Guide de résolution — EAM Polynésie 12 juin 2026

Partie 1 : Automatismes — QCM (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question.

Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Un article coûte \(40\) € et subit une augmentation de \(30\,\%\).
Combien coûte-t-il après cette augmentation ?

A. \(40,3\) € B. \(52\) € C. \(12\) € D. \(70\) €

On considère l'équation \((-0,5x+3)(-5x-4)=0\).

Les solutions de cette équation sont :

A. \(\dfrac{0,5}{3}\text{ et }\dfrac54\)

B. \(\dfrac{0,5}{3}\text{ et }-0,8\)

C. \(6\text{ et }0,8\)

D. \(6\text{ et }-0,8\)

Un entraîneur choisit 8 joueurs dans une équipe.
Cela représente \(20\,\%\) de l'équipe.

Combien y a-t-il de joueurs dans l'équipe ?

A. \(16\) B. \(20\) C. \(40\) D. \(32\)

On peut calculer l'énergie cinétique d'un objet en mouvement.

Cette énergie est notée \(E_C\) et elle est donnée par la formule \(E_C=\dfrac12~m~v^2\) (où \(E_C\) s'exprime en joules, \(m\) représente la masse de l'objet en kg et \(v\) sa vitesse en m/s).

L'expression permettant d'exprimer la vitesse \(v\) en fonction de \(E_C\) et de \(m\) est :

A. \(v=\dfrac{{E_C}^2}{2m}\)

B. \(v=\sqrt{\dfrac{2~E_C}{m}}\)

C. \(v=\sqrt{\dfrac{E_C}{2~m}}\)

D. \(v=\sqrt{2~m~E_C}\)

On a représenté ci-contre la courbe de la fonction inverse définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x)=\dfrac{1}{x}\).

L'ensemble des solutions de l'inéquation \(\dfrac1x \geqslant 2\) est :

A. \(\left]0\,;\dfrac12\right]\)	B. \(\left]0\,;2\right]\)
C. \(\left[2\,;+\infty\right[\)	D. \(\left]-\infty\,;0\right[\cup\left[\dfrac12\,;+\infty\right[\)

Le nombre \(2^9\times5^7\) est égal à :

A. \(10^{16}\) B. \(4\times10^7\) C. \(10^{63}\) D. \(4\times10^{14}\)
Parmi les équations réduites de droites proposées, laquelle est celle de la droite \((d)\) tracée dans le repère ci-dessus ?

A. \(y=-5,2x+8,6\) B. \(y=0,6x+5,2\) C. \(y=5,2x+8,6\) D. \(y=-0,6x+5,2\)
Quelle est la forme factorisée de l'expression \(16x^2-(x+1)^2\) ?

A. \((3x-1)^2\) B. \((3x-1)(5x+1)\) C. \((15x-1)^2\) D. \((15x-1)(17x+1)\)

Méthodes de cours

Augmenter de \(t\,\%\) revient à multiplier par le coefficient multiplicateur \(1+\dfrac{t}{100}\) ; prendre \(t\,\%\) d'une quantité revient à multiplier par \(\dfrac{t}{100}\).

En Q1 tu appliques ce coefficient au prix de départ. En Q3, c'est le mouvement inverse : tu connais la partie (\(8\) joueurs) et le pourcentage, tu cherches le tout, donc tu divises.

💡 En Q1, le distracteur \(40,3\) correspond à \(40+0,3\) : une augmentation de \(30\,\%\) n'est pas une augmentation de \(0,3\) €. En Q3, vérifie ta réponse en sens inverse : \(20\,\%\) du total doit bien redonner \(8\).

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :

\[A\times B=0 \iff A=0 \text{ ou } B=0.\]

Tu résous donc séparément \(-0,5x+3=0\) puis \(-5x-4=0\).

💡 Attention aux signes : dans \(-0,5x+3=0\), on isole \(-0,5x=-3\) puis on divise par \(-0,5\) (deux signes moins qui se compensent). Le distracteur \(\dfrac{0,5}{3}\) vient d'une division faite à l'envers.

On isole la variable cherchée étape par étape : ici on commence par débarrasser \(v^2\) de son coefficient \(\dfrac12 m\), puis on passe à la racine carrée.

Comme une vitesse est positive, \(v^2=X\) donne \(v=\sqrt{X}\).

💡 Contrôle ton résultat par les unités ou par un test numérique : prends \(m=2\) et \(v=3\), calcule \(E_C\), puis vérifie que la formule choisie te redonne bien \(v=3\). C'est plus rapide que de refaire l'algèbre.

On ne multiplie pas les deux membres par \(x\) : le signe de \(x\) est inconnu, donc le sens de l'inégalité le serait aussi. La courbe est fournie pour qu'on lise la solution : cherche les abscisses pour lesquelles la courbe est au-dessus ou sur la droite horizontale d'équation \(y=2\).

💡 Deux vérifications qui éliminent trois réponses : \(0\) n'appartient jamais à l'ensemble solution (\(f\) n'y est pas définie), et un \(x\) négatif donne \(\dfrac1x<0\), donc jamais \(\geqslant 2\). Teste ensuite une valeur, par exemple \(x=0,4\) puis \(x=1\), pour trancher entre les intervalles restants.

La règle utile est \(a^n\times b^n=(ab)^n\), avec ici \(2\times5=10\). Découpe donc la plus grande puissance de \(2\) pour en extraire autant de facteurs \(2\) que de facteurs \(5\) : \(2^9=2^{2}\times2^{7}\).

💡 On n'additionne pas les exposants de bases différentes : \(2^9\times5^7\neq10^{16}\). Ordre de grandeur pour vérifier : le résultat est un nombre à huit chiffres, donc de l'ordre de \(10^7\), pas de \(10^{14}\).

Deux lectures graphiques suffisent :

\(p\) est l'ordonnée à l'origine, lue à l'intersection avec l'axe des ordonnées ;
\(m\) est le coefficient directeur : \(m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\) pour deux points de la droite.

💡 La droite descend, donc \(m<0\) : les réponses B et C tombent immédiatement. Pour départager les deux dernières, regarde de combien la droite descend quand on avance de \(5\) en abscisse — un coefficient de \(-5,2\) ferait sortir la droite de la fenêtre en une seule unité.

L'identité remarquable \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) s'applique dès qu'on reconnaît deux carrés. Ici \(16x^2=(4x)^2\), donc \(a=4x\) et \(b=x+1\).

💡 Les parenthèses autour de \(b\) sont essentielles : \(a-b=4x-(x+1)\), le signe moins porte sur le \(+1\) aussi. Vérifie en développant mentalement le terme constant : il doit valoir \(-1\).

Exercice 1 (8 points) — Partie A

Un club de vacances propose deux types d'activités à ses clients : des randonnées le matin et des activités nautiques l'après-midi.

On sait que

un quart des clients participent aux randonnées ;
parmi les clients ayant choisi de faire une randonnée le matin, la moitié s'inscrit aussi aux activités nautiques de l'après-midi ;
parmi les clients n'ayant pas choisi de faire une randonnée le matin, un tiers s'inscrit aux activités nautiques de l'après-midi.

On choisit un client du club de vacances au hasard et on note :

\(R\) l'évènement : « le client participe à la randonnée » ;
\(N\) l'évènement : « le client participe aux activités nautiques ».

Recopier et compléter l'arbre de probabilité représentant la situation.
Montrer que la probabilité que le client participe aux activités nautiques est de \(\dfrac38\).
Sachant que le client a participé aux activités nautiques de l'après-midi, quelle est la probabilité qu'il ait fait la randonnée du matin ?
Les évènements \(R\) et \(N\) sont-ils indépendants ?
Justifier.

Méthodes de cours

Sur un arbre pondéré, les branches du premier niveau portent \(P(R)\) et \(P\!\left(\overline{R}\right)\) ; celles du second niveau portent des probabilités conditionnelles : \(P_R(N)\), \(P_{\overline{R}}(N)\), etc.

« Parmi les clients ayant fait une randonnée, la moitié… » est exactement la formulation d'un \(P_R(N)\) : le « parmi » indique l'évènement qui conditionne.

💡 Règle de contrôle : la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut \(1\). Elle te donne gratuitement les quatre pondérations manquantes, sans nouveau calcul.

\(R\) et \(\overline{R}\) forment une partition de l'univers, donc

\[P(N)=P(R\cap N)+P\!\left(\overline{R}\cap N\right)=P(R)\times P_R(N)+P\!\left(\overline{R}\right)\times P_{\overline{R}}(N).\]

Chaque terme est le produit des pondérations rencontrées le long d'un chemin de l'arbre.

💡 Travaille en fractions du début à la fin, sans passer par les décimaux : \(\dfrac13\) n'a pas d'écriture décimale exacte et un arrondi intermédiaire t'empêcherait de retrouver exactement le \(\dfrac38\) annoncé par l'énoncé.

La question demande \(P_N(R)\), alors que l'arbre est construit dans l'autre sens. On revient à la définition :

\[P_N(R)=\dfrac{P(R\cap N)}{P(N)}.\]

Le numérateur est le chemin \(R\) puis \(N\) déjà calculé en Q2, et le dénominateur est le résultat de la Q2.

💡 \(P_N(R)\) et \(P_R(N)\) ne sont pas la même chose : l'indice est la condition, pas l'évènement dont on calcule la probabilité. Écris la formule avant de remplacer, c'est ce qui est valorisé au barème.

Deux évènements \(A\) et \(B\) sont indépendants lorsque

\[P(A\cap B)=P(A)\times P(B).\]

Tu calcules donc les deux membres séparément et tu les compares : \(P(R\cap N)\) est un chemin de l'arbre, \(P(R)\times P(N)\) utilise les deux résultats précédents.

💡 Pour comparer proprement deux fractions, mets-les au même dénominateur plutôt que de les arrondir. Et rédige une conclusion explicite : « les deux produits diffèrent, donc \(R\) et \(N\) ne sont pas indépendants » — l'égalité ou la non-égalité doit être écrite noir sur blanc. Variante acceptée : comparer \(P_N(R)\) et \(P(R)\).

Exercice 1 (8 points) — Partie B

En 2025, le club a accueilli 400 clients.

Son directeur projette la fréquentation du club dans les années à venir en modélisant le nombre de clients du club les années suivantes par la suite \((u_n)\) définie par :

\(u_0=400\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=1,025\,u_n\)

où \(u_n\) représente le nombre de clients du club pour l'année \(2025+n\).

Donner la nature de la suite \((u_n)\) en précisant sa raison.
Selon ce modèle, quel est le taux d'évolution annuel de la fréquentation de ce club de vacances ?

Recopier et compléter la fonction seuil, codée en python, afin qu'elle renvoie la plus petite valeur de \(n\) telle que \(u_n\) soit supérieure ou égale à \(k\), où \(k\) est un entier naturel non nul.
def seuil (k) :
    u = 400
    n = 0
    while ...... :
        n = ...
        u = ...
    return ...

Le tableau ci-contre a été extrait d'une feuille automatisée de calcul donnant les valeurs arrondies au centième de \(1,025^n\) pour certaines valeurs de \(n\).

Déterminer la valeur renvoyée par seuil(600), où seuil est la fonction codée en python donnée en 3.a.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Aide aux calculs : \(400\times1,5=600\)

	A	B
1	n	1,025^n
2	0	1,00
3	1	1,03
4	2	1,05
5	3	1,08
6	4	1,10
7	5	1,13
8	6	1,16
9	7	1,19
10	8	1,22
11	9	1,25
12	10	1,28
13	11	1,31
14	12	1,34
15	13	1,38
16	14	1,41
17	15	1,45
18	16	1,48
19	17	1,52
20	18	1,56
21	19	1,60
22	20	1,64
23	21	1,68

Méthodes de cours

Une suite est géométrique de raison \(q\) lorsque la relation de récurrence s'écrit \(u_{n+1}=q\times u_n\) pour tout \(n\). Il suffit donc de lire le facteur constant devant \(u_n\).

💡 Réponds aux deux demandes de la question : la nature et la raison. Et pense à préciser le premier terme \(u_0\) — c'est lui qui permettra d'écrire \(u_n=u_0\times q^n\) à la question suivante.

Multiplier par \(q\) d'une année sur l'autre correspond au taux d'évolution \(t\) donné par

\[q=1+\dfrac{t}{100}\quad\text{soit}\quad t=(q-1)\times100.\]

💡 Ne confonds pas le coefficient et le taux : la réponse attendue est un pourcentage, avec le mot « augmentation » (ou le signe \(+\)) puisque \(q>1\). Ne réponds pas « \(1,025\,\%\) ».

Une boucle while tourne tant que sa condition est vraie : la condition doit donc exprimer que le seuil n'est pas encore atteint, c'est-à-dire que u est encore strictement inférieur à k.

À l'intérieur, les deux lignes font passer de l'année \(n\) à l'année \(n+1\) : un compteur qui avance d'une unité et une valeur qui se met à jour avec la relation de récurrence.

💡 Trois pièges ici. La condition d'arrêt est \(u_n\geqslant k\), donc la condition de boucle porte une inégalité stricte. La mise à jour de u doit utiliser u lui-même (u = ...*u), sinon la suite ne progresse pas. Enfin return renvoie le rang, pas le nombre de clients : relis ce que la question demande exactement.

Avec \(u_n=400\times1,025^n\), la condition \(u_n\geqslant600\) se ramène, grâce à l'aide aux calculs, à une condition portant sur \(1,025^n\) seul — exactement la colonne B du tableau.

Tu parcours alors la colonne jusqu'à la première ligne qui franchit ce seuil.

💡 Ne lis pas le numéro de ligne du tableur : la colonne A donne \(n\), et elle est décalée de deux par rapport aux numéros de lignes. L'interprétation doit enfin être datée : le rang \(n\) correspond à l'année \(2025+n\), et la phrase attendue parle de clients, pas de \(1,025^n\).

Exercice 2 (6 points) — Partie A

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=\left(\dfrac12 x + 1\right)\mathrm{e}^{-x}\).

On note \(\left(\mathcal{C}_f\right)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on désigne par \(f'\) sa fonction dérivée.

Démontrer que, pour tout réel \(x\), \(f'(x)=\left(-\dfrac12 x -\dfrac12\right)\mathrm{e}^{-x}\).
Étudier les variations de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
L'affirmation « Pour tout réel \(x\), \(f(x)\leqslant 2\) » est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
Déterminer l'équation réduite de la tangente à \(\left(\mathcal{C}_f\right)\) au point d'abscisse 0.

Aide aux calculs

\(\mathrm{e}^{1}\approx2,7\)

\(\mathrm{e}^{-1}\approx0,4\)

\(\mathrm{e}^{2}\approx7,4\)

Méthodes de cours

\(f\) est de la forme \(uv\) avec \(u(x)=\dfrac12x+1\) et \(v(x)=\mathrm{e}^{-x}\), donc \(f'=u'v+uv'\).

La dérivée à connaître est \(\left(\mathrm{e}^{kx}\right)'=k\,\mathrm{e}^{kx}\), donc ici \(v'(x)=-\mathrm{e}^{-x}\).

💡 L'erreur la plus fréquente : oublier le signe moins de \(v'\). Mets ensuite \(\mathrm{e}^{-x}\) en facteur et développe soigneusement \(-\left(\dfrac12x+1\right)\) : le signe moins porte sur les deux termes. Tu dois retrouver exactement l'expression donnée par l'énoncé.

L'exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb{R}\) : le signe de \(f'(x)\) est donc celui du facteur affine \(-\dfrac12x-\dfrac12\) seul.

Tu résous l'inéquation \(-\dfrac12x-\dfrac12>0\), puis tu dresses le tableau de variations.

💡 Le coefficient de \(x\) est négatif : en divisant par \(-\dfrac12\), l'inégalité change de sens. Dans le tableau, indique la valeur de l'extremum sous forme exacte (avec \(\mathrm{e}\)), puis sa valeur approchée grâce à l'aide aux calculs.

Dire que \(f(x)\leqslant 2\) pour tout réel \(x\), c'est dire que \(2\) est un majorant de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). Il suffit donc de comparer \(2\) au maximum de \(f\), déjà obtenu au tableau de variations de la question 2.

💡 Pas besoin de nouveau calcul : c'est une question « en déduire » déguisée. Si l'affirmation est vraie, appuie-toi sur le maximum ; si elle est fausse, un contre-exemple numérique suffit. Attention, l'aide aux calculs donne des valeurs approchées : ici l'écart avec \(2\) est assez large pour que l'arrondi ne pose pas de problème, mais dis-le.

La tangente à \(\left(\mathcal{C}_f\right)\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation

\[y=f'(a)(x-a)+f(a).\]

Avec \(a=0\), il te faut donc deux nombres seulement : \(f(0)\) et \(f'(0)\).

💡 \(\mathrm{e}^{0}=1\), ce qui rend les deux calculs immédiats — ne sors pas la calculatrice. Et n'oublie pas de réduire l'équation : la question demande la forme \(y=mx+p\). Garde ce résultat sous la main, la partie B s'en sert.

Exercice 2 (6 points) — Partie B

Soit \(g\) la fonction polynôme du second degré définie par \(g(x)=0,5x^2+bx+c\) où \(b\) et \(c\) sont deux réels.

On crée la courbe représentée ci-dessous, constituée des deux éléments suivants :

Une partie de la courbe \(\left(\mathcal{C}_f\right)\) représentative de la fonction \(f\) définie dans la partie A sur l'intervalle \([-2\,;0]\).
Une partie de la courbe \(\left(\mathcal{C}_g\right)\) représentative de la fonction \(g\) sur l'intervalle \([0\,;3]\).

Le but de cette partie est de déterminer les valeurs des réels \(b\) et \(c\).

Le point M \((0\,;1)\) appartient aux deux courbes \(\left(\mathcal{C}_f\right)\) et \(\left(\mathcal{C}_g\right)\).
Démontrer que \(c=1\).
Au point M \((0\,;1)\) les courbes \(\left(\mathcal{C}_f\right)\) et \(\left(\mathcal{C}_g\right)\) admettent la même tangente.
Déterminer la valeur de \(b\).

Méthodes de cours

Un point \(\mathrm{M}\,(x_0\,;y_0)\) appartient à la courbe de \(g\) si et seulement si \(g(x_0)=y_0\). C'est la seule traduction à faire : tu calcules \(g(0)\) avec l'expression littérale, puis tu l'égales à l'ordonnée de M.

💡 Remplace \(x\) par \(0\) dans la forme littérale \(0,5x^2+bx+c\) : les termes en \(x^2\) et en \(x\) disparaissent, et \(c\) apparaît seul. Rédige l'équivalence, ne te contente pas d'écrire le résultat que l'énoncé t'a donné.

Deux courbes qui admettent la même tangente en un point de même abscisse \(a\) ont, en ce point, le même nombre dérivé :

\[g'(a)=f'(a).\]

Tu dérives donc \(g\) (dérivée d'un polynôme du second degré : \(\left(ax^2+bx+c\right)'=2ax+b\)), tu évalues en \(0\), et tu identifies avec le coefficient directeur trouvé à la question 4 de la partie A.

💡 \(b\) est un paramètre, pas une variable : quand tu dérives par rapport à \(x\), le terme \(bx\) a pour dérivée \(b\), et \(c\) disparaît. Contrôle graphique pour finir : au point M la courbe verte descend, donc le nombre dérivé doit être négatif.

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

EAM Polynésie12 juin 2026 — Voie générale, avec spécialité

Partie 1 : Automatismes — QCM (6 points)

Méthodes de cours

Exercice 1 (8 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 1 (8 points) — Partie B

Méthodes de cours

Exercice 2 (6 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 2 (6 points) — Partie B

Méthodes de cours

EAM Polynésie
12 juin 2026 — Voie générale, avec spécialité