Partie A — Questions 1 et 2
Un supermarché dispose d’un stock de tomates provenant de deux fournisseurs A et B.
Il a été constaté que :
- \(91\,\%\) du stock de tomates est commercialisable ;
- \(60\,\%\) du stock de tomates provient du fournisseur A ;
- parmi les tomates provenant du fournisseur A, la proportion de tomates commercialisables est de \(95\,\%\).
On choisit au hasard une tomate dans le stock.
On désigne par :
- \(A\) l’évènement « La tomate provient du fournisseur A » ;
- \(B\) l’évènement « La tomate provient du fournisseur B » ;
- \(C\) l’évènement « La tomate est commercialisable ».
Pour un évènement quelconque \(E\), on note \(P(E)\) la probabilité de \(E\).
1. Recopier l’arbre ci-dessous en complétant les pointillés.
2.
- Déterminer la probabilité que la tomate choisie soit commercialisable et provienne du fournisseur A.
- Démontrer que \(P_B(C) = 0{,}85\).
- La tomate choisie est non commercialisable. Le responsable des achats estime qu’il y a deux fois moins de chance qu’elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B. A-t-il raison ?
Méthodes de cours
Les données directement accessibles :
- \(P(A) = 0{,}60\) → \(P(B) = 1 - P(A) = 0{,}40\)
- \(P_A(C) = 0{,}95\) → \(P_A(\bar{C}) = 0{,}05\)
Les branches de B vers C et \(\bar{C}\) n’ont pas de probabilité dans l’arbre original car elles seront déterminées à la question 2b.
Multiplication sur l’arbre : \(P(A \cap C) = P(A) \times P_A(C)\).
\(A\) et \(B\) forment une partition de l’univers, donc :
\[P(C) = P(A \cap C) + P(B \cap C)\]
On connaît \(P(C) = 0{,}91\) et on vient de calculer \(P(A \cap C)\). En déduire \(P(B \cap C)\), puis :
\[P_B(C) = \frac{P(B \cap C)}{P(B)}\]
Calculer \(P_{\bar{C}}(A)\) et \(P_{\bar{C}}(B)\) et vérifier si \(P_{\bar{C}}(A) = \frac{1}{2} P_{\bar{C}}(B)\).
Formule de Bayes : \(P_{\bar{C}}(A) = \dfrac{P(A \cap \bar{C})}{P(\bar{C})}\).
On a \(P(A \cap \bar{C}) = P(A) \times P_A(\bar{C}) = 0{,}60 \times 0{,}05 = 0{,}03\) et \(P(\bar{C}) = 0{,}09\).
Partie B — Questions 1 et 2
On rappelle que \(9\,\%\) des tomates du stock ne sont pas commercialisables.
1. On prend \(15\) tomates dans le stock au hasard et de manière indépendante. On considère que le stock est suffisamment important pour qu’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.
On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de tomates non commercialisables dans cet échantillon de \(15\) tomates.
- On admet que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale. En préciser les paramètres.
- Déterminer la probabilité qu’exactement deux tomates soient non commercialisables. On donnera la valeur arrondie au millième.
- Déterminer la probabilité qu’au plus deux tomates soient non commercialisables. On donnera la valeur arrondie au millième.
2. On constitue désormais un échantillon de \(n\) tomates, toujours dans les mêmes conditions, où \(n\) désigne un entier naturel non nul.
On note \(X_n\) la variable aléatoire égale au nombre de tomates non commercialisables et \(F_n\) la variable aléatoire égale à la fréquence de tomates non commercialisables dans cet échantillon de \(n\) tomates.
On a donc \(F_n = \dfrac{X_n}{n}\).
On admet que la variable aléatoire \(X_n\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(0{,}09\).
- Calculer l’espérance \(E(F_n)\) et exprimer la variance \(V(F_n)\) en fonction de \(n\).
- Démontrer que \(P\!\left(0{,}04 < F_n < 0{,}14\right) \geqslant 1 - \dfrac{32{,}76}{n}\).
