Guide de résolution — Bac Nouvelle-Calédonie Jour 1 20 novembre 2025

Exercice 1 (5 points)

On dispose d'un sac et de deux urnes A et B.

Le sac contient 4 boules : 1 boule avec la lettre A et 3 boules avec la lettre B.
L'urne A contient 5 billets : 3 billets de \(50\) euros et 2 billets de \(10\) euros.
L'urne B contient 4 billets : 1 billet de \(50\) euros et 3 billets de \(10\) euros.

Un joueur prend au hasard une boule dans le sac :

si c'est une boule avec la lettre A, il prend au hasard un billet dans l'urne A.
si c'est une boule avec la lettre B, il prend au hasard un billet dans l'urne B.

On note les évènements suivants :

\(A\) : le joueur obtient une boule avec la lettre A.
\(C\) : le joueur obtient un billet de 50 euros.

Recopier et compléter l'arbre ci-contre représentant la situation.
Quelle est la probabilité de l'évènement « le joueur obtient une boule avec la lettre A et un billet de \(50\) € » ?
Démontrer que la probabilité \(P(C)\) est égale à \(0,3375\).

Le joueur a obtenu un billet de 10 euros.
L'affirmation « Il y a plus de \(80\,\%\) de chances qu'il ait au préalable obtenu une boule avec la lettre B » est-elle vraie ? Justifier.
On note \(X_1\) la variable aléatoire qui donne la somme, en euros, obtenue par le joueur.
Exemple : si le joueur obtient un billet de \(50\) €, on a \(X_1 = 50\).

Montrer que l'espérance \(E(X_1)\) est égale à \(23,50\) et que la variance \(V(X_1)\) est égale à \(357,75\).
Après avoir remis la boule dans le sac et le billet dans l'urne où il a été pris, le joueur joue une deuxième partie. On note \(X_2\) la variable aléatoire qui donne la somme obtenue par le joueur lors de cette deuxième partie.
On note \(Y\) la variable aléatoire ainsi définie : \(Y = X_1 + X_2\).
1. Montrer que \(E(Y) = 47\).
2. Expliquer pourquoi on a \(V(Y) = V(X_1) + V(X_2)\)
Le joueur joue de même une troisième, une quatrième, …, une centième partie.
On définit donc de la même façon les variables aléatoires \(X_3,\: X_4,\: …,\: X_{100}\).

On note \(Z\) la variable aléatoire définie par \(Z = X_1 + X_2 + … + X_{100}\).

Démontrer que la probabilité que \(Z\) appartienne à l'intervalle \(\left]1\,950\:;\:2\,750\right[\) est supérieure ou égale à \(0,75\).

Méthodes de cours

Un arbre pondéré se lit de gauche à droite. Le premier niveau porte les probabilités de l'expérience de départ — ici le tirage dans le sac — donc \(P(A)\) et \(P\left(\overline{A}\right)\). Le second niveau porte des probabilités conditionnelles : \(P_A(C)\) et \(P_{\overline{A}}(C)\).

Chaque probabilité se lit par équiprobabilité : nombre de cas favorables sur nombre de cas possibles, sur le contenu du sac pour le premier niveau, sur le contenu de l'urne concernée pour le second.

💡 Les deux urnes n'ont pas le même nombre de billets : le dénominateur change selon la branche que tu descends. Vérifie à chaque nœud que la somme des probabilités des branches issues de ce nœud vaut \(1\).

La probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin :

\[P(A \cap C) = P(A) \times P_A(C).\]

Commence par traduire la phrase de l'énoncé en un évènement écrit avec \(A\) et \(C\) : « boule A et billet de 50 € » est une intersection.

💡 Ne confonds pas \(P_A(C)\), lue sur une branche, avec \(P(A \cap C)\), qui est la probabilité du chemin entier. C'est l'erreur la plus fréquente sur cette question.

\(\left\{A\,;\,\overline{A}\right\}\) forme une partition de l'univers, donc

\[P(C) = P(A \cap C) + P\left(\overline{A} \cap C\right) = P(A)P_A(C) + P\left(\overline{A}\right)P_{\overline{A}}(C).\]

Autrement dit : on additionne les probabilités de tous les chemins qui mènent à \(C\).

