Guide de résolution — Bac Asie J1 2026

Questions 1 à 3 — Modélisation par un arbre

Un tireur à l’arc s’entraîne sur une cible dans le but d’atteindre son centre. On modélise la situation de la façon suivante :

au premier tir, il atteint le centre de la cible avec une probabilité de \(\dfrac{1}{2}\) ;
pour les tirs suivants :
- lorsqu’il a atteint le centre de la cible au tir précédent, la probabilité qu’il atteigne à nouveau le centre de la cible est \(\dfrac{4}{5}\) ;
- lorsqu’il n’a pas atteint le centre de la cible au tir précédent, la probabilité qu’il atteigne le centre de la cible est \(\dfrac{1}{3}\).

Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on considère l’événement \(T_n\) : « Le tireur atteint le centre de la cible au \(n\)-ième tir ».

On note \(p_n = P(T_n)\) la probabilité que l’évènement \(T_n\) se réalise.

1. Donner la valeur de \(p_1\) et montrer que \(p_2 = \dfrac{17}{30}\).

2. Recopier sur la copie l’arbre de probabilité suivant et compléter les pointillés avec les probabilités qui conviennent :

3. Montrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul :

\[p_{n+1} = \dfrac{7}{15}\,p_n + \dfrac{1}{3}\]

Méthodes de cours

La valeur de \(p_1\) se lit directement dans l’énoncé (probabilité au premier tir).

\(T_1\) et \(\overline{T_1}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

\[p_2 = P(T_1)\,P_{T_1}(T_2) + P(\overline{T_1})\,P_{\overline{T_1}}(T_2)\]

Les probabilités conditionnelles \(P_{T_1}(T_2)\) et \(P_{\overline{T_1}}(T_2)\) sont données par l’énoncé ; \(P(\overline{T_1}) = 1 - p_1\).

💡 Réduire les deux produits au même dénominateur (ici \(30\)) avant d’additionner pour aboutir à la forme demandée.

Règle fondamentale : les probabilités issues d’un même nœud somment à 1.

Premier niveau : \(p_n\) vers \(T_n\) et \(1 - p_n\) vers \(\overline{T_n}\).
Depuis \(T_n\) : la branche \(\dfrac{4}{5}\) est donnée → compléter l’autre par complément à 1.
Depuis \(\overline{T_n}\) : la probabilité d’atteindre le centre est \(\dfrac{1}{3}\) → compléter l’autre branche.

💡 Vérifier la cohérence : chaque paire de branches partant d’un même nœud doit redonner une somme égale à 1.

\(T_n\) et \(\overline{T_n}\) forment une partition de l’univers. Par la formule des probabilités totales appliquée à \(T_{n+1}\) :

\[p_{n+1} = P(T_n)\,P_{T_n}(T_{n+1}) + P(\overline{T_n})\,P_{\overline{T_n}}(T_{n+1})\]

Remplacer par les valeurs de l’arbre : \(P(T_n) = p_n\), \(P(\overline{T_n}) = 1 - p_n\), puis développer.

💡 Regrouper les termes en \(p_n\) : la différence des deux coefficients se calcule au même dénominateur \(15\). Ne pas oublier le terme constant issu de \(\dfrac{1}{3}(1-p_n)\).

Questions 4 à 7 — Suite auxiliaire et seuil

4. On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) non nul par :

\[u_n = p_n - \dfrac{5}{8}\]

Montrer que la suite \((u_n)\) est une suite géométrique de raison \(\dfrac{7}{15}\).
Déterminer une expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
En déduire une expression de \(p_n\) en fonction de \(n\).

5. Déterminer la limite de la suite \((p_n)\) et interpréter cette limite dans le contexte de l’exercice.

6. On considère ci-dessous une fonction seuil, incomplète, écrite en langage Python.

Recopier cette fonction sur la copie en complétant les pointillés afin qu’elle renvoie la plus petite valeur de l’entier \(n\) telle que \(p_n\) soit supérieur ou égal à \(0{,}6\).

def seuil() :

    n = 1

    p = 0.5

    while ......... :

        n = .........

        p = .........

    return .........

7. Résoudre dans \(\mathbb{N}\) l’inéquation \(p_n \geqslant 0{,}6\).

Méthodes de cours

Pour prouver qu’une suite est géométrique, on exprime \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\) et on fait apparaître un facteur constant : \(u_{n+1} = q\,u_n\).

Partir de \(u_{n+1} = p_{n+1} - \dfrac{5}{8}\), remplacer \(p_{n+1}\) par la relation de récurrence (Q3), puis substituer \(p_n = u_n + \dfrac{5}{8}\).

💡 Le terme constant doit disparaître : c’est ce qui prouve la nature géométrique. Préciser aussi le premier terme \(u_1 = p_1 - \dfrac{5}{8}\) (la suite démarre à \(n = 1\)).

Formule du terme général d’une suite géométrique de premier terme \(u_1\) et de raison \(q\) :

\[u_n = u_1 \times q^{\,n-1}\]

Pour \(p_n\), il suffit de revenir à la définition \(p_n = u_n + \dfrac{5}{8}\) et de remplacer \(u_n\).

💡 Comme la suite est indexée à partir de \(n = 1\), l’exposant est \(n-1\) (et non \(n\)).

Propriété : si \(|q| < 1\), alors \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} q^{\,n} = 0\). Ici \(0 < \dfrac{7}{15} < 1\), donc le terme géométrique tend vers \(0\).

Dans l’expression de \(p_n\), seul subsiste alors le terme constant.

💡 Interprétation attendue : à long terme, la probabilité d’atteindre le centre se stabilise. Donner le sens concret de cette valeur limite pour le tireur.

La boucle while doit tourner tant que le seuil n’est pas atteint, c’est-à-dire tant que la condition \(p_n \geqslant 0{,}6\) est fausse.

Condition : traduire « \(p\) pas encore \(\geqslant 0{,}6\) ».
Mise à jour de \(n\) : incrémenter le compteur d’une unité à chaque tour.
Mise à jour de \(p\) : réutiliser la relation de récurrence de la question 3.
Renvoi : retourner le compteur \(n\) à la sortie de la boucle.

💡 L’initialisation \(\texttt{n = 1}\), \(\texttt{p = 0.5}\) correspond bien à \(p_1\). Vérifier l’ordre des deux mises à jour pour que \(n\) et \(p\) restent cohérents.

Remplacer \(p_n\) par son expression, puis isoler la puissance \(\left(\dfrac{7}{15}\right)^{n-1}\) par équivalences successives :

\[p_n \geqslant 0{,}6 \iff \dfrac{5}{8} - \dfrac{1}{8}\left(\dfrac{7}{15}\right)^{n-1} \geqslant \dfrac{3}{5} \iff \left(\dfrac{7}{15}\right)^{n-1} \leqslant \ldots\]

Puis composer par \(\ln\) (fonction croissante) pour faire descendre l’exposant.

💡 Deux inversions du sens de l’inégalité à surveiller : la division par \(-\dfrac{1}{8} < 0\), puis la division par \(\ln\!\left(\dfrac{7}{15}\right) < 0\). Conclure par le plus petit entier \(n\) qui convient.

Affirmations 1 à 3

1. On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]1\,;\,+\infty[\) par :

\[f(x) = \dfrac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 1}}\]

Affirmation 1 : La fonction \(f\) admet pour limite \(1\) en \(+\infty\).

2. On considère la suite \((w_n)\) définie par \(w_0 = 1\) et pour tout entier naturel \(n\) par :

\[w_{n+1} = w_n + 2n + 3\]

Affirmation 2 : Pour tout entier naturel \(n\), \(w_n = (n + 1)^2\).

3. Soit \(p\) un nombre réel tel que \(0 < p < 1\). On considère une variable aléatoire \(X\) qui suit la loi binomiale de paramètres \(3\) et \(p\). On note \(P(X = 1)\) la probabilité de l’évènement \((X = 1)\).

Affirmation 3 : \(P(X = 1) = 3p - 6p^2 + 3p^3\).

Méthodes de cours

Une étude directe conduirait à une forme indéterminée : il faut transformer l’écriture avant de passer à la limite.

Pour \(x > 1\), on a \(x - 1 > 0\), donc \(x - 1 = \sqrt{(x-1)^2}\).
Factoriser sous la racine : \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\).
Regrouper en une seule racine et simplifier le facteur \((x-1)\).