- Le responsable des achats prélève dans le stock un échantillon de \(500\) tomates. Il s’aperçoit que \(55\) tomates ne sont pas commercialisables. Est-ce conforme à ce qu’il pouvait attendre ? Justifier la réponse.
Méthodes de cours
Le succès est : « la tomate est non commercialisable » avec probabilité \(p = 0{,}09\).
\(X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)\) avec \(n = 15\) et \(p = 0{,}09\).
Formule : \(P(X = k) = \dbinom{15}{k}(0{,}09)^k (0{,}91)^{15-k}\)
Pour \(P(X \leqslant 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\) : utiliser la calculatrice (binomcdf).
Propriétés de l’espérance et de la variance :
\(E(F_n) = E\!\left(\frac{X_n}{n}\right) = \frac{E(X_n)}{n}\)
\(V(F_n) = V\!\left(\frac{X_n}{n}\right) = \frac{V(X_n)}{n^2}\)
Pour \(X_n \sim \mathcal{B}(n\,;\,0{,}09)\) : \(E(X_n) = np\) et \(V(X_n) = np(1-p)\).
Pour toute variable \(F_n\) d’espérance \(\mu\) et de variance \(V\) :
\[P(|F_n - \mu| < \delta) \geqslant 1 - \frac{V(F_n)}{\delta^2}\]
Méthode :
- Identifier \(\mu = E(F_n) = 0{,}09\).
- L’intervalle \(]0{,}04\,;\,0{,}14[\) est centré en \(0{,}09\) avec demi-largeur \(\delta = 0{,}05\).
- Substituer \(V(F_n) = 0{,}0819/n\) et \(\delta^2 = 0{,}0025\).
Calculer la fréquence observée : \(f_{500} = 55/500 = 0{,}11\).
Vérifier si \(0{,}11 \in ]0{,}04\,;\,0{,}14[\).
Appliquer l’inégalité avec \(n = 500\) pour donner une borne inférieure de la probabilité que la fréquence soit dans cet intervalle.
Partie A — Étude du sens de variation d’une fonction
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[f(x) = \dfrac{2x}{\sqrt{1 + x^2}}\]
- Résoudre l’équation \(f(x) = x\).
-
- On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Vérifier que, pour tout réel \(x\), on a \[f'(x) = \dfrac{2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\]
- En déduire le sens de variation de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Méthodes de cours
Écrire \(\dfrac{2x}{\sqrt{1+x^2}} = x\), puis distinguer les cas \(x = 0\) et \(x \neq 0\).
Pour \(x \neq 0\) : diviser par \(x\) (attention au signe !) donne \(\dfrac{2}{\sqrt{1+x^2}} = 1\), soit \(\sqrt{1+x^2} = 2\).
Écrire \(f(x) = \dfrac{u}{v}\) avec \(u = 2x\) et \(v = \sqrt{1+x^2} = (1+x^2)^{1/2}\).
Formule : \(f'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\).
\(u' = 2\), \(\quad v' = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\), \(\quad v^2 = 1+x^2\).
Développer et simplifier pour retrouver l’expression annoncée.
Analyser le signe de \(f'(x) = \dfrac{2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
Le numérateur vaut \(2 > 0\) et le dénominateur \((1+x^2)\sqrt{1+x^2} > 0\) pour tout \(x\).
Partie B — Étude de la convergence d’une suite récurrente
La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = f(u_n)\).
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} < 3\).
- En déduire que la suite \((u_n)\) converge et déterminer sa limite.
- Le but de cette question est de retrouver par une autre méthode les résultats de la question 2. de la partie B.
Pour tout entier naturel \(n\), on pose : \[v_n = \dfrac{u_n^2}{3 - u_n^2}\] On admet que la suite \((v_n)\) est bien définie.- Démontrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(4\) dont on précisera le premier terme.