💡 Mène le calcul en fractions jusqu'au bout avant de convertir en décimal : tu dois retrouver exactement la valeur \(0,3375\) annoncée par l'énoncé, pas une valeur arrondie.

La phrase « le joueur a obtenu un billet de 10 euros » décrit l'évènement \(\overline{C}\), qui devient la condition. L'affirmation porte donc sur

\[P_{\overline{C}}\left(\overline{A}\right) = \dfrac{P\left(\overline{A} \cap \overline{C}\right)}{P\left(\overline{C}\right)}.\]

Le numérateur se lit comme un chemin de l'arbre, le dénominateur s'obtient par évènement contraire à partir de la question précédente.

💡 Le conditionnement est ici inversé par rapport à l'arbre : c'est \(P_{\overline{C}}\left(\overline{A}\right)\) qu'on cherche, surtout pas \(P_{\overline{A}}\left(\overline{C}\right)\), qui se lit directement sur une branche et donnerait une tout autre valeur. Termine par une phrase de conclusion comparant à \(0,80\) : « est-elle vraie ? » attend une réponse rédigée.

Commence par écrire la loi de probabilité de \(X_1\) : quelles valeurs prend-elle, avec quelles probabilités ? La question 3 t'en donne déjà une.

\[E(X) = \sum_{i} x_i\, P(X = x_i), \qquad V(X) = E\left(X^2\right) - \left(E(X)\right)^2.\]

La seconde formule (Kœnig-Huygens) est la plus rapide ici ; la définition \(V(X)=\sum_i \left(x_i - E(X)\right)^2 P(X=x_i)\) donne bien sûr le même résultat.

💡 Dans \(E\left(X^2\right)\), ce sont les valeurs qui sont élevées au carré, pas les probabilités. Et vérifie que tu retrouves exactement \(23,50\) et \(357,75\) : ce sont des valeurs exactes, pas des arrondis.

L'espérance est linéaire, sans aucune hypothèse :

\[E(X_1 + X_2) = E(X_1) + E(X_2).\]

La variance, elle, n'est additive que pour des variables indépendantes. Pour la question b, la justification est dans l'énoncé : relis la première phrase de la question 6 et demande-toi ce que change le fait de remettre la boule et le billet.

💡 Pour \(E(Y)\), il te faut aussi remarquer que \(X_2\) suit la même loi que \(X_1\) — c'est encore la remise qui le garantit. Une réponse en b. qui ne prononce pas le mot « indépendantes » ne vaut aucun point.

Pour toute variable aléatoire \(Z\) admettant une espérance et une variance, et tout réel \(a > 0\) :

\[P\left(\left|Z - E(Z)\right| \geqslant a\right) \leqslant \dfrac{V(Z)}{a^2}.\]

Calcule d'abord \(E(Z)\) et \(V(Z)\) en étendant la question 6 aux \(100\) parties, puis écris l'intervalle proposé sous la forme \(\left]E(Z) - a\,;\,E(Z) + a\right[\) pour identifier \(a\).

💡 L'inégalité majore la probabilité de l'évènement contraire de celui qu'on te demande : passe au complémentaire, et note que \(\left|Z - E(Z)\right| < a\) correspond exactement à l'intervalle ouvert de l'énoncé. Attention aussi à \(V(Z)\) : c'est \(100\,V(X_1)\), pas \(V(X_1)\) ni \(100^2\,V(X_1)\).

Exercice 2 (4 points)

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \(\left(\mathrm{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k}\right)\), on considère les points :

\(\mathrm{A}(4~;~-4~;~4)\), \(\quad \mathrm{B}(5~;~-3~;~2)\), \(\quad \mathrm{C}(6~;~-2~;~3)\), \(\quad \mathrm{D}(5~;~1~;~1)\)

Démontrer que le triangle ABC est rectangle en \(B\).
Justifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est :
\[x - y - 8 = 0.\]
On note \(d\) la droite passant par le point \(D\) et orthogonale au plan (ABC).
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(d\).
2. On note H le projeté orthogonal du point \(D\) sur le plan \((ABC)\).
  Déterminer les coordonnées du point H.
3. Montrer que DH \(= 2\sqrt{2}\).
1. Montrer que le volume de la pyramide ABCD est égal à \(2\).
  On rappelle que le volume V d'une pyramide se calcule à l'aide de la formule :
  
  \[V = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h\]
  
  où \(\mathcal{B}\) est l'aire d'une base de la pyramide et \(h\) la hauteur correspondante.
2. On admet que l'aire du triangle BCD est égale à \(\dfrac{\sqrt{42}}{2}\).
  En déduire la valeur exacte de la distance du point A au plan (BCD).