💡 On peut aboutir à \(f(x) = \sqrt{\dfrac{1 - 1/x}{1 + 1/x}}\), forme dont la limite en \(+\infty\) s’obtient par composition.

Structure attendue : initialisation (rang \(n = 0\)), hérédité, conclusion.

Hérédité : supposer \(w_n = (n+1)^2\), puis partir de \(w_{n+1} = w_n + 2n + 3\) et remplacer par l’hypothèse.

💡 Développer \((n+1)^2 + 2n + 3\) et chercher à reconnaître un carré, en visant la forme \(\big((n+1)+1\big)^2 = (n+2)^2\).

Formule pour \(X \sim \mathcal{B}(3\,;\,p)\) :

\[P(X = 1) = \dbinom{3}{1}\,p^1\,(1-p)^{2}\]

Développer \((1-p)^2\) puis distribuer le facteur \(3p\).

💡 Comparer terme à terme le polynôme obtenu avec l’expression proposée pour conclure.

Question 1 — Équation cartésienne du plan \((BCE)\)

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé \((O\,;\,\vec\imath,\,\vec\jmath,\,\vec{k})\), on considère les points suivants :

\(A(0\,;\,0\,;\,1)\) ; \(B(1\,;\,2\,;\,3)\) ; \(C(3\,;\,3\,;\,1)\) ; \(E(2\,;\,-2\,;\,2)\) ; \(F(3\,;\,0\,;\,4)\) et \(G(5\,;\,1\,;\,2)\).

1. Montrer que les points \(B\), \(C\) et \(E\) ne sont pas alignés.
2. Justifier que le vecteur \(\overrightarrow{AF}\) est normal au plan \((BCE)\).
3. En déduire qu’une équation cartésienne du plan \((BCE)\) est \(x + z - 4 = 0\).

Méthodes de cours

Trois points sont alignés si, et seulement si, deux vecteurs qui les relient sont colinéaires. On montre donc la non-colinéarité.

Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{BE}\) (coordonnées en colonne, placées juste après le nom du vecteur) :

\(\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{BE}\begin{pmatrix}1\\-4\\-1\end{pmatrix}\).

💡 Tester la proportionnalité : s’il existait \(k\) tel que \(\overrightarrow{BC} = k\,\overrightarrow{BE}\), les trois coordonnées donneraient le même \(k\). Il suffit d’exhiber une incompatibilité.

Un vecteur est normal à un plan s’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Calculer \(\overrightarrow{AF}\begin{pmatrix}3\\0\\3\end{pmatrix}\), puis les produits scalaires \(\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BE}\).

💡 Deux produits scalaires nuls + le fait que \(B\), \(C\), \(E\) ne sont pas alignés (Q1a) suffisent pour conclure.

Un plan de vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) admet une équation de la forme \(ax + by + cz + d = 0\).

Ici on utilise les coordonnées de \(\overrightarrow{AF}\) pour \(a\), \(b\), \(c\), puis on détermine \(d\) en injectant les coordonnées d’un point du plan (\(B\), \(C\) ou \(E\)).

💡 Une simplification par un facteur commun permet de retrouver exactement la forme \(x + z - 4 = 0\) demandée.

Questions 3 et 4 — Point \(P\) et intersection de deux plans

1. Montrer qu’une représentation paramétrique de la droite \((AG)\) est : \[\left\{\begin{array}{lcl} x &=& 5t \\ y &=& \phantom{1+}t \\ z &=& 1 + t \end{array}\right. \quad t \in \mathbb{R}.\]
2. En déduire les coordonnées du point \(P\).
3. Montrer que le point \(P\) est le milieu du segment \([EC]\).

4. Déterminer l’intersection des plans \((BCE)\) et \((ACG)\).

Méthodes de cours

Une droite passant par un point \(A\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\) a pour représentation paramétrique :

\[\left\{\begin{array}{l} x = x_A + t\,x_{\vec u} \\ y = y_A + t\,y_{\vec u} \\ z = z_A + t\,z_{\vec u} \end{array}\right.,\quad t\in\mathbb{R}.\]

Ici, prendre \(A(0\,;\,0\,;\,1)\) et le vecteur directeur \(\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}5\\1\\1\end{pmatrix}\).