- En déduire une expression de \(v_n\) en fonction de \(n\) puis que \[u_n = \dfrac{1{,}5 \times 4^n}{1 + 0{,}5 \times 4^n} \quad \text{pour tout entier naturel } n.\]
- En déduire la limite de la suite \((u_n)\).
Méthodes de cours
Initialisation : Vérifier pour \(n = 0\) : \(u_0 = 1\), \(u_1 = f(1) = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\).
Vérifier que \(1 \leqslant 1 \leqslant \sqrt{2} < 3\). ✓
Hérédité : Supposer \(1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} < 3\). Montrer que \(1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} < 3\).
- Pour \(u_{n+1} \geqslant 1\) : utiliser la croissance de \(f\) et \(u_n \geqslant 1\) pour montrer \(f(u_n) \geqslant f(1) = \sqrt{2} \geqslant 1\).
- Pour \(u_{n+2} > u_{n+1}\) : \(f(u_{n+1}) > f(u_n)\) par croissance de \(f\) (car \(u_{n+1} \geqslant u_n\)).
- Pour \(u_{n+2} < 3\) : montrer que \(f(x) < 3\) pour tout \(x < 3\), i.e., résoudre \(f(x) < 3\).
De la question 1 : \((u_n)\) est croissante (car \(u_n \leqslant u_{n+1}\)) et majorée par 3. Par le théorème des suites monotones bornées, \((u_n)\) converge.
Pour trouver la limite \(\ell\) : par continuité de \(f\), \(\ell = f(\ell)\). Résoudre \(f(x) = x\) (question 1 de la Partie A). Comme \(\ell \geqslant 1 > 0\), la limite est \(\ell = \sqrt{3}\).
Calculer \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\). On a \(u_{n+1} = f(u_n) = \dfrac{2u_n}{\sqrt{1+u_n^2}}\).
Exprimer \(u_{n+1}^2 = \dfrac{4u_n^2}{1+u_n^2}\), puis :
\[v_{n+1} = \frac{u_{n+1}^2}{3 - u_{n+1}^2} = \frac{\dfrac{4u_n^2}{1+u_n^2}}{3 - \dfrac{4u_n^2}{1+u_n^2}}\]
Simplifier (réduire au même dénominateur) pour montrer que \(v_{n+1} = 4 v_n\).
Calculer \(v_0 = \dfrac{u_0^2}{3 - u_0^2} = \dfrac{1}{3-1} = \dfrac{1}{2}\).
La suite géométrique donne \(v_n = v_0 \times 4^n = \dfrac{4^n}{2} = \dfrac{1}{2} \times 4^n\).
Résoudre \(v_n = \dfrac{u_n^2}{3 - u_n^2}\) en \(u_n\) :
\(u_n^2(1 + v_n) = 3v_n\) donc \(u_n^2 = \dfrac{3v_n}{1+v_n}\).
Substituer et simplifier pour obtenir la forme donnée. Pour la limite : \(4^n \to +\infty\), donc \(u_n \to \sqrt{3}\).
Partie C — Étude de la convergence de la somme de termes
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose \(S_n = u_0^2 + u_1^2 + \cdots + u_{n-1}^2\).
- Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci permette de lister les \(p\) premiers termes de la suite \((S_n)\).
from math import *
def termes(p) :
u = …
S = 0
L = [ ]
for i in range(p) :
S = …
u = …
L.append(S)
return LRemarque : on rappelle qu’en langage Python,- la commande
L = [ ]crée une liste vide ; - la commande
L.append(S)ajoute, à la fin de la listeL, l’élément supplémentaireS.
- la commande
- On rappelle que, pour tout entier naturel \(k\), on a \(1 \leqslant u_k \leqslant \sqrt{3}\). Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a \(n \leqslant S_n \leqslant 3n\).
- En déduire les limites respectives de \(S_n\) et de \(\dfrac{S_n}{n^2}\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
Méthodes de cours
La suite est initialisée avec \(u_0 = 1\), donc u = 1.