Méthodes de cours

Dans un repère orthonormé, deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :

\[\vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy' + zz' = 0.\]

« Rectangle en \(B\) » impose les deux vecteurs à utiliser : ceux qui partent de \(B\). Calcule leurs coordonnées par différence des coordonnées des points.

💡 Pour les coordonnées de \(\vec{\mathrm{BA}}\), c'est « arrivée moins départ » : \(x_A - x_B\). Un signe inversé ne change pas la nullité du produit scalaire ici, mais te coûtera cher aux questions suivantes.

Un plan d'équation \(ax + by + cz + d = 0\) admet \(\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) pour vecteur normal.

Comme l'équation t'est donnée, la rédaction la plus sûre est en deux temps : montrer que le vecteur normal lu sur l'équation est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ceux de la question 1 conviennent), puis vérifier qu'un des trois points vérifie l'équation.

💡 Les deux étapes sont nécessaires : l'orthogonalité seule donne la direction du plan, le point seul ne dit rien. Et n'oublie pas de justifier que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Ici le coefficient de \(z\) est nul — c'est normal, pas une erreur d'énoncé.

Une droite orthogonale à un plan a pour vecteur directeur un vecteur normal de ce plan. Tu le lis donc directement sur l'équation de la question 2.

Avec un point \(\mathrm{M}_0\left(x_0\,;\,y_0\,;\,z_0\right)\) et un vecteur directeur de coordonnées \((a\,;\,b\,;\,c)\) :

\[\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases},\; t \in \mathbb{R}\]

💡 Écris toujours « \(t \in \mathbb{R}\) » : une représentation paramétrique sans son paramètre est comptée fausse. Ici l'une des trois lignes sera constante, ce n'est pas une erreur.

Le projeté orthogonal de \(D\) sur le plan est le point d'intersection de la droite \(d\) et du plan. Méthode systématique : reporter \(x\), \(y\), \(z\) de la représentation paramétrique dans l'équation cartésienne, résoudre l'équation en \(t\), puis remplacer la valeur trouvée dans la représentation paramétrique.

💡 La valeur de \(t\) n'est pas la réponse : la question demande les coordonnées. Vérifie ensuite que le point obtenu satisfait bien l'équation du plan, c'est un contrôle gratuit.

\[\mathrm{DH} = \left\|\vec{\mathrm{DH}}\right\| = \sqrt{\left(x_H - x_D\right)^2 + \left(y_H - y_D\right)^2 + \left(z_H - z_D\right)^2}.\]

Le résultat est demandé sous forme exacte : simplifie le radical plutôt que de sortir la calculatrice.

💡 \(\sqrt{8}\) n'est pas une réponse finie : il faut extraire le carré parfait pour retrouver la forme \(2\sqrt{2}\) attendue par l'énoncé.

La formule est donnée ; tout l'enjeu est de choisir le couple base / hauteur cohérent. Prends pour base le triangle dont tu sais calculer l'aire, et la hauteur est alors la distance du quatrième sommet au plan de cette base — c'est exactement ce que tu viens de calculer.

Pour l'aire d'un triangle rectangle, inutile de passer par un produit vectoriel : c'est le demi-produit des longueurs des deux côtés de l'angle droit. La question 1 est là pour ça.

💡 Base et hauteur doivent se correspondre : la hauteur relative à la base ABC est la distance de \(D\) au plan (ABC), pas une longueur d'arête. Garde les racines carrées telles quelles, elles se simplifient entre elles.

Le volume de la pyramide ne dépend pas de la face choisie comme base. En prenant cette fois BCD comme base, la hauteur correspondante est la distance cherchée, et la formule se retourne :

\[h = \dfrac{3V}{\mathcal{B}}.\]

Le volume vient de la question précédente, l'aire de BCD est admise par l'énoncé.

💡 « Valeur exacte » signifie : pas de valeur décimale approchée, et un dénominateur rationalisé — multiplie numérateur et dénominateur par le radical pour le faire remonter.

Exercice 3 (6 points) — Partie A

On considère \(n\) un entier naturel non nul.