💡 Vérifier que pour \(t = 0\) on retrouve \(A\), et pour \(t = 1\) on retrouve \(G\).

\(P\) appartient à \((AG)\) : ses coordonnées sont \((5t\,;\,t\,;\,1+t)\) pour un certain \(t\).

\(P\) appartient aussi à \((BCE)\) : ses coordonnées vérifient \(x + z - 4 = 0\). On résout l’équation en \(t\) par équivalences :

\[5t + (1 + t) - 4 = 0 \iff \ldots \iff t = \ldots\]

💡 Une fois \(t\) trouvé, le réinjecter dans la représentation paramétrique pour obtenir les trois coordonnées de \(P\).

Formule des coordonnées du milieu \(M\) de \([EC]\) :

\[M\left(\dfrac{x_E + x_C}{2}\,;\,\dfrac{y_E + y_C}{2}\,;\,\dfrac{z_E + z_C}{2}\right)\]

Comparer les coordonnées obtenues à celles de \(P\) (Q3b).

💡 Si \(M\) et \(P\) ont les mêmes coordonnées, c’est que \(P\) est bien le milieu de \([EC]\).

Rappel : l’intersection de deux plans non parallèles est une droite. Il suffit de trouver deux points communs aux deux plans : la droite cherchée passe par ces deux points.

Chercher un point évident appartenant à la fois à \((BCE)\) et à \((ACG)\) (penser à un sommet commun).
Réutiliser le point \(P\) : il est dans \((BCE)\) (Q2c) et, comme \((AG) \subset (ACG)\), il est aussi dans \((ACG)\).

💡 Justifier que \((AG)\) est incluse dans \((ACG)\) avant d’y placer \(P\) ; conclure en nommant la droite qui joint les deux points trouvés.

Question 1 — Fonction auxiliaire \(g\)

1. On considère la fonction \(g\) définie sur l’intervalle \([0\,;\,2\pi]\) par :

\[g(x) = x\cos(x) - \sin(x)\]

On admet que la fonction \(g\) est dérivable sur l’intervalle \([0\,;\,2\pi]\) et on note \(g'\) sa dérivée.

Montrer que pour tout réel \(x\) de l’intervalle \([0\,;\,2\pi]\), on a \(g'(x) = -x\sin(x)\).
On donne le tableau de variations de la fonction \(g\) sur l’intervalle \([0\,;\,2\pi]\) ci-dessous. Justifier chacun des éléments qui figurent dans ce tableau de variations.
Montrer qu’il existe une unique valeur réelle \(\alpha\) dans l’intervalle \([\pi\,;\,2\pi]\) telle que \(g(\alpha) = 0\).
En déduire le tableau de signes de la fonction \(g\) sur l’intervalle \([0\,;\,2\pi]\).

Méthodes de cours

Dériver terme à terme \(g(x) = x\cos(x) - \sin(x)\).

Pour \(x\cos(x)\), appliquer la formule du produit \((uv)' = u'v + uv'\) avec \(u = x\) et \(v = \cos x\).

💡 Les deux termes en \(\cos x\) doivent se simplifier ; il ne reste alors que \(-x\sin x\).

Le sens de variation est donné par le signe de \(g'(x) = -x\sin(x)\) sur \([0\,;\,2\pi]\).

Sur \([0\,;\,2\pi]\), \(x \geqslant 0\) donc \(-x \leqslant 0\).
Étudier le signe de \(\sin(x)\) : positif sur \([0\,;\,\pi]\), négatif sur \([\pi\,;\,2\pi]\).
En déduire le signe du produit, donc les variations.

💡 Pour les valeurs aux bornes du tableau, calculer \(g(0)\), \(g(\pi)\) et \(g(2\pi)\) en utilisant les valeurs remarquables de \(\cos\) et \(\sin\).

Sur \([\pi\,;\,2\pi]\), réunir les trois ingrédients du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :

\(g\) est continue sur \([\pi\,;\,2\pi]\) ;
\(g\) est strictement monotone sur \([\pi\,;\,2\pi]\) (d’après Q1b) ;
\(0\) est compris entre \(g(\pi)\) et \(g(2\pi)\) (signes opposés aux bornes).