À chaque itération, il faut d’abord ajouter \(u_i^2\) à \(S\), puis mettre \(u\) à jour :
S = S + u**2→ accumule \(u_i^2\) dans la sommeu = 2*u/sqrt(1 + u**2)→ calcule \(u_{i+1} = f(u_i)\)
sqrt vient de from math import *.On sait que pour tout \(k \geqslant 0\) : \(1 \leqslant u_k \leqslant \sqrt{3}\).
En élevant au carré (la fonction carré est croissante sur \(\mathbb{R}_+\)) : \(1 \leqslant u_k^2 \leqslant 3\).
En sommant de \(k=0\) à \(k=n-1\) (somme de \(n\) termes) :
\[\sum_{k=0}^{n-1} 1 \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} u_k^2 \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} 3\]
Soit \(n \leqslant S_n \leqslant 3n\).
De \(n \leqslant S_n\) : comme \(n \to +\infty\), le théorème des gendarmes donne \(S_n \to +\infty\).
Pour \(S_n/n^2\) : diviser l’encadrement par \(n^2\) :
\[\frac{1}{n} \leqslant \frac{S_n}{n^2} \leqslant \frac{3}{n}\]
Comme \(1/n \to 0\) et \(3/n \to 0\), par le théorème des gendarmes : \(\dfrac{S_n}{n^2} \to 0\).
Questions 1 et 2 — Droite \(\Delta\) et plan \(\mathcal{P}\)
L’espace est muni d’un repère orthonormé \(\left(\mathrm{O}\,;\,\vec\imath,\,\vec\jmath,\,\vec{k}\right)\).
On considère :
- les points A\((4\,;\,2\,;\,2)\), B\((5\,;\,-2\,;\,3)\) et C\((1\,;\,1\,;\,1)\) ;
- la droite \(\Delta\) dont une représentation paramétrique est : \[\left\{\begin{array}{lcl} x &=& 1 + 2t \\ y &=& 1 + \phantom{2}t \\ z &=& 1 + 2t \end{array}\right. \quad t \in \mathbb{R}\]
- le plan \(\mathcal{P}\) contenant le point A et perpendiculaire à la droite \(\Delta\).
- Vérifier que la droite \(\Delta\) contient le point C\((1\,;\,1\,;\,1)\) mais pas le point A.
-
- Démontrer qu’une équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}\) est \(2x + y + 2z - 14 = 0\).
- Vérifier que le plan \(\mathcal{P}\) contient le point B mais pas le point C.
Méthodes de cours
Un point M\((x_0\,;\,y_0\,;\,z_0)\) appartient à \(\Delta\) s’il existe un réel \(t\) tel que :
\[x_0 = 1+2t,\quad y_0 = 1+t,\quad z_0 = 1+2t\]
Pour C\((1\,;\,1\,;\,1)\) : résoudre les équations et vérifier qu’elles donnent le même \(t\).
Pour A\((4\,;\,2\,;\,2)\) : montrer qu’il n’existe pas de \(t\) cohérent.
Le plan \(\mathcal{P}\) est perpendiculaire à \(\Delta\), donc le vecteur directeur de \(\Delta\) est un vecteur normal à \(\mathcal{P}\).
Vecteur directeur de \(\Delta\) : \(\vec{d}(2\,;\,1\,;\,2)\) (lire dans la représentation paramétrique).
Le plan \(\mathcal{P}\) passe par A\((4\,;\,2\,;\,2)\) avec vecteur normal \(\vec{n}(2\,;\,1\,;\,2)\) :
\[2(x-4) + 1(y-2) + 2(z-2) = 0 \implies 2x + y + 2z - 14 = 0\]
Substituer les coordonnées dans l’équation du plan :
- B\((5\,;\,-2\,;\,3)\) : \(2(5) + (-2) + 2(3) - 14 = 10 - 2 + 6 - 14 = 0\) ✓
- C\((1\,;\,1\,;\,1)\) : \(2(1) + 1 + 2(1) - 14 = 2+1+2-14 = -9 \neq 0\) ✗
Question 3 — Point D et volume du tétraèdre ABCD
On considère le point D\((3\,;\,2\,;\,3)\).