On considère la fonction \(f_n\) définie sur l'intervalle \([0~;~1]\) par :

\[f_n(x) = x^n \mathrm{e}^{1 - x}.\]

On admet que la fonction \(f_n\) est dérivable sur \([0~;~1]\) et on note \(f'_n\) sa fonction dérivée.

Dans cette partie on étudie le cas où \(n = 1\).

On étudie donc la fonction \(f_1\) définie sur \([0~;~1]\) par :

\[f_1(x) = x\mathrm{e}^{1 - x}.\]

Montrer que \(f'_1(x)\) est strictement positive pour tout réel \(x\) de \([0~;~1[\).
En déduire le tableau de variations de la fonction \(f_1\) sur l'intervalle \([0~;~1]\)
En déduire que l'équation \(f_1(x) = 0,1\) admet une unique solution dans l'intervalle \([0~;~1]\)

Méthodes de cours

Deux formules à combiner :

\[(uv)' = u'v + uv', \qquad \left(\mathrm{e}^{u}\right)' = u'\,\mathrm{e}^{u}.\]

Une fois la dérivée obtenue, factorise par l'exponentielle : c'est ce qui permet d'étudier le signe, puisqu'une exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb{R}\). Le signe de \(f'_1(x)\) ne dépend alors plus que du facteur restant.

💡 Ici \(u(x) = 1 - x\), donc \(u'(x) = -1\) : le signe « moins » qui apparaît dans \(\left(\mathrm{e}^{1-x}\right)'\) est le piège classique de la question. Note aussi que l'intervalle est ouvert en \(1\) — regarde ce que vaut le facteur restant en \(x = 1\) et tu comprendras pourquoi.

Un tableau de variations complet comporte trois lignes : \(x\) avec les bornes de l'intervalle, le signe de \(f'_1(x)\), puis les variations de \(f_1\) avec les valeurs aux bornes calculées.

Calcule donc \(f_1(0)\) et \(f_1(1)\) — ce sont des valeurs simples, et elles servent immédiatement à la question 3.

💡 Une dérivée qui s'annule en une seule borne n'empêche pas la stricte croissance sur l'intervalle fermé : tu peux écrire que \(f_1\) est strictement croissante sur \([0~;~1]\) tout entier.

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a~;~b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x) = k\) admet une unique solution dans \([a~;~b]\).

Vérifie donc les trois hypothèses une par une, puis situe \(0,1\) par rapport aux deux valeurs aux bornes trouvées en question 2.

💡 La continuité se justifie en une ligne : \(f_1\) est dérivable sur \([0~;~1]\) (l'énoncé l'admet) donc continue. C'est la stricte monotonie qui apporte l'unicité — sans elle, le TVI ne donne que l'existence.

Exercice 3 (6 points) — Partie B

On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) non nul par

\(u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\:\mathrm{d}x\) \(\quad\) c'est-à-dire \(\quad\) \(u_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \mathrm{e}^{1-x}\:\mathrm{d}x\).

On admet que \(u_1 = \mathrm{e} - 2\).

1. Justifier que pour tout \(x \in [0~;~1]\) et pour tout entier naturel \(n\) non nul,
  \[0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n.\]
2. En déduire que pour tout entier naturel \(n\) non nul,
  \[0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n.\]
3. Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente.
1. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul on a :
  \[u_{n+1} = (n + 1)u_n - 1.\]
2. On considère le script Python ci-dessous définissant la fonction suite() :
  from math import exp
  
  def suite():
      u = …
      for n in range (1, …):
          u = …
      return
  
  Recopier et compléter le script Python ci-dessus pour que la fonction suite() renvoie la valeur de \(\displaystyle\int_0^1 x^8 \mathrm{e}^{1-x}\,\mathrm{d}x\).
1. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul on a :
  \[u_{n} \leqslant \frac{\mathrm{e}}{n+1}.\]
2. En déduire la limite de la suite \((u_n)\).

Méthodes de cours

Sur l'intervalle \([0~;~1]\), multiplier par \(x\) diminue : c'est la clé. Écris \(x^{n+1} = x^n \times x\) et compare \(x\) à \(1\).

Rédaction propre : pars de l'encadrement \(0 \leqslant x \leqslant 1\) et multiplie les trois membres par \(x^n\), en justifiant que \(x^n \geqslant 0\).

