Guide de résolution — EAM Métropole sujet de secours 12 juin 2026

Première partie : Automatismes — QCM (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Question 1

La position \(p\) d'un objet et la position \(p'\) de son image au travers d'une lentille de distance focale \(f\) sont liées par la relation : \[\dfrac{1}{p'}-\dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{f}\]

On a alors :

\(p'=\dfrac{fp}{f+p}\)
\(p'=\dfrac{p-f}{fp}\)
\(p'=\dfrac{p+f}{fp}\)
\(p'=\dfrac{fp}{f-p}\)

Question 2

L'expression : \[\dfrac{2^5\times2^3}{2^7}\] est égale à :

\(2^{15}\)
\(2^8\)
\(1\)
\(2\)

Question 3

Un article coûte 80 euros. Son prix augmente de \(20\,\%\). Le nouveau prix est :

100 euros
64 euros
96 euros
16 euros

Question 4

Le plan est muni d'un repère. On considère la droite \(d\) passant par les points \(\mathrm{A}(1\,;3)\) et \(\mathrm{B}(3\,;7)\).

Le coefficient directeur de la droite \(d\) est égal à :

\(\dfrac12\)
\(4\)
\(2\)
\(-2\)

Question 5

Dans un lycée, \(60\,\%\) des élèves sont demi-pensionnaires.

Parmi les demi-pensionnaires, un quart sont des garçons.

La proportion de garçons demi-pensionnaires par rapport à l'ensemble des élèves du lycée est égale à :

\(85\,\%\)
\(35\,\%\)
\(15\,\%\)
\(1,5\,\%\)

Question 6

On considère la relation : \[V=\dfrac{t^2}{u}\] où \(t\) et \(u\) sont des nombres réels non nuls.

Lorsque \(V=20\) et \(u=5\), la valeur de \(t\) est égale à :

\(10\) ou \(-10\)
\(5\) ou \(-5\)
\(\sqrt{10}\) ou \(-\sqrt{10}\)
impossible

Question 7

Avec la précision permise par le graphique, une équation de la droite représentée ci-contre est :

\(y=-x+\dfrac23\)
\(y=\dfrac23x-1\)
\(y=-x+\dfrac32\)
\(y=\dfrac32x-1\)

Question 8

\(\dfrac{\sqrt{98}+2\sqrt8}{\sqrt2}\) est égal à :

\(8\sqrt2\)
\(9\)
\(11\)
\(9\sqrt2\)

Question 9

La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(2x-4)(-x+1)\) admet pour tableau de signes :

Question 10

Une fonction \(f\) est représentée ci-dessous :

Avec la précision permise par le graphique, l'ensemble des solutions de l'inéquation \(f(x)\geqslant1\) est :

\([-\infty\,;-2]\cup[-3\,;3]\cup[5\,;+\infty]\)
\([-2\,;-1]\cup[3\,;5]\)
\([-\infty\,;-2]\cup\left]-3\,;3\right[\cup\left]5\,;+\infty\right[\)
\([-2\,;-1]\cup\left]3\,;5\right[\)

Question 11

On considère ci-dessous une série statistique :

Valeurs	0	1	2	3	4
Effectifs	10	6	4	6	4

La médiane de cette série est :

\(2\)
\(1\)
\(1,6\)
\(0\)

Question 12

Parmi les expressions ci-dessous, laquelle n'est pas égale à \(4x^2-1\) ?

\((2x-1)(1+2x)\)
\((1-2x)^2+4x-2\)
\((2x-1)^2\)
\(4(x+1)^2-5-8x\)

Méthodes de cours

Commence par isoler \(\dfrac{1}{p'}\), puis mets le second membre au même dénominateur :

\[\frac{1}{f}+\frac{1}{p}=\frac{p+f}{fp}.\]

Deux nombres non nuls égaux ont des inverses égaux : tu peux alors « retourner » l'égalité.

💡 La question porte sur \(p'\), pas sur \(\dfrac{1}{p'}\) : deux des réponses proposées sont exactement les inverses l'une de l'autre. Et attention au signe — le \(-\) devant \(\dfrac1p\) devient un \(+\) quand on le fait passer de l'autre côté.

\[a^{m}\times a^{n}=a^{m+n},\qquad \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.\]

💡 Les exposants s'additionnent lors d'un produit, ils ne se multiplient pas : \(2^{5}\times2^{3}\) n'est pas \(2^{15}\). Et pense à écrire le résultat sous sa forme la plus simple : \(2^{1}\) s'écrit \(2\).

Augmenter de \(t\,\%\) revient à multiplier par le coefficient multiplicateur \(1+\dfrac{t}{100}\).

💡 \(20\,\%\) de \(80\) vaut \(16\), mais c'est le montant de la hausse, pas le nouveau prix — et cette valeur figure parmi les réponses proposées. Une autre correspond à une baisse de \(20\,\%\).

Pour deux points d'abscisses différentes :

\[m=\frac{y_\mathrm{B}-y_\mathrm{A}}{x_\mathrm{B}-x_\mathrm{A}},\]

et l'équation réduite d'une droite non verticale est \(y=mx+p\), où \(p\) est l'ordonnée à l'origine.

💡 En Q4, c'est bien \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) : la réponse \(\dfrac12\) attend ceux qui divisent à l'envers. En Q7, lis d'abord \(p\) à l'intersection avec l'axe des ordonnées, puis compte les carreaux pour la pente ; la droite monte, donc \(m>0\).

Quand une proportion est calculée sur une sous-population, les deux proportions se multiplient pour donner la proportion par rapport au tout.

💡 Le mot « parmi » est le signal : il annonce une proportion emboîtée, qu'on multiplie et qu'on n'additionne surtout pas — la réponse \(85\,\%\) est là pour ceux qui additionnent. Pense aussi à traduire « un quart » par \(0,25\).

Remplace \(V\) et \(u\) par leurs valeurs, isole \(t^{2}\), puis applique : si \(k>0\), l'équation \(t^{2}=k\) a exactement deux solutions, \(\sqrt{k}\) et \(-\sqrt{k}\).

💡 N'oublie pas la solution négative : le carré efface le signe. Et sois attentif au calcul — \(t^{2}=100\) donne \(\pm10\), pas \(\pm\sqrt{10}\), une confusion que les réponses proposées guettent.

On extrait les carrés parfaits grâce à \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\) : ici \(98=49\times2\) et \(8=4\times2\).

💡 Une fois le numérateur ramené à un multiple de \(\sqrt2\), la division par \(\sqrt2\) se simplifie d'un coup et le résultat est entier. Attention à ne pas perdre le facteur \(2\) placé devant \(\sqrt8\) : il se multiplie à ce que tu sors de la racine.

Méthode en trois temps : chercher la racine de chaque facteur, ranger ces valeurs dans l'ordre croissant sur la ligne des \(x\), puis donner le signe de chaque facteur (un facteur affine \(ax+b\) est du signe de \(a\) après sa racine) et appliquer la règle des signes.

💡 Commence par les deux racines : elles éliminent déjà la moitié des tableaux proposés. Ensuite, développe mentalement pour connaître le signe du coefficient de \(x^{2}\) : il donne le signe de \(f\) aux deux extrémités, qui sont nécessairement identiques.

Trace (au moins mentalement) la droite horizontale d'équation \(y=k\). L'ensemble des solutions est l'ensemble des abscisses des points où la courbe est au-dessus de cette droite, ou sur elle.

💡 L'inégalité est large : les abscisses où la courbe coupe la droite sont incluses, donc crochets fermés — c'est exactement ce qui sépare deux des réponses proposées. Et \(+\infty\) comme \(-\infty\) sont toujours exclus d'un intervalle : un crochet fermé sur l'infini est une faute qui élimine d'office une réponse.

Calcule l'effectif total \(N\), puis utilise les effectifs cumulés croissants. Si \(N\) est pair, la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs \(\dfrac{N}{2}\) et \(\dfrac{N}{2}+1\).

💡 La médiane n'est pas la moyenne : la réponse \(1,6\) attend précisément ceux qui confondent les deux. Ce n'est pas non plus la valeur de plus grand effectif (ça, c'est le mode).

Développe chaque proposition et compare à \(4x^{2}-1\). Les identités utiles : \((a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}\) et \((a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\).

💡 Lis bien la consigne : on cherche l'intruse, donc trois réponses sont égales à \(4x^{2}-1\). Le terme en \(x\) est ce qui trahit le coupable : une différence de deux carrés n'en contient pas, un carré parfait en contient un.

Exercice 1 (6 points) — Partie A : Étude graphique

On donne ci-dessous les courbes \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{C}'\) de deux fonctions définies et dérivables sur \(\mathbb{R}\). L'une est la dérivée de l'autre.

On précise également que :

\(\mathcal{C}\) coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées \((0\,;9)\) et tangente l'axe des abscisses au point de coordonnées \((3\,;0)\),
\(\mathcal{C}'\) coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées \((0\,;3)\) et l'axe des abscisses aux points de coordonnées \((1\,;0)\) et \((3\,;0)\).

Donner un argument graphique qui montre que c'est bien la courbe \(\mathcal{C}'\) qui représente la dérivée de la fonction représentée par la courbe \(\mathcal{C}\), et non l'inverse.
On note \(f\) la fonction représentée par la courbe \(\mathcal{C}\). Montrer qu'une équation de la tangente à la courbe \(\mathcal{C}\) au point d'abscisse \(0\) est \(y=3x+9\).

Méthodes de cours

Le lien graphique entre une fonction et sa dérivée tient en deux phrases : \(f'\) est positive exactement là où \(f\) est croissante, et \(f'\) s'annule aux abscisses où \(f\) admet une tangente horizontale.

Il suffit donc de tester une de ces deux propriétés sur un point bien choisi des deux courbes.

💡 Les précisions de l'énoncé te donnent le point le plus efficace : l'une des deux courbes touche l'axe des abscisses sans le traverser en \(3\), l'autre le coupe en \(1\) et en \(3\). Un seul argument correctement rédigé suffit : inutile d'en empiler trois.

La tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation :

\[y=f'(a)(x-a)+f(a).\]

Avec \(a=0\), il ne te faut que deux nombres : \(f(0)\) et \(f'(0)\).

💡 C'est tout l'intérêt d'avoir les deux courbes : \(f(0)\) se lit sur \(\mathcal{C}\) et \(f'(0)\) se lit sur \(\mathcal{C}'\). Les deux valeurs figurent noir sur blanc dans les précisions de l'énoncé — vérifie que tu retrouves bien \(y=3x+9\).

Exercice 1 (6 points) — Partie B

Afin d'établir l'efficacité d'un antibiotique, un biologiste étudie l'évolution d'une population de bactéries dans un milieu de culture.

À l'instant \(t=0\), le milieu contient une population initiale de bactéries et l'antibiotique est introduit dans le milieu.

La densité de population bactérienne (en milliers de bactéries par millilitre) peut être modélisée par la fonction \(f\) représentée par \(\mathcal{C}\) dans la partie 1 et définie pour tout réel \(t\) par : \[f(t)=\mathrm{e}^{t}\left(t^2-6t+9\right)\] où \(t\) représente le temps écoulé depuis le début de l'observation, exprimé en heure.

Données : \(\mathrm{e}^{1}\approx2,7\) ; \(\mathrm{e}^{3}\approx20,1\).

Montrer que pour tout réel \(t\), on a : \(f(t)=\mathrm{e}^{t}(t-3)^2\).
En déduire le signe de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Calculer \(f(0)\) et interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
Montrer que la fonction dérivée de la fonction \(f\) est définie, pour tout réel \(t\), par : \[f'(t)=\mathrm{e}^{t}\left(t^2-4t+3\right)\]
1. Étudier le signe de \(f'\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Dresser le tableau des variations complet de la fonction \(f\) sur \([0\,;+\infty[\).

Méthodes de cours

Le trinôme entre parenthèses est une identité remarquable : reconnais la forme \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\). Le plus simple est de développer \((t-3)^2\) et de constater l'égalité.

Pour le signe d'un produit, on donne le signe de chaque facteur séparément.

💡 Écris explicitement que \(\mathrm{e}^{t}>0\) pour tout réel \(t\) : c'est la ligne que le correcteur cherche. Et sois précis dans la conclusion — un carré est positif ou nul, donc \(f\) s'annule en une valeur qu'il faut nommer.

Remplace \(t\) par \(0\) dans l'une ou l'autre des deux expressions de \(f\), en utilisant \(\mathrm{e}^{0}=1\). Tu peux contrôler ton résultat sur le graphique de la partie A.

💡 L'interprétation vaut autant que le calcul : il faut une phrase qui contienne le moment (l'instant où l'antibiotique est introduit) et l'unité (des milliers de bactéries par millilitre). Une valeur posée toute seule ne rapporte pas le point.

\[(uv)'=u'v+uv',\qquad\text{avec }u(t)=\mathrm{e}^{t}\text{ et }v(t)=t^2-6t+9.\]

Comme \(\left(\mathrm{e}^{t}\right)'=\mathrm{e}^{t}\), les deux termes ont \(\mathrm{e}^{t}\) en facteur.

💡 Factorise par \(\mathrm{e}^{t}\) avant de réduire, puis regroupe les termes de même degré dans la parenthèse : tu dois retrouver exactement \(t^2-4t+3\). Pars de la forme développée, elle est plus rapide ici que la forme factorisée.

L'exponentielle étant strictement positive, \(f'\) est du signe du trinôme. On cherche donc ses racines, puis on applique la règle : un trinôme est du signe de \(a\) à l'extérieur des racines, du signe contraire entre elles.

💡 Ici \(1\) est racine évidente : vérifie-le, puis obtiens la seconde racine par le produit des racines \(\dfrac{c}{a}\) — plus rapide que le discriminant. Contrôle ensuite sur le graphique de la partie A : \(\mathcal{C}'\) doit bien couper l'axe des abscisses en ces deux valeurs.

Un tableau « complet » comporte quatre lignes : les valeurs de \(t\) (bornes de l'intervalle et racines de \(f'\)), le signe de \(f'\), les flèches de variation, et les valeurs de \(f\) aux bornes et aux extremums.

💡 L'intervalle demandé est \([0\,;+\infty[\) : ne fais pas commencer le tableau à \(-\infty\), et ne fais pas figurer une racine de \(f'\) qui n'y serait pas. Les données \(\mathrm{e}^{1}\approx2,7\) et \(\mathrm{e}^{3}\approx20,1\) sont là pour que tu donnes des valeurs numériques approchées — ne les laisse pas de côté.

Exercice 2 (4 points)

On considère un château de cartes à \(N\) étages, représenté ci-contre dans le cas \(N=3\).

On souhaite déterminer combien de cartes sont nécessaires pour construire un tel château.

Combien de triangles « pointe en haut » peut-on dénombrer à l'étage 1 dans un château à \(N\) étages ?
Combien de triangles « pointe en haut » sont nécessaires pour construire tout le château à \(N\) étages ?
Justifier que le nombre de cartes nécessaires pour construire ce château à \(N\) étages est égal à : \[\dfrac{3N^2+N}{2}\]
On dispose d'un paquet de 54 cartes ; combien d'étages peut comporter au maximum un château construit avec ces cartes ? Justifier la réponse.

Méthodes de cours

La figure du cas \(N=3\) sert à faire la conjecture : compte les triangles de chaque étage, repère la régularité (on perd un triangle à chaque étage en montant), puis exprime le résultat pour un \(N\) quelconque.

💡 Fais bien attention à la numérotation portée sur le dessin : l'étage 1 est celui du bas, le plus large. C'est lui qui contient le plus de triangles, et c'est le seul dont la question 1 parle.

La formule à connaître :

\[1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}.\]

Le nombre total de triangles est la somme des triangles de chaque étage, du haut vers le bas.

💡 Vérifie ta formule sur le cas \(N=3\) de la figure : elle doit donner exactement le nombre de triangles que tu comptes à l'œil. Ce contrôle coûte cinq secondes et détecte tout décalage d'indice.

Il y a deux sortes de cartes : les cartes inclinées, deux par triangle, et les cartes posées à plat entre deux étages consécutifs. Compte les unes et les autres, additionne, puis réduis au même dénominateur pour retrouver la forme demandée.

💡 Les cartes horizontales sont le piège de la question. Il y a \(N-1\) séparations entre étages, et chacune porte autant de cartes qu'il y a de triangles à l'étage du dessus : c'est encore une somme d'entiers consécutifs. Contrôle final sur la figure : un château à 3 étages doit demander 15 cartes.

Traduis la contrainte par une inéquation : le nombre de cartes nécessaires doit rester inférieur ou égal à \(54\). Tu peux la résoudre par le discriminant, ou tester des entiers en justifiant que l'expression est croissante pour \(N\geqslant1\).

💡 « Au maximum » impose deux calculs dans la rédaction : celui qui montre qu'une valeur de \(N\) convient, et celui qui montre que la suivante ne convient plus. Un seul essai ne justifie rien, même si le résultat est juste.

Exercice 3 (4 points)

Le plan est muni d'un repère orthonormé \(\left(\mathrm{O} ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}\right)\). Le rectangle OABC représenté ci-contre modélise une scène de spectacle vue de dessus.

On place un projecteur au point F qui permet d'éclairer la partie du plan délimitée par le polygone ABEFD.

Donner sans justification les coordonnées des points A, B, C, D, E, F dans le repère \(\left(\mathrm{O} ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}\right)\).
Un visiteur affirme que la partie du plan éclairée par ce projecteur représente plus de \(80\,\%\) de l'aire totale de la scène.
Cette affirmation est-elle exacte ?
Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\vec{\mathrm{FD}}\) et \(\vec{\mathrm{FE}}\) et calculer le produit scalaire \(\vec{\mathrm{FD}}\cdot\vec{\mathrm{FE}}\).
En déduire une valeur exacte du cosinus de l'angle \(\widehat{\mathrm{DFE}}\).
Expliquer comment construire à l'aide d'une équerre le point M appartenant au segment [DF] tel que \(\vec{\mathrm{FD}}\cdot\vec{\mathrm{FM}}=14\).

Méthodes de cours

Aucune justification n'est demandée : on lit l'abscisse puis l'ordonnée de chaque point sur le quadrillage.

💡 L'ordre des lettres du rectangle OABC t'aide à contrôler ta lecture : les sommets se suivent, donc A et C sont les deux voisins de O, et B est le sommet opposé. Toute la suite de l'exercice repose sur ces six couples : vérifie-les avant d'aller plus loin.

Le polygone éclairé n'est pas une figure usuelle : le plus simple est de calculer l'aire de la scène entière puis de retrancher les parties non éclairées, qui sont des triangles rectangles. Rappel : aire d'un triangle rectangle \(=\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}\).

💡 Les deux zones non éclairées ont leurs côtés de l'angle droit portés par les bords de la scène : leurs dimensions se lisent directement sur la figure. Termine par un quotient comparé à \(0,80\) — la question porte sur une proportion, pas sur une différence d'aires.

\[\vec{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}x_\mathrm{B}-x_\mathrm{A}\\y_\mathrm{B}-y_\mathrm{A}\end{pmatrix},\qquad \vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'.\]

💡 Les deux vecteurs partent de F : c'est donc F qu'on retranche dans les deux cas. Une erreur de signe sur la première coordonnée fausse tout le reste de l'exercice, y compris les questions 4 et 5 — relis cette étape avant de continuer.

De \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\left\|\vec{u}\right\|\times\left\|\vec{v}\right\|\times\cos\theta\) on tire :

\[\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left\|\vec{u}\right\|\times\left\|\vec{v}\right\|}.\]

Les deux normes se calculent à partir des coordonnées trouvées à la question précédente.

💡 « Valeur exacte » veut dire : pas d'arrondi, on garde les radicaux jusqu'au bout. Contrôle ensuite la vraisemblance — le cosinus obtenu est positif et inférieur à \(1\), ce qui correspond bien à un angle aigu sur la figure.

Propriété clé : si M est le projeté orthogonal de E sur la droite (FD), alors

\[\vec{\mathrm{FD}}\cdot\vec{\mathrm{FM}}=\vec{\mathrm{FD}}\cdot\vec{\mathrm{FE}}.\]

Remplacer un vecteur par son projeté sur la direction de l'autre ne change pas le produit scalaire.

💡 La valeur \(14\) n'est pas tombée du ciel : c'est exactement le produit scalaire calculé à la question 3. La réponse tient donc en une phrase de construction — poser l'équerre pour tracer la perpendiculaire à (FD) passant par E, et appeler M son point d'intersection avec le segment [DF].

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

Épreuve anticipée de mathématiques — Métropole12 juin 2026 — Sujet de secours, voie générale

Première partie : Automatismes — QCM (6 points)

Méthodes de cours

Exercice 1 (6 points) — Partie A : Étude graphique

Méthodes de cours

Exercice 1 (6 points) — Partie B

Méthodes de cours

Exercice 2 (4 points)

Méthodes de cours

Exercice 3 (4 points)

Méthodes de cours

Épreuve anticipée de mathématiques — Métropole
12 juin 2026 — Sujet de secours, voie générale