positifs ou nuls.

Théorème (valeurs intermédiaires, version stricte monotonie) : si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a\,;b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l’équation \(f(x)=k\) admet une unique solution dans \([a\,;b]\).

Vérifier les trois hypothèses (continuité, stricte monotonie, \(0{,}9\) entre \(f(0)\) et \(f(1)\)).

Amplitude \(10^{-2}\) : tester des valeurs de pas \(0{,}01\) à la calculatrice (tableau de valeurs) et encadrer \(\alpha\) entre deux valeurs consécutives telles que \(f\) passe en dessous puis au-dessus de \(0{,}9\).

Faire le lien avec Q4 : pour \(p\in[0\,;1]\), \(f(p)=P(Y\geqslant 2)\).

L’égalité \(f(\alpha)=0{,}9\) se traduit donc en termes de probabilité de réussir au moins deux lancers sur trois.

Question 1 — Équation du plan \((ABC)\)

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé \(\left(O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)\), on considère les points

\[A(1\,;2\,;3),\quad B(-1\,;3\,;1),\quad C(2\,;1\,;6)\quad\text{et}\quad D(3\,;-2\,;-1).\]

1. Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) définissent un plan.
2. Montrer que le vecteur \(\vec{n}(1\,;4\,;1)\) est normal au plan \((ABC)\).
3. En déduire une équation cartésienne du plan \((ABC)\).

Méthodes de cours

Coordonnées d’un vecteur : \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \\ z_B-z_A \end{pmatrix}\).

Trois points définissent un plan ssi ils ne sont pas alignés, c.-à-d. \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) non colinéaires (coordonnées non proportionnelles).

💡 Pour prouver la non-colinéarité, supposer \(\overrightarrow{AB}=k\,\overrightarrow{AC}\) et montrer qu’aucun \(k\) ne convient.

Un vecteur \(\vec{n}\) est normal à \((ABC)\) s’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.

En repère orthonormé, le produit scalaire se calcule par : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v\).

Vérifier \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0\) et \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0\).

Un plan de vecteur normal \(\vec{n}(a\,;b\,;c)\) a une équation de la forme \(ax+by+cz+d=0\).

Déterminer \(d\) en écrivant qu’un point connu du plan (par exemple \(A\)) vérifie cette équation.

Questions 3 et 4 — Angle, aire et volume

1. Montrer que \(\cos\big(\widehat{BAC}\big) = -\dfrac{3\sqrt{11}}{11}\).
2. En déduire la valeur exacte de \(\sin\big(\widehat{BAC}\big)\).
3. Montrer que l’aire du triangle \(ABC\) vaut \(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\).
Déterminer le volume du tétraèdre \(ABCD\).
On rappelle que le volume \(\mathcal{V}\) d’un tétraèdre est donné par la formule suivante : \[\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times\mathcal{B}\times h,\] où \(\mathcal{B}\) est l’aire d’une base et \(h\) la hauteur qui lui est associée.

Méthodes de cours

Définition : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \big\|\overrightarrow{AB}\big\|\,\big\|\overrightarrow{AC}\big\|\cos\big(\widehat{BAC}\big)\).

D’où \(\cos\big(\widehat{BAC}\big) = \dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\big\|\overrightarrow{AB}\big\|\,\big\|\overrightarrow{AC}\big\|}\).

Calculer le produit scalaire (par les coordonnées) et les deux normes.

💡 Penser à rationaliser le dénominateur pour retrouver la forme demandée.

Relation fondamentale : \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\).

\(\widehat{BAC}\) est un angle géométrique, donc \(\widehat{BAC}\in[0\,;\pi]\) et \(\sin\big(\widehat{BAC}\big)\geqslant 0\) : on garde la racine positive.

Avec deux côtés et l’angle compris : \(\mathcal{A}_{ABC} = \dfrac{1}{2}\,AB\times AC\times\sin\big(\widehat{BAC}\big)\).

Réutiliser les longueurs \(AB\), \(AC\) (les normes de Q3a) et le sinus de Q3b.

Appliquer \(\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times\mathcal{B}\times h\) en choisissant pour base le triangle \(ABC\).

L’aire \(\mathcal{B}=\mathcal{A}_{ABC}\) vient de Q3c ; la hauteur \(h\) associée est la distance de \(D\) au plan \((ABC)\) trouvée en Q2c.

Affirmations 1 et 2

1. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \left(-\dfrac{1}{2}x + 3\right)^5\).

Affirmation 1 : La fonction \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

2. Une urne contient \(32\) jetons numérotés de \(1\) à \(32\) indiscernables au toucher. On tire simultanément \(5\) jetons de cette urne. On appelle tirage la liste non ordonnée des numéros des cinq jetons tirés.

Affirmation 2 : Le nombre de tirages possibles contenant au moins un multiple de \(8\) est égal à \(103\,096\).

Méthodes de cours

\(f\) est convexe sur un intervalle ssi \(f''\geqslant 0\) sur cet intervalle (concave si \(f''\leqslant 0\)).

Dériver une puissance composée : \(\big(u^{n}\big)' = n\,u'\,u^{\,n-1}\). Appliquer deux fois pour obtenir \(f''\).

💡 Étudier le signe de \(f''\) sur \(\mathbb{R}\) tout entier : un changement de signe (point d’inflexion) suffit à invalider l’affirmation.

Un tirage simultané de \(5\) jetons parmi \(32\) est une combinaison : nombre total \(=\dbinom{32}{5}\).

« Au moins un multiple de 8 » : passer par l’événement contraire « aucun multiple de 8 ».

💡 Compter d’abord les multiples de 8 entre 1 et 32, puis les jetons restants. Le résultat est \(\dbinom{32}{5} - \dbinom{?}{5}\).

Bac Asie 2026
Jour 2 — Spécialité Maths

Partie A — Questions 1 et 2

Méthodes de cours

Partie B — Questions 1 à 4

Méthodes de cours

Partie B — Question 5

Méthodes de cours

Partie A — Questions 1 à 4

Méthodes de cours

Partie B — Questions 1 à 5

Méthodes de cours

Question 1 — Équation du plan \((ABC)\)

Méthodes de cours

Question 2 — Droite \((d)\), projeté \(H\) et distance

Méthodes de cours

Questions 3 et 4 — Angle, aire et volume

Méthodes de cours

Affirmations 1 et 2

Méthodes de cours

Affirmation 3

Méthodes de cours

Affirmations 4 et 5

Méthodes de cours

Bac Asie 2026Jour 2 — Spécialité Maths

Partie A — Questions 1 et 2

Méthodes de cours

Partie B — Questions 1 à 4

Méthodes de cours

Partie B — Question 5

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Partie A — Questions 1 à 4

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Question 1 — Équation du plan \((ABC)\)

Méthodes de cours

Question 2 — Droite \((d)\), projeté \(H\) et distance

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Questions 3 et 4 — Angle, aire et volume

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Affirmations 1 et 2

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Affirmation 3

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