-
- Démontrer que le point D est le projeté orthogonal du point C sur le plan \(\mathcal{P}\).
- Justifier que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
- Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}\).
- Calculer le volume du tétraèdre ABCD.
On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par \(V = \dfrac{1}{3} \times B \times h\) où \(B\) est l’aire d’une base du tétraèdre et \(h\) la hauteur relative à cette base.
Méthodes de cours
D est le projeté orthogonal de C sur \(\mathcal{P}\) si et seulement si :
- D appartient à \(\mathcal{P}\) ;
- \(\overrightarrow{CD}\) est orthogonal à \(\mathcal{P}\), i.e., \(\overrightarrow{CD}\) est colinéaire au vecteur normal \(\vec{n}(2\,;\,1\,;\,2)\).
Calculer \(\overrightarrow{CD} = D - C = (2\,;\,1\,;\,2)\). Vérifier que D\((3\,;\,2\,;\,3)\) vérifie \(2(3)+2+2(3)-14 = 0\).
A, B, C, D sont coplanaires s’ils appartiennent tous au même plan.
On sait que C n’appartient pas à \(\mathcal{P}\) (vérifié en Q2b), et A, B, D appartiennent à \(\mathcal{P}\).
Donc les quatre points ne peuvent pas être tous dans le même plan : ils ne sont pas coplanaires.
Calculer les vecteurs :
\(\overrightarrow{AB} = B - A = (1\,;\,-4\,;\,1)\)
\(\overrightarrow{AD} = D - A = (-1\,;\,0\,;\,1)\)
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = (1)(-1) + (-4)(0) + (1)(1)\)
Choisir comme base un triangle de l’arête connue, et comme hauteur la distance d’un sommet à la base.
Stratégie : prendre ABD comme base (les 3 points sont dans \(\mathcal{P}\)) et la distance de C au plan \(\mathcal{P}\) comme hauteur.
\(h = CD = \|\overrightarrow{CD}\| = \|(2\,;\,1\,;\,2)\| = \sqrt{4+1+4} = 3\).
Pour l’aire de ABD, il faut \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\) (calculés en Q3c) — utiliser la formule de l’aire du triangle ABD via le produit vectoriel ou Héron.
Question 4 — Projeté H de A sur (BC), aire et distance
On appelle H le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC).
-
- Vérifier que les coordonnées du point H sont \(\left(\dfrac{73}{29}\,;\,\dfrac{-4}{29}\,;\,\dfrac{51}{29}\right)\).
- Démontrer que l’aire du triangle ABC est \(\dfrac{3\sqrt{22}}{2}\).
- En déduire la distance du point D au plan (ABC).
Méthodes de cours
H est le projeté orthogonal de A sur (BC) si et seulement si :
- H appartient à la droite (BC) : écrire la représentation paramétrique de (BC), substituer les coordonnées de H et trouver \(t\).
- \(\overrightarrow{AH}\) est orthogonal à \(\overrightarrow{BC}\) : vérifier \(\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0\).
Représentation paramétrique de (BC) avec \(\overrightarrow{BC} = C - B = (-4\,;\,3\,;\,-2)\) :
\[\begin{cases} x = 5 - 4t \\ y = -2 + 3t \\ z = 3 - 2t \end{cases}\]
H est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC (H sur BC, AH ⊥ BC).
\[\mathcal{A}_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH\]
Calculer \(BC = \|\overrightarrow{BC}\|\) et \(AH = \|\overrightarrow{AH}\|\).
On connaît le volume du tétraèdre ABCD (calculé en Q3d) et l’aire de la base ABC.
En prenant ABC comme base et la distance de D au plan (ABC) comme hauteur :
\[V_{ABCD} = \frac{1}{3} \times \mathcal{A}_{ABC} \times d\bigl(D, (ABC)\bigr)\]
Isoler \(d\bigl(D,(ABC)\bigr) = \dfrac{3 V_{ABCD}}{\mathcal{A}_{ABC}}\).
