Guide de résolution — EAM Polynésie 4 septembre 2026

Première partie : automatismes — QCM (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Question 1

On note \(S\) l'ensemble des solutions dans \(\mathbb{R}\) de l'équation : \((2x-6)(x+4)=0\). On a :

A. \(S=\{4 ; 6\}\)

B. \(S=\{-4 ; 6\}\)

C. \(S=\{3 ; 4\}\)

D. \(S=\{-4 ; 3\}\)

Question 2

On lance un dé cubique équilibré numéroté de 1 à 6. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre strictement supérieur à 4 ?

A. \(\dfrac{1}{2}\)

B. \(\dfrac{1}{3}\)

C. \(\dfrac{1}{4}\)

D. \(\dfrac{1}{5}\)

Question 3

La seule égalité vraie est :

A. \(3^{-5} \times 6^{-5}=18^{-10}\)

B. \(\left(3^{-5}\right)^{2}=3^{-3}\)

C. \(\dfrac{3}{3^{5}}=3^{-4}\)

D. \(\dfrac{3^{-2}}{3^{8}}=3^{-6}\)

Question 4

On a représenté ci-dessous quatre droites dans un repère orthonormé.

Parmi les quatre affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

A. La droite \(\mathrm{D}_{1}\) a pour équation \(y=3\)	B. La droite \(\mathrm{D}_{2}\) a pour coefficient directeur 1
C. La droite \(\mathrm{D}_{3}\) a pour coefficient directeur 3	D. La droite \(\mathrm{D}_{4}\) a pour équation \(y=x+1\)

Question 5

Soit \(\mathcal{C}_{f}\) la courbe représentative de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=2x^{2}-3x+1\).

Parmi les quatre points suivants, lequel appartient à \(\mathcal{C}_{f}\) ?

A. \(\mathrm{E}(-1 ; 2)\)

B. \(\mathrm{H}(-3 ; 28)\)

C. \(\mathrm{G}(2 ; 1)\)

D. \(\mathrm{K}(3 ; 4)\)

Question 6

On considère le nombre \(E=\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\right) \times \dfrac{2}{5}\). Une écriture simplifiée de \(E\) est :

A. \(\dfrac{4}{25}\)

B. \(\dfrac{1}{3}\)

C. \(\dfrac{2}{30}\)

D. \(\dfrac{4}{5}\)

Question 7

Le prix d'un pantalon a augmenté de \(10\,\%\) puis a baissé de \(20\,\%\).

Quelle évolution globale a subi le prix du pantalon ?

A. une baisse de \(15\,\%\)	B. une augmentation de \(8,8\,\%\)
C. une baisse de \(12\,\%\)	D. une baisse de \(10\,\%\)

Question 8

L'accélération gravitationnelle \(g\) (en \(\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}\)) d'un astre est donnée par la formule

\[g=\dfrac{Gm}{r^{2}}\]

où \(G\) est la constante gravitationnelle universelle (en \(\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}\)), \(m\) est la masse de l'astre (en kg) et \(r\) le rayon de l'astre (en m).

L'expression permettant, à partir de cette formule, d'exprimer le rayon \(r\) est :

A. \(r=\dfrac{Gm}{g^{2}}\)

B. \(r=\sqrt{Gmg}\)

C. \(r=\sqrt{\dfrac{Gm}{g}}\)

D. \(r=\sqrt{\dfrac{g}{Gm}}\)

Méthodes de cours

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul :

\[A\times B=0 \iff A=0 \text{ ou } B=0.\]

Tu résous donc deux équations du premier degré séparément, et l'ensemble \(S\) contient les deux solutions.

💡 Le piège est le signe : \(x+4=0\) donne \(x=-4\), pas \(x=4\). Vérifie tes deux valeurs en les réinjectant dans le produit, ça prend cinq secondes.

Le dé est équilibré, donc les six issues sont équiprobables :

\[P(\text{évènement})=\dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}.\]

💡 « Strictement supérieur à 4 » exclut le 4. Compte les faces favorables sur tes doigts avant de conclure, puis simplifie la fraction : les quatre réponses proposées sont toutes sous forme irréductible.

Les quatre règles à connaître par cœur :

\[a^{m}\times a^{n}=a^{m+n},\quad \dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n},\quad \left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\times n},\quad a^{m}\times b^{m}=(ab)^{m}.\]

Teste chaque proposition en ramenant les deux membres à la même base.

💡 Deux pièges classiques ici : dans \(a^{m}\times b^{m}\) l'exposant ne se multiplie pas, il reste \(m\) ; et au numérateur \(3=3^{1}\), pas \(3^{0}\). Attention aussi aux soustractions d'exposants négatifs : \(-2-8\) n'est pas \(-6\).

Trois cas à distinguer : une droite verticale a une équation de la forme \(x=k\) et pas de coefficient directeur ; une droite horizontale a pour équation \(y=k\) et un coefficient directeur nul ; sinon \(y=mx+p\) avec

\[m=\dfrac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}.\]

Pour chaque affirmation, repère deux points à coordonnées entières sur la droite concernée et calcule.

💡 Ne confonds pas \(x=3\) et \(y=3\) : la première est verticale, la seconde horizontale. Et une droite « qui monte » a un coefficient directeur positif, une droite « qui descend » un coefficient négatif — ce seul réflexe élimine déjà une affirmation.

Le point \(\mathrm{M}(a ; b)\) appartient à \(\mathcal{C}_{f}\) si et seulement si \(f(a)=b\). Tu calcules donc l'image de l'abscisse et tu la compares à l'ordonnée annoncée.

💡 Le piège est le carré d'un nombre négatif : \(2\times(-3)^{2}=2\times 9=18\) et non \(-18\). Mets systématiquement les parenthèses quand tu remplaces \(x\) par une valeur négative, et n'oublie pas que \(-3x\) devient \(+9\) dans ce cas.

Une somme de fractions demande un dénominateur commun ; un produit se fait numérateur par numérateur et dénominateur par dénominateur :

\[\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+cb}{bd},\qquad \dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}.\]

Respecte les priorités : la parenthèse d'abord, la multiplication ensuite, puis simplifie.

💡 On n'additionne jamais les numérateurs et les dénominateurs entre eux : \(\frac12+\frac13\neq\frac25\). Une des réponses proposées n'est d'ailleurs pas simplifiée jusqu'au bout — pense à réduire avant de choisir.

Une hausse de \(t\,\%\) correspond au coefficient multiplicateur \(1+\frac{t}{100}\), une baisse de \(t\,\%\) au coefficient \(1-\frac{t}{100}\). Pour deux évolutions successives, on multiplie les coefficients :

\[\mathrm{CM}_{\text{global}}=\mathrm{CM}_{1}\times \mathrm{CM}_{2},\qquad t_{\text{global}}=\left(\mathrm{CM}_{\text{global}}-1\right)\times 100.\]

💡 Les taux ne s'additionnent pas : \(+10\,\%\) puis \(-20\,\%\) ne fait pas \(-10\,\%\). Et si le coefficient global est inférieur à 1, l'évolution est une baisse — le signe du résultat te dit quel mot employer.

On manipule la formule comme une équation : ici \(r^{2}\) est au dénominateur, on commence donc par le faire remonter (produit en croix), ce qui isole \(r^{2}\). Comme \(r\) est un rayon, \(r>0\), et alors

\[r^{2}=K \iff r=\sqrt{K}.\]

💡 La racine carrée porte sur tout le quotient, et \(g\) se retrouve au dénominateur, pas au numérateur. Si tu hésites entre deux propositions, teste avec des valeurs simples (\(G=m=1\), \(g=4\)) : une seule redonne la formule de départ.

Exercice 1 (4 points)

Un joueur participe à un jeu. Il dispose d'une pièce de monnaie équilibrée et de deux urnes A et B qui contiennent chacune des jetons dorés et des jetons argentés.

Il doit commencer par lancer la pièce de monnaie.

S'il obtient le côté pile, il pioche un jeton dans l'urne A. Il a alors \(60\,\%\) de chances de tirer un jeton doré.
S'il obtient le côté face, il pioche un jeton dans l'urne B. Il a alors \(80\,\%\) de chances de tirer un jeton argenté.

On considère l'expérience aléatoire qui consiste à lancer la pièce de monnaie puis à tirer un jeton dans une des deux urnes.

On considère les évènements suivants :

A : le joueur pioche dans l'urne A ;
B : le joueur pioche dans l'urne B ;
D : le jeton obtenu est doré ;
\(\overline{\mathrm{D}}\) : le jeton obtenu est argenté.

Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
Calculer \(P\big(A \cap D\big)\), puis interpréter le résultat obtenu.
Montrer que \(P(D)=0,4\).
Le joueur a obtenu un jeton doré.
Quelle est la probabilité qu'il l'ait pioché dans l'urne B ?

Méthodes de cours

Deux niveaux : au premier, l'urne choisie (A ou B) ; au second, la couleur du jeton (D ou \(\overline{\mathrm{D}}\)) sur chacune des deux branches. Les probabilités du second niveau sont des probabilités conditionnelles, notées \(P_{A}(D)\), \(P_{B}(D)\)…

La règle de contrôle : la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut toujours 1.

💡 Attention, l'énoncé ne donne pas les deux urnes de la même façon : pour A c'est la probabilité d'un jeton doré, pour B celle d'un jeton argenté. Il faut donc passer au complémentaire d'un côté avant de compléter l'arbre. La pièce est équilibrée : les deux branches de départ valent \(0,5\).

La probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités portées par ses branches :

\[P(A\cap D)=P(A)\times P_{A}(D).\]

Pour l'interprétation, reformule l'intersection avec des mots du contexte : « la probabilité que le joueur pioche dans l'urne A et obtienne un jeton doré », et convertis en pourcentage.

💡 \(P(A\cap D)\) n'est pas \(P_{A}(D)\) : dans le premier cas on ne sait rien du lancer de pièce, dans le second on sait déjà qu'on pioche dans A. La question demande explicitement une interprétation — une ligne de calcul seule ne vaut pas tous les points.

Les évènements \(A\) et \(B\) forment une partition de l'univers (le joueur pioche dans une urne et une seule). Donc :

\[P(D)=P(A\cap D)+P(B\cap D)=P(A)\times P_{A}(D)+P(B)\times P_{B}(D).\]

Autrement dit : on additionne tous les chemins de l'arbre qui aboutissent à D.

💡 Le terme \(P_{B}(D)\) est celui que tu as dû reconstituer à la question 1 par passage au complémentaire — c'est là que le sujet t'attend. Vérifie que tu retrouves bien la valeur \(0,4\) annoncée par l'énoncé : sinon, c'est cette branche-là qu'il faut corriger.

On cherche la probabilité de l'urne sachant la couleur, c'est-à-dire une probabilité qui remonte l'arbre :

\[P_{D}(B)=\dfrac{P(B\cap D)}{P(D)}.\]

Le numérateur se lit sur un chemin de l'arbre, le dénominateur vient d'être calculé à la question 3.

💡 Ne réponds surtout pas \(P_{B}(D)\) : la phrase « le joueur a obtenu un jeton doré » est la condition, donc D passe en indice. Un bon réflexe de contrôle : \(P_{D}(A)+P_{D}(B)=1\).

Exercice 2 (5 points)

On injecte à un patient un médicament. Après l'injection, on mesure la concentration de ce médicament dans le sang, en grammes par litre (g/L), pendant 13 heures.

Cette concentration est modélisée par la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([0 ; 13]\) par :

\(f(t)=\left(t^{2}+t+1\right)\mathrm{e}^{-t}\) où \(t\) représente le nombre d'heures écoulées depuis l'injection.

Déterminer \(f(0)\) et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
1. Justifier que pour tout réel \(t\) dans \([0 ; 13]\), on a : \(f'(t)=t(-t+1)\mathrm{e}^{-t}\).
2. Étudier le signe de \(t(-t+1)\) sur \([0 ; 13]\).
3. En déduire le tableau de variations de \(f\) sur \([0 ; 13]\).
  Il n'est pas demandé de calculer les images.
On estime que le médicament n'est plus actif lorsque sa concentration est strictement inférieure à 0,1 g/L. Il convient alors de faire une nouvelle injection du médicament. En utilisant le tableau de valeurs approchées ci-dessous, déterminer le nombre d'heures maximal \(t_{0}\) (\(t_{0}\) est un entier naturel) pendant lequel le médicament reste actif.

\(t\)	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
\(f(t)\)	0,647	0,385	0,209	0,107	0,052	0,025	0,011	0,005	0,002	0,001	0

Méthodes de cours

Calcul direct d'une image : tu remplaces \(t\) par \(0\), en te souvenant que \(\mathrm{e}^{0}=1\).

Pour l'interprétation, traduis les deux variables dans le contexte : \(t=0\) est l'instant de l'injection, et \(f(t)\) est une concentration en g/L.

💡 La phrase d'interprétation vaut des points : elle doit contenir l'instant (« juste après l'injection ») et l'unité (g/L). Une valeur seule ne suffit pas.

\(f\) est de la forme \(u\times v\) avec \(u(t)=t^{2}+t+1\) et \(v(t)=\mathrm{e}^{-t}\) :

\[(uv)'=u'v+uv',\qquad \left(\mathrm{e}^{-t}\right)'=-\mathrm{e}^{-t}.\]

Une fois les deux termes écrits, tu mets \(\mathrm{e}^{-t}\) en facteur et tu réduis le crochet.

💡 Le signe moins de \(\left(\mathrm{e}^{-t}\right)'\) est l'erreur numéro un du chapitre. Comme l'énoncé te donne la forme à obtenir, développe le crochet jusqu'au bout : les termes en \(t\) et les constantes doivent disparaître, et il ne reste que \(-t^{2}+t\), qu'il faut ensuite factoriser par \(t\).

On étudie séparément le signe de chaque facteur, puis on applique la règle des signes dans un tableau. Un facteur affine \(at+b\) s'annule en \(-\frac{b}{a}\) et est du signe de \(a\) après cette racine.

💡 L'intervalle d'étude est \([0 ; 13]\) : le facteur \(t\) y est positif (nul seulement en 0), donc le signe du produit est en réalité imposé par \(-t+1\), dont le coefficient directeur est négatif. N'invente pas de colonne pour \(t<0\), elle est hors sujet ici.

Le lien de cours : si \(f'\geqslant 0\) sur un intervalle alors \(f\) y est croissante, si \(f'\leqslant 0\) elle y est décroissante. Comme \(\mathrm{e}^{-t}>0\) pour tout réel \(t\), \(f'(t)\) a exactement le signe trouvé à la question précédente.

💡 Écris la phrase « pour tout \(t\), \(\mathrm{e}^{-t}>0\) donc \(f'(t)\) est du signe de \(t(-t+1)\) » : c'est elle qui est attendue, pas seulement le tableau. Même si les images ne sont pas demandées, le tableau doit comporter les trois bornes et les flèches.

Le médicament reste actif tant que \(f(t)\geqslant 0,1\). Comme \(f\) est décroissante sur la fin de l'intervalle, le seuil n'est franchi qu'une seule fois : tu parcours la ligne du tableau et tu repères le dernier entier dont l'image reste au-dessus de \(0,1\).

💡 Compare les décimales avec soin : \(0,107\) est bien supérieur à \(0,1\) (et \(0,052\) inférieur). Le mot « strictement » de l'énoncé porte sur l'inactivité — l'égalité à \(0,1\) compterait donc encore comme actif. Justifie ta réponse en citant les deux valeurs qui encadrent le seuil.

Exercice 3 (5 points) — Partie A

Les activités d'une association sont financées grâce à des donateurs.

On réalise une estimation du nombre de donateurs de la manière suivante.

Chaque année,

\(80\,\%\) des donateurs de l'année précédente renouvellent leur don ;
300 nouveaux donateurs effectuent un don.

En 2025, l'association comptait \(1\,000\) donateurs.

Pour tout entier naturel \(n\), on modélise par \(u_{n}\) le nombre de donateurs pour l'année \(2025+n\).

Ainsi, on a \(u_{0}=1\,000\).

1. Déterminer le nombre de donateurs prévu en 2026.
2. Justifier que pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_{n+1}=0,8\,u_{n}+300\).
On donne \(u_{5}\approx 1\,336\). Que représente cette valeur dans le contexte de l'exercice ?
On considère la suite d'instructions Python ci-dessous :
u=1000
i=0
while u<=1400:
u=0.8*u + 300
i=i+1

À la fin de l'exécution de ce script, la variable i contient la valeur 8.

Comment peut-on l'interpréter dans le cadre de l'exercice ?

Méthodes de cours

Deux étapes bien distinctes : les anciens donateurs qui restent (coefficient multiplicateur \(0,8\) pour une conservation de \(80\,\%\)), puis les nouveaux qui s'ajoutent.

💡 Les 300 nouveaux ne sont pas un pourcentage : on les ajoute après avoir appliqué le coefficient, on ne les multiplie jamais. Et 2026 correspond à \(u_{1}\), pas à \(u_{0}\).

Tu reprends le raisonnement de la question précédente en remplaçant l'année 2025 par l'année \(2025+n\) : \(u_{n}\) donateurs, dont \(80\,\%\) renouvellent, plus 300 nouveaux, donnent l'effectif de l'année suivante.

C'est une suite arithmético-géométrique : elle n'est ni arithmétique ni géométrique, d'où le changement de suite de la partie B.

💡 Commence ta justification par « pour tout entier naturel \(n\) » et rédige en français, pas seulement en calcul : c'est une question de modélisation, le correcteur attend la phrase qui relie \(80\,\%\) au coefficient \(0,8\).

Un indice se traduit toujours par une année via la relation donnée dans l'énoncé : le terme \(u_{n}\) concerne l'année \(2025+n\).

💡 Le décalage d'indice est le piège de toutes les questions de ce type : \(u_{5}\) n'est pas l'année 2030 par hasard, calcule \(2025+5\). Précise aussi qu'il s'agit d'un nombre de donateurs (donc un entier, d'où l'arrondi) prévu par le modèle.

Dans une boucle while, on répète tant que la condition est vraie. Ici chaque tour applique la relation de récurrence à u et incrