Guide de résolution — Bac Amérique du Nord J1 20 mai 2026

Partie A — Questions 1 à 4

Une plateforme de diffusion musicale propose trois types d’abonnements : Étudiant, Classique et Famille. Elle propose également une option Écoute hors-ligne qu'on peut activer pour chaque type d'abonnement et qui permet de télécharger de la musique.

Une étude statistique menée sur les abonnés a permis d'établir que :

\(25\,\%\) des abonnés ont choisi Étudiant et \(15\,\%\) ont choisi Famille ;
\(45\,\%\) des abonnés Étudiant ont activé l’option Écoute hors-ligne ;
\(30\,\%\) des abonnés Classique ont activé Écoute hors-ligne ;
\(12\,\%\) des abonnés ont choisi Famille et ont activé Écoute hors-ligne.

On prélève au hasard le profil d'un abonné et on considère les évènements suivants :

E : "L'abonné a choisi l'abonnement «Étudiant»;
C : "L'abonné a choisi l'abonnement «Classique»;
F : "L'abonné a choisi l'abonnement «Famille»;
H : "L'abonné a choisi l'abonnement «Écoute hors-ligne»;

1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités suivant :

Arbre de probabilités à deux niveaux — les … sont à compléter

Calculer la valeur exacte de \(P(E \cap H)\).
Démontrer que la probabilité qu’un abonné ait activé l’option Écoute hors-ligne est de \(0{,}4125\).
Un abonné a activé l’option Écoute hors-ligne. Déterminer la probabilité qu’il ait choisi l’abonnement Étudiant. (arrondi au millième)

Méthodes de cours

Chaque branche porte une probabilité conditionnelle. Les branches issues d’un même nœud doivent sommer à 1.

Méthode :

Niveau 1 : lire \(P(E)\), \(P(F)\) dans l’énoncé, puis \(P(C) = 1 - P(E) - P(F)\).
Niveau 2 (branches \(H\) et \(\bar{H}\)) : lire les probabilités conditionnelles \(P_E(H)\), \(P_C(H)\).
Pour \(F\) : on connaît \(P(F \cap H)\) et \(P(F)\), donc \(P_F(H) = \dfrac{P(F \cap H)}{P(F)}\).
Toujours vérifier : \(P_k(H) + P_k(\bar{H}) = 1\).

💡 Le dernier fait donné est \(P(F \cap H) = 0{,}12\), c’est une probabilité de feuille, pas une probabilité conditionnelle : calculer \(P_F(H)\) par division.

Formule : \(P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)\)

Pour Q2 : \(P(E \cap H) = P(E) \times P_E(H)\). Lire les deux facteurs sur l’arbre.

💡 Le résultat est une fraction exacte ; ne pas l’arrondir.

Si \(\{E, C, F\}\) est une partition de l’univers :

\[P(H) = P(E \cap H) + P(C \cap H) + P(F \cap H)\]

Chaque terme est calculé en multipliant les probabilités sur le chemin correspondant.

💡 Pour la démonstration (Q3), calculer chaque terme séparément, puis sommer. Vérifier que le résultat est bien \(0{,}4125\).

Formule : \(P_H(E) = \dfrac{P(E \cap H)}{P(H)}\)

On connaît \(P(E \cap H)\) (calcul Q2) et \(P(H) = 0{,}4125\) (résultat Q3).

💡 Mettre la fraction sous forme irréductible avant d’arrondir au millième.

Partie B — Loi binomiale

On choisit 8 abonnés au hasard et de manière indépendante (assimilé à un tirage avec remise). On note \(X\) le nombre d’abonnés ayant activé l’option Écoute hors-ligne. On rappelle que \(P(H) = 0{,}4125\).

On admet que \(X\) suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
Calculer la probabilité qu’aucun des huit abonnés n’ait activé l’option. (arrondi au millième)
On note \(q_n\) la probabilité qu’au moins un abonné d’un échantillon de \(n\) abonnés ait activé l’option.
1. Démontrer que, pour tout \(n \geqslant 1\), \(\quad q_n = 1 - 0{,}5875^n\).
2. Déterminer la plus petite valeur de \(n\) telle que \(q_n \geqslant 99{,}9\,\%\).

Méthodes de cours

\(X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)\) quand on répète \(n\) fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p\).

4 conditions à vérifier : nombre fixé, épreuves indépendantes, deux issues, \(X\) = nombre de succès.

💡 Identifier clairement : qu’est-ce que « le succès » ? Quelle est sa probabilité \(p\) ?

\(P(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\)

Pour \(k = 0\) : \(P(X=0) = \dbinom{n}{0} p^0 (1-p)^n = (1-p)^n\).

💡 \(\dbinom{n}{0} = 1\) et \(p^0 = 1\) : l’expression se simplifie considérablement.

Stratégie : utiliser l’événement complémentaire.

« Au moins un » = complémentaire de « aucun ».

\(q_n = 1 - P(\text{aucun des } n)\)

L’événement « aucun des \(n\) » se calcule par indépendance : c’est \((1-p)^n\).

💡 Identifier \(1 - p = 1 - 0{,}4125 = 0{,}5875\) pour obtenir la formule demandée.

Résoudre \(1 - 0{,}5875^n \geqslant 0{,}999\) revient à \(0{,}5875^n \leqslant 0{,}001\).

Appliquer le logarithme : \(n \ln(0{,}5875) \leqslant \ln(0{,}001)\).

Attention : \(\ln(0{,}5875) < 0\), donc le sens de l’inégalité s’inverse lors de la division.

💡 Vérifier la réponse en calculant \(q_{n-1}\) et \(q_n\) à la calculatrice.

Partie C — Variable aléatoire du montant mensuel

La plateforme propose des abonnements aux tarifs mensuels suivants : Étudiant 5 €, Classique 10 €, Famille 16 €. Option hors-ligne : +2 €.

On note \(Y\) le montant payé par un abonné.

Donner les six valeurs possibles prises par \(Y\).
Dresser le tableau de la loi de probabilité de \(Y\).
Démontrer que \(E(Y) = 10{,}475\) et interpréter.
À l’aide de la calculatrice, donner \(V(Y)\) arrondie au centième.
Une plateforme vidéo propose les mêmes types d'abonnements. On note Z la variable aléatoire égale au montant payé mensuellement par un abonné à cette plateforme vidéo. On admet que l'espérance de la variable aléatoire \(Z\) vaut 9 et son écart-type vaut 2.
1. Calculer \(V(Z)\).
2. Un responsable affirme que, si on interroge un abonné de cette plateforme vidéo au hasard, il y a au moins 50% de chances pour que le prix de son abonnement soit strictement compris entre 6 et 12 euros. Justifier cette affirmation.

Méthodes de cours

Chaque valeur de \(Y\) correspond à un chemin dans l’arbre (type d’abonnement × option).

Il y a \(3 \times 2 = 6\) chemins possibles.

Pour chaque chemin, la probabilité est le produit des deux probabilités de branche (multiplication sur l’arbre).

💡 Vérifier que la somme des probabilités est bien égale à 1.

\(E(Y) = \sum_i y_i \cdot P(Y = y_i)\)

Multiplier chaque valeur par sa probabilité, puis sommer. Vérifier le résultat \(10{,}475\).

Interprétation : c’est le montant moyen payé par un abonné pris au hasard.

\(V(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2\)

À la calculatrice : entrer les valeurs et probabilités dans une liste, utiliser la fonction statistique.

Relation \(\sigma(Z) = \sqrt{V(Z)}\), donc \(V(Z) = [\sigma(Z)]^2\).

Pour toute variable \(Z\) d’espérance \(\mu\) et de variance \(V\) :

\[P(|Z - \mu| < \delta) \geqslant 1 - \frac{V}{\delta^2}\]

Méthode : identifier \(\mu = E(Z)\), \(\delta\) = demi-largeur de l’intervalle centré en \(\mu\), puis substituer.

💡 L’intervalle \(]6\,;\,12[\) est centré en \(\mu = 9\), et sa demi-largeur est \(\delta = 3\). Calculer \(1 - V(Z)/\delta^2\) et vérifier qu’il est supérieur à \(1/2\).

Partie A — Modèle discret

La perche-soleil est une espèce de poisson envahissante. Un plan de lutte contre la prolifération de cette espèce est mis en place et on étudie dans cet exercice deux modèles d’évolution de la population de perches-soleil dans un étang naturel. On estime que, dans cet étang, le nombre de perches-soleil s’élève à 4 000 individus au 1er janvier 2025.

Dans cette partie, on modélise le nombre de perches-soleil dans l’étang par une suite \((u_n ) \). Pour tout entier naturel \(n\), un désigne le nombre de perches-soleil, exprimé en millier, dans l’étang au 1er janvier de l’année \(2025 + n\). La suite \((u_n ) \) est déﬁnie par :

\(u_0 = 4\)
pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(u_{n+1} = 4 - \dfrac{4}{u_n}\).

On admet que \(u_n > 0\) pour tout \(n\).

Calculer le nombre de perches-soleil au 1^er janvier 2026.
Soit \(h(x) = 4 - \dfrac{4}{x}\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\).
1. Justifier que \(h\) est croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\).
2. Démontrer que pour tout \(n\) : \(\quad 2 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 4\).
3. En déduire que \((u_n)\) est convergente. On note \(\ell\) sa limite.
4. Justifier que \(\ell = 2\).
5. Ce modèle prévoit-il une élimination à long terme de l’espèce ?
Compléter le script Python ci-dessous pour qu’il renvoie le plus petit \(n\) tel que \(u_n < s\) :
def population(s) :
    u = 4
    n = 0
    while … :
        u = …
        n = …
    return n
1. Quelle valeur renvoie population(2.2) ? Interpréter.

Méthodes de cours

Appliquer la relation \(u_{n+1} = h(u_n)\) de proche en proche.

Pour Q1 : \(u_1 = h(u_0) = h(4) = 4 - \dfrac{4}{4} = \ldots\)

💡 Ne pas oublier d’exprimer le résultat en milliers d’individus.

Calculer \(h'(x)\) et étudier son signe sur \(]0\,;\,+\infty[\).

\(h(x) = 4 - 4x^{-1}\) donc \(h'(x) = \dfrac{4}{x^2} > 0\) pour tout \(x > 0\).

💡 La croissance de \(h\) est cruciale pour la question 2b (récurrence).

Structure :

Initialisation : vérifier pour \(n = 0\) : \(2 \leqslant u_1 \leqslant u_0 \leqslant 4\).
Hérédité : supposer vrai au rang \(n\), montrer au rang \(n+1\). Utiliser la croissance de \(h\) : appliquer \(h\) à chaque membre de l’inégalité.

💡 Si \(a \leqslant b\) et \(h\) est croissante, alors \(h(a) \leqslant h(b)\). Calculer \(h(2)\) et \(h(4)\) pour trouver les bornes au rang \(n+1\).

Théorème : toute suite monotone et bornée est convergente.

D’après 2b : \((u_n)\) est décroissante (\(u_{n+1} \leqslant u_n\)) et minorée par 2.

Si \((u_n) \to \ell\) et \(u_{n+1} = h(u_n)\), alors (par continuité de \(h\)) :

\[\ell = h(\ell) \implies \ell = 4 - \frac{4}{\ell}\]

Résoudre cette équation (multiplier par \(\ell\)) pour trouver \(\ell\).

💡 L’équation se réduit à un trinôme du second degré. Sa racine doit être dans l’intervalle \([2\,;\,4]\) (d’après 2b).

La boucle while doit s’arrêter dès que u < s, donc tourner tant que u >= s.

À chaque itération, mettre à jour u selon la relation de récurrence et incrémenter n.

💡 Tester l’algorithme à la main sur les premiers termes pour vérifier la condition d’arrêt.

Partie A — Coordonnées, produit scalaire et angle

Pyramide à base carrée SABCD dans le repère orthonormé \(\left(\mathrm{O}\,;\,\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ},\overrightarrow{OK}\right)\). I est le milieu de [CD], J le milieu de [BC], K le milieu de [OS].

Données : \(\mathrm{AB} = \mathrm{BC} = \mathrm{CD} = \mathrm{DA} = \mathrm{OS} = 2\) cm, \(\mathrm{B}(-1\,;\,1\,;\,0)\), \(\mathrm{C}(1\,;\,1\,;\,0)\), \(\mathrm{S}(0\,;\,0\,;\,2)\).

Donner les coordonnées des points A et D.
Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{SC} \cdot \overrightarrow{SB}\).
En déduire la mesure de l’angle \(\widehat{\mathrm{BSC}}\) arrondie au dixième de degré.

Méthodes de cours

Le repère est défini par I milieu de [CD], J milieu de [BC]. La base est un carré de côté 2.

Lire les coordonnées de B, C, D à partir de la symétrie du carré et des valeurs données. L’origine O est le centre de la base.

💡 Les 4 sommets de la base ont des coordonnées de la forme \((\pm 1\,;\, \pm 1\,;\, 0)\). Utiliser C et B pour retrouver A et D.

Si \(\vec{u}(x_1\,;\,y_1\,;\,z_1)\) et \(\vec{v}(x_2\,;\,y_2\,;\,z_2)\) :

\[\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2\]

Étapes : calculer \(\overrightarrow{SC} = C - S\) et \(\overrightarrow{SB} = B - S\) (coordonnées = arrivée − départ), puis appliquer la formule.

\[\cos(\widehat{\mathrm{BSC}}) = \frac{\overrightarrow{SC} \cdot \overrightarrow{SB}}{\|\overrightarrow{SC}\|\,\|\overrightarrow{SB}\|}\]

Calculer les normes \(\|\overrightarrow{SC}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\), puis \(\widehat{\mathrm{BSC}} = \arccos(\ldots)\) à la calculatrice.

💡 La norme d’un vecteur est toujours positive. Le résultat en degrés doit être dans \([0°\,;\,180°]\).

Partie B — Distance du point O au plan (SBC) par les vecteurs

Soit \(\vec{n}\) le vecteur de coordonnées \(\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}\).
1. Justifier que \(\vec{n}\) est normal au plan (SBC).
2. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (SBC) est \(2y + z - 2 = 0\).
On note H le projeté orthogonal de O sur (SBC).
1. Justifier qu’une représentation paramétrique de (OH) est : \[\begin{cases} x = 0 \\ y = 2t \\ z = t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}\]
2. Calculer les coordonnées de H.
3. En déduire que \(d\bigl(\mathrm{O},(\mathrm{SBC})\bigr) = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\) cm.

Méthodes de cours

\(\vec{n}\) est normal à (SBC) si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.

Choisir \(\overrightarrow{SC}\) et \(\overrightarrow{SB}\) (ou \(\overrightarrow{BC}\)). Calculer \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{SC}\) et \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{SB}\). Vérifier que les deux produits scalaires sont nuls.

Un plan de vecteur normal \(\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)\) passant par le point \(M_0(x_0\,;\,y_0\,;\,z_0)\) a pour équation :

\[a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0\]

Utiliser le point S\((0\,;\,0\,;\,2)\) et le vecteur normal \((0\,;\,2\,;\,1)\).

💡 Vérifier que B et C vérifient l’équation trouvée.

La droite (OH) passe par O\((0\,;\,0\,;\,0)\) et est dirigée par le vecteur normal au plan \(\vec{n}(0\,;\,2\,;\,1)\) (car OH ⊥ plan SBC).

\[\begin{cases} x = 0 + 0 \cdot t \\ y = 0 + 2t \\ z = 0 + 1 \cdot t \end{cases}\]

Substituer la représentation paramétrique dans l’équation du plan. Résoudre en \(t\), puis reporter pour obtenir les coordonnées de H.

Distance : \(OH = \sqrt{(x_H - 0)^2 + (y_H - 0)^2 + (z_H - 0)^2}\).

💡 Simplifier \(\sqrt{a/b}\) en \(\sqrt{ab}/b\) pour retrouver la forme \(2\sqrt{5}/5\).

Questions 1 et 2 — Convexité et limites

On considère \(f(x) = 5\ln(x^2 + 1) - 3x\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

Sa courbe \(\mathcal{C}_f\) et la tangente au point A d’abscisse 1 sont tracées ci-dessous.

Allure de \(\mathcal{C}_f\) et de la tangente en A (abscisse 1)

Conjecturer, à l’aide du graphique, les intervalles sur lesquels \(f\) semble convexe ou concave.
Déterminer, en justifiant, \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)\).

Méthodes de cours

Une courbe est convexe (∪) si elle est au-dessous de ses tangentes, concave (∩) si elle est au-dessus.

Graphiquement : observer le sens de la courbure. Un point d’inflexion sépare les zones de convexité et concavité.

💡 La conjecture sera validée ou rejetée en Q5 avec \(f''\). Formuler une hypothèse claire à partir du graphique.

Analyser chaque terme :

Quand \(x \to -\infty\) : \(x^2 \to +\infty\) donc \(\ln(x^2+1) \to +\infty\) donc \(5\ln(x^2+1) \to +\infty\).
\(-3x \to +\infty\) car \(x \to -\infty\).

Conclure par la règle des limites (somme de deux termes tendant vers \(+\infty\)).

Questions 3 et 4 — Limite en \(+\infty\), dérivée et variations

1. Démontrer que, pour tout \(x > 0\) : \[f(x) = x\!\left(10\,\frac{\ln x}{x} - 3\right) + 5\ln\!\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)\]
2. En déduire \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\).
1. Démontrer que \(f'(x) = \dfrac{-3x^2 + 10x - 3}{x^2 + 1}\).
2. Étudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

Tableau de variations de \(f\) :

\(x\)	\(-\infty\)		\(\dfrac{1}{3}\)		\(3\)		\(+\infty\)
\(f'(x)\)		−	0	+	0	−
\(f\)	\(+\infty\)		\(5\ln\!\tfrac{10}{9}{-}1\)		\(5\ln 10{-}9\)		\(-\infty\)

Méthodes de cours

Rappel fondamental : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0\) (le logarithme croit moins vite que la fonction identité).

Utiliser cette limite pour évaluer le facteur \(\left(10\dfrac{\ln x}{x} - 3\right)\) quand \(x \to +\infty\).

💡 Le facteur tend vers \(-3\) et \(x \to +\infty\), donc le produit tend vers \(-\infty\).

\(f(x) = 5\ln(x^2+1) - 3x\). Dériver terme à terme :

\([5\ln(x^2+1)]' = 5 \times \dfrac{2x}{x^2+1} = \dfrac{10x}{x^2+1}\)
\([-3x]' = -3\)

Mettre au même dénominateur pour obtenir la fraction annoncée.

Le dénominateur \(x^2 + 1 > 0\) pour tout \(x\). Le signe de \(f'(x)\) est celui du numérateur \(-3x^2 + 10x - 3\).

Discriminant : \(\Delta = 10^2 - 4 \times (-3) \times (-3) = 100 - 36 = 64\).

Racines : \(x_1 = \dfrac{-10 + 8}{-6} = \dfrac{1}{3}\) et \(x_2 = \dfrac{-10 - 8}{-6} = 3\).

Puisque le coefficient de \(x^2\) est négatif (\(-3\)), le trinôme est positif entre ses racines.

💡 Un trinôme \(ax^2 + bx + c\) avec \(a < 0\) est positif entre ses racines et négatif à l’extérieur.

Question 5 — Dérivée seconde, tangente et inégalité

On admet que \(f''(x) = \dfrac{-10x^2 + 10}{(x^2+1)^2}\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).

Tableau de signes de \(f''(x)\) :

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(1\)		\(+\infty\)
\(f''(x)\)		−	0	+	0	−

1. Valider ou rejeter la conjecture faite à la question 1.
2. Déterminer l’équation réduite de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) en A d’abscisse 1.
3. En déduire que pour tout \(x \geqslant 1\) : \[\ln(x^2+1) \leqslant x + \ln 2 - 1\]

Méthodes de cours

\(f\) est convexe sur un intervalle si \(f''(x) > 0\) sur cet intervalle.

\(f\) est concave sur un intervalle si \(f''(x) < 0\) sur cet intervalle.

Lire le tableau de signes de \(f''\) pour identifier les intervalles de convexité/concavité, et comparer avec la conjecture de Q1.

💡 Les points d’inflexion (où \(f'' = 0\) en changeant de signe) sont en \(x = -1\) et \(x = 1\). La conjecture est peut-être à corriger !

La tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse \(a\) a pour équation :

\[y = f'(a)(x - a) + f(a)\]

Calculer \(f(1)\) et \(f'(1)\) avec les formules des questions 4a.

💡 \(\ln(1^2 + 1) = \ln 2\). Simplifier l’expression de \(f(1)\).

Propriété : Si \(f\) est concave sur \([1\,;\,+\infty[\), alors sa courbe est sous sa tangente : pour tout \(x \geqslant 1\), \(f(x) \leqslant T(x)\) où \(T\) est l’équation de la tangente en A.

Écrire l’inégalité \(f(x) \leqslant T(x)\), substituer les expressions et manipuler algébriquement pour isoler \(\ln(x^2+1)\).

💡 Diviser par 5 à la fin pour obtenir exactement l’inégalité demandée.

Bac Amérique du Nord
20 mai 2026 — Sujet 1

Partie A — Questions 1 à 4

Méthodes de cours

Partie B — Loi binomiale

Méthodes de cours

Partie C — Variable aléatoire du montant mensuel

Méthodes de cours

Partie A — Modèle discret

Méthodes de cours

Partie B — Modèle continu

Méthodes de cours

Partie A — Coordonnées, produit scalaire et angle

Méthodes de cours

Partie B — Distance du point O au plan (SBC) par les vecteurs

Méthodes de cours

Partie C — Distance par le volume

Méthodes de cours

Questions 1 et 2 — Convexité et limites

Méthodes de cours

Questions 3 et 4 — Limite en \(+\infty\), dérivée et variations

Méthodes de cours

Question 5 — Dérivée seconde, tangente et inégalité

Méthodes de cours

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Partie B — Distance du point O au plan (SBC) par les vecteurs

Méthodes de cours

Partie C — Distance par le volume

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Questions 3 et 4 — Limite en \(+\infty\), dérivée et variations

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