Questions 1 et 2 — Limites en \(+\infty\) et en \(0\)
On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par
\[f(x) = x(\ln x)^2\]
On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\). On note \(f'\) sa fonction dérivée.
- Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).
- Pour tout réel \(x > 0\), on pose \(g(x) = x\ln x\).
- Démontrer que pour tout réel \(x > 0\), on a \(f(x) = 4\left(g\!\left(\sqrt{x}\right)\right)^2\).
- En déduire \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)\).
Méthodes de cours
Croissances comparées : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0\).
Écrire \(x(\ln x)^2 = x \cdot (\ln x)^2\). Quand \(x \to +\infty\) :
- \(x \to +\infty\)
- \((\ln x)^2 \to +\infty\)
Produit de deux termes tendant vers \(+\infty\).
Calculer \(g(\sqrt{x}) = \sqrt{x} \cdot \ln(\sqrt{x})\).
Rappel : \(\ln(\sqrt{x}) = \ln(x^{1/2}) = \dfrac{1}{2}\ln x\).
Donc : \(g(\sqrt{x}) = \sqrt{x} \cdot \dfrac{\ln x}{2} = \dfrac{\sqrt{x}\ln x}{2}\).
Puis : \(\left(g(\sqrt{x})\right)^2 = \dfrac{x(\ln x)^2}{4}\), et \(4\left(g(\sqrt{x})\right)^2 = x(\ln x)^2 = f(x)\). ✓
Résultat fondamental : \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0\) (croissances comparées).
Quand \(x \to 0^+\), \(\sqrt{x} \to 0^+\), donc \(g(\sqrt{x}) = \sqrt{x}\ln(\sqrt{x}) \to 0\).
Donc \(f(x) = 4(g(\sqrt{x}))^2 \to 4 \times 0^2 = 0\).
Question 3 — Étude des variations de \(f\) sur \(]0\,;\,+\infty[\)
- Dans cette question, on étudie les variations de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).
- Démontrer que sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\), \[f'(x) = (\ln x)(2 + \ln x)\]
- En déduire les variations de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).
- Donner la valeur exacte du maximum de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0\,;\,1]\).
Méthodes de cours
\(f(x) = x \cdot (\ln x)^2\). Formule \((uv)' = u'v + uv'\) :
- \(u = x\) → \(u' = 1\)
- \(v = (\ln x)^2\) → \(v' = 2\ln x \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{2\ln x}{x}\)
\(f'(x) = 1 \cdot (\ln x)^2 + x \cdot \dfrac{2\ln x}{x} = (\ln x)^2 + 2\ln x = \ln x\,(\ln x + 2)\)
Annulation de chaque facteur :
- \(\ln x = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
- \(2 + \ln x = 0 \Leftrightarrow \ln x = -2 \Leftrightarrow x = e^{-2}\)
Signe par régions (voir tableau de signes dans l’énoncé) :
- \(x \in ]0\,;\,e^{-2}[\) : deux facteurs négatifs → \(f'(x) > 0\) (croissant)
- \(x \in ]e^{-2}\,;\,1[\) : \(\ln x < 0\), \(2+\ln x > 0\) → \(f'(x) < 0\) (décroissant)
- \(x \in ]1\,;\,+\infty[\) : deux facteurs positifs → \(f'(x) > 0\) (croissant)
Sur \(]0\,;\,1]\) : \(f\) croît sur \(]0\,;\,e^{-2}]\) puis décroît sur \([e^{-2}\,;\,1]\).
Le maximum est atteint en \(x = e^{-2}\) :
\(f(e^{-2}) = e^{-2} \cdot (\ln e^{-2})^2 = e^{-2} \cdot (-2)^2 = 4e^{-2} = \dfrac{4}{e^2}\)
Questions 4 et 5 — Équation \(f(x)=2\) et intégration par parties
- On considère l’équation \(f(x) = 2\).