💡 C’est la stricte monotonie qui garantit l’unicité de la solution \(\alpha\).

Combiner les variations (Q1b) et l’annulation en \(\alpha\) (Q1c) :

Sur \([0\,;\,\pi]\), \(g\) décroît à partir de \(g(0) = 0\) : déterminer le signe sur cet intervalle.
Sur \([\pi\,;\,2\pi]\), \(g\) croît et s’annule en \(\alpha\) : le signe change de part et d’autre de \(\alpha\).

💡 Repérer les points où \(g\) s’annule (\(x = 0\) et \(x = \alpha\)) pour placer les zéros dans le tableau.

Question 2 — Étude de \(f(x) = \dfrac{\sin x}{x}\)

2. On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0\,;\,2\pi]\) par :

\[f(x) = \dfrac{\sin(x)}{x}\]

On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle \(]0\,;\,2\pi]\) et on note \(f'\) sa dérivée.

Montrer que pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]0\,;\,2\pi]\) on a : \[f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}\]
Étudier le signe de la fonction \(f'\) sur l’intervalle \(]0\,;\,2\pi]\).
En déduire le sens de variation de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0\,;\,2\pi]\).
Déterminer la limite de \(f\) en \(0\). On pourra utiliser le taux d’accroissement de la fonction sinus en \(0\).

Méthodes de cours

Écrire \(f = \dfrac{u}{v}\) avec \(u = \sin x\) et \(v = x\), puis appliquer :

\[f'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} = \dfrac{x\cos x - \sin x}{x^2}\]

💡 Reconnaître au numérateur l’expression de \(g(x)\) introduite à la question 1 : c’est tout l’intérêt de l’étude préliminaire de \(g\).

Sur \(]0\,;\,2\pi]\), le dénominateur \(x^2\) est strictement positif.

Le signe de \(f'(x)\) est donc celui de \(g(x)\), déjà déterminé en Q1d.

Traduire le signe de \(f'\) en variations : \(f\) décroît là où \(f' < 0\), croît là où \(f' > 0\).

💡 Le changement de signe de \(f'\) en \(\alpha\) donne un extremum : préciser sa nature (minimum / maximum).

L’indication oriente vers le taux d’accroissement de la fonction sinus en \(0\) :

\[f(x) = \dfrac{\sin x}{x} = \dfrac{\sin x - \sin 0}{x - 0}\]

Ce taux tend, quand \(x \to 0\), vers le nombre dérivé \(\sin'(0)\).

💡 Inutile de chercher à lever autrement la forme indéterminée \(\tfrac{0}{0}\) : le nombre dérivé \(\sin'(0) = \cos(0)\) donne directement la limite.

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

Bac Asie
Jour 1 — Session 2026

Questions 1 à 3 — Modélisation par un arbre

Méthodes de cours

Questions 4 à 7 — Suite auxiliaire et seuil

Méthodes de cours

Affirmations 1 à 3

Méthodes de cours

Affirmations 4 et 5

Méthodes de cours

Question 1 — Équation cartésienne du plan \((BCE)\)

Méthodes de cours

Question 2 — Position relative de \((AG)\) et \((BCE)\)

Méthodes de cours

Questions 3 et 4 — Point \(P\) et intersection de deux plans

Méthodes de cours

Question 1 — Fonction auxiliaire \(g\)

Méthodes de cours

Question 2 — Étude de \(f(x) = \dfrac{\sin x}{x}\)

Méthodes de cours

Question 3 — Comparaison de \(\dfrac{r}{s}\) et \(\dfrac{\sin r}{\sin s}\)

Méthodes de cours

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Questions 4 à 7 — Suite auxiliaire et seuil

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Question 1 — Équation cartésienne du plan \((BCE)\)

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Question 2 — Position relative de \((AG)\) et \((BCE)\)

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Questions 3 et 4 — Point \(P\) et intersection de deux plans

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Question 1 — Fonction auxiliaire \(g\)

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Question 2 — Étude de \(f(x) = \dfrac{\sin x}{x}\)

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Question 3 — Comparaison de \(\dfrac{r}{s}\) et \(\dfrac{\sin r}{\sin s}\)

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