💡 Multiplier une inégalité par une quantité n'est licite que si tu as dit qu'elle est positive. C'est précisément ce qui est évalué dans un « justifier ».

Si \(g \leqslant h\) sur \([a~;~b]\) avec \(a \leqslant b\), alors

\[\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x \leqslant \int_a^b h(x)\,\mathrm{d}x.\]

Pour passer de la question a. aux intégrales, multiplie d'abord l'encadrement par \(\mathrm{e}^{1-x}\), puis intègre entre \(0\) et \(1\).

💡 Précise que \(\mathrm{e}^{1-x} > 0\) : sans cela, l'inégalité pourrait changer de sens. Et vérifie que les bornes sont bien dans l'ordre croissant, c'est une hypothèse du théorème.

Théorème de convergence monotone : toute suite décroissante et minorée converge (et toute suite croissante et majorée converge).

La question b. te donne exactement les deux ingrédients : relis-la en séparant ce qu'elle dit sur le sens de variation et ce qu'elle dit sur le minorant.

💡 Ce théorème donne l'existence de la limite, jamais sa valeur. N'écris surtout pas ici que la limite vaut \(0\) : ce sera l'objet de la question 3.b, avec un autre théorème.

\[\int_a^b u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x.\]

Le choix se fait dans un sens : celui qui abaisse le degré de la puissance. Pose donc \(u(x) = x^{n+1}\), ce qui laisse \(v'(x) = \mathrm{e}^{1-x}\).

💡 Une primitive de \(\mathrm{e}^{1-x}\) est \(-\mathrm{e}^{1-x}\) : le signe « moins » se propage dans tout le calcul, et c'est lui qui produit le \(-1\) de la formule attendue. Pense aussi que \(\mathrm{e}^{0} = 1\) quand tu évalues le crochet.

Un script de suite récurrente suit toujours trois temps : initialiser la variable avec le premier terme connu, boucler en écrasant la variable par la relation de récurrence, renvoyer la variable.

Ici le premier terme connu est \(u_1\), donné en début de partie, et la relation est celle de la question 2.a. Demande-toi combien de fois il faut l'appliquer pour aller de \(u_1\) au terme cherché, puis rappelle-toi que range(1, k) s'arrête à \(k-1\).

💡 Deux pièges de syntaxe : e n'existe pas en Python, il faut exp(1) — c'est pourquoi l'import est déjà écrit ; et la dernière ligne return doit être complétée, sinon la fonction ne renvoie rien. La variable de boucle n doit apparaître dans la relation.

Pour majorer \(\int_a^b\), on majore d'abord la fonction par une expression plus simple à intégrer, puis on applique la croissance de l'intégrale.

Ici : sur \([0~;~1]\), que peut-on dire de \(1 - x\), et donc de \(\mathrm{e}^{1-x}\) ? Le majorant obtenu est une constante, et il reste \(\displaystyle\int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x\), dont une primitive est immédiate.

💡 Le majorant doit être débarrassé de \(x\) avant d'intégrer, sinon on n'a rien gagné. Vérifie la primitive de \(x^n\) : c'est bien le \(n+1\) du dénominateur de l'énoncé qui doit apparaître.

Si \(a_n \leqslant u_n \leqslant b_n\) à partir d'un certain rang et si \(\left(a_n\right)\) et \(\left(b_n\right)\) convergent vers la même limite \(\ell\), alors \(\left(u_n\right)\) converge vers \(\ell\).

Le minorant t'est donné par la question 1.b, le majorant par la question 3.a. Il ne reste qu'à calculer la limite de ce majorant.

💡 \(\mathrm{e}\) est une constante : la limite de \(\dfrac{\mathrm{e}}{n+1}\) se traite comme celle de \(\dfrac{1}{n}\). C'est cette question, et non la 1.c, qui identifie la limite.

Exercice 4 (5 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(]0~;~+\infty[\) par :
\[f(x) = \ln (x) - x^2.\]

Affirmation 1 : \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\).
On considère l'équation différentielle
\[(E) : \quad - 2y' + 3y = \sin x + 8\cos x.\]

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x) = 2\cos x - \sin x.\]

Affirmation 2 : La fonction \(f\) est solution de l'équation différentielle \((E)\).
On considère la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \(]0~;~+\infty[\) par :
\[g(x) = \ln (3x + 1) + 8.\]

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 25\) et pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_{n+1} = g(u_n).\]

On admet que la suite \((u_n)\) est strictement positive.

Affirmation 3 : La suite \((u_n)\) est décroissante.
On considère une fonction affine \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\).
On note \(k\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(k(x) = x^4 + x^2 + h(x)\).

Affirmation 4 : La fonction \(k\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).
Une anagramme d'un mot est le résultat d'une permutation des lettres de ce mot.
Exemple : le mot BAC possède 6 anagrammes : BAC, BCA, ABC, ACB, CAB, CBA.

Affirmation 5 : Le mot EULER possède 120 anagrammes.

Méthodes de cours

\(\ln x \to +\infty\) et \(-x^2 \to -\infty\) : c'est une forme indéterminée « \(\infty - \infty\) », on ne peut pas conclure directement.

La méthode standard consiste à factoriser par le terme dominant, ici \(x^2\), puis à utiliser la croissance comparée

\[\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0.\]

💡 Une réponse qui annonce la conclusion sans nommer la forme indéterminée ni la lever ne vaut rien, même si elle est juste. Écris explicitement l'étape « FI » puis la factorisation.

Inutile de résoudre \((E)\) : une fonction est solution si elle vérifie l'équation. Calcule \(f'(x)\), forme le membre de gauche \(-2f'(x) + 3f(x)\), développe et compare au membre de droite.

Rappels utiles : \((\cos x)' = -\sin x\) et \((\sin x)' = \cos x\).

💡 Double piège de signe : celui de la dérivée du cosinus, et celui du coefficient \(-2\) devant \(y'\). Regroupe les termes en \(\cos x\) d'un côté et en \(\sin x\) de l'autre avant de conclure.

Pour une suite définie par récurrence avec \(g\) croissante, le premier pas décide de tout : si \(u_1 \leqslant u_0\), alors la suite est décroissante ; si \(u_1 \geqslant u_0\), elle est croissante. La preuve se rédige par récurrence, en appliquant \(g\) à l'hypothèse \(u_{n+1} \leqslant u_n\).

Deux étapes préalables, donc : justifier que \(g\) est croissante (étudie le signe de \(g'\) sur \(]0~;~+\infty[\)), puis calculer \(u_1\) et le comparer à \(u_0\).

💡 Le raisonnement ne fonctionne que parce que \(g\) est croissante — avec une fonction décroissante, la suite alternerait. La stricte positivité admise par l'énoncé sert à garantir que tous les termes restent dans l'intervalle de définition de \(g\) : sers-t'en dans l'hérédité.

\(k\) est convexe sur un intervalle si et seulement si \(k''\) y est positive (au sens large).

Dérive donc deux fois. La fonction \(h\) est affine, c'est-à-dire de la forme \(h(x) = ax + b\) : regarde ce qu'il en reste après deux dérivations.

💡 C'est tout l'intérêt de l'énoncé : la réponse ne dépend pas des coefficients de \(h\), qui ne sont d'ailleurs pas donnés. Conclus donc pour toute fonction affine \(h\), sans jamais avoir à la connaître.

Un mot de \(n\) lettres toutes distinctes possède \(n!\) anagrammes — c'est le nombre de permutations de \(n\) éléments, et c'est ce que montre l'exemple BAC de l'énoncé.

Mais lorsqu'une lettre est répétée \(p\) fois, échanger entre elles ces \(p\) lettres identiques redonne le même mot : chaque anagramme est alors compté \(p!\) fois, et il faut diviser par \(p!\).

💡 Écris les cinq lettres de EULER avant de compter, et repère celle qui apparaît deux fois. Le nombre \(120\) proposé par l'affirmation est exactement \(5!\) : c'est le résultat qu'on obtiendrait si les cinq lettres étaient distinctes.

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

Bac Nouvelle-Calédonie20 novembre 2025 — Sujet 1 (Jour 1)

Exercice 1 (5 points)

Méthodes de cours

Exercice 2 (4 points)

Méthodes de cours

Exercice 3 (6 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 3 (6 points) — Partie B

Méthodes de cours

Exercice 4 (5 points)

Méthodes de cours

Bac Nouvelle-Calédonie
20 novembre 2025 — Sujet 1 (Jour 1)