- Justifier que, sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\), cette équation admet une unique solution. On note \(\alpha\) cette solution.
- Donner un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(0{,}1\).
- Soit \(a\) un nombre réel appartenant à l’intervalle \(]0\,;\,1]\).
- Donner une interprétation géométrique de \(\displaystyle\int_a^1 f(x)\,\mathrm{d}x\).
- À l’aide d’une intégration par parties, justifier que : \[\int_a^1 f(x)\,\mathrm{d}x = -\frac{a^2}{2}(\ln a)^2 - \int_1^a x\ln x\,\mathrm{d}x\]
- En utilisant à nouveau une intégration par parties, démontrer que : \[\int_a^1 f(x)\,\mathrm{d}x = -\frac{a^2}{2}(\ln a)^2 + \frac{a^2}{2}\ln a + \frac{1}{4} - \frac{a^2}{4}\]
- Déterminer la limite de \(\displaystyle\int_a^1 f(x)\,\mathrm{d}x\) quand \(a\) tend vers \(0\).
Méthodes de cours
D’après le tableau de variations :
- \(f\) est continue sur \(]0\,;\,+\infty[\)
- \(f(1) = 0 < 2\) et \(\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty\)
- \(f\) est strictement croissante sur \([1\,;\,+\infty[\)
Par le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation admet une unique solution \(\alpha > 1\).
Évaluer \(f\) sur quelques valeurs autour de la solution à la calculatrice :
\(f(x) = x(\ln x)^2\)
Chercher \(a\) tel que \(f(a) < 2 < f(a+0{,}1)\).
Comme \(f(x) = x(\ln x)^2 \geqslant 0\) pour \(x \in ]0\,;\,1]\) (car \((\ln x)^2 \geqslant 0\) et \(x > 0\)) :
\(\displaystyle\int_a^1 f(x)\,\mathrm{d}x\) représente l’aire de la région délimitée par la courbe \(\mathcal{C}_f\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = a\) et \(x = 1\).
Formule : \(\displaystyle\int_a^1 u\,v'\,\mathrm{d}x = \left[uv\right]_a^1 - \displaystyle\int_a^1 u'v\,\mathrm{d}x\)
Choix pour \(\displaystyle\int_a^1 x(\ln x)^2\,\mathrm{d}x\) :
| \(u = (\ln x)^2\) | \(v' = x\) |
| \(u' = \dfrac{2\ln x}{x}\) | \(v = \dfrac{x^2}{2}\) |
\[\int_a^1 x(\ln x)^2\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^2}{2}(\ln x)^2\right]_a^1 - \int_a^1 \frac{x^2}{2} \cdot \frac{2\ln x}{x}\,\mathrm{d}x\]
\[= \left(0 - \frac{a^2}{2}(\ln a)^2\right) - \int_a^1 x\ln x\,\mathrm{d}x\]
Calculer \(\displaystyle\int_1^a x\ln x\,\mathrm{d}x\) par parties :
| \(u = \ln x\) | \(v' = x\) |
| \(u' = \dfrac{1}{x}\) | \(v = \dfrac{x^2}{2}\) |
\[\int_1^a x\ln x\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^a - \int_1^a \frac{x}{2}\,\mathrm{d}x = \frac{a^2}{2}\ln a - \frac{a^2}{4} + \frac{1}{4}\]
Substituer dans le résultat de Q5b pour obtenir l’expression demandée.
Analyser la limite de chaque terme de l’expression obtenue en Q5c :
- \(\dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2 = 2\left(\dfrac{a^2(\ln a)^2}{4}\right)\) : écrire comme \(2\left(\dfrac{a(\ln a)}{2}\right)^2 \to 0\) car \(a\ln a \to 0\).
- \(\dfrac{a^2}{2}\ln a = \dfrac{a}{2} \cdot (a\ln a) \to 0\).
- \(\dfrac{1}{4} - \dfrac{a^2}{4} \to \dfrac{1}{4}\).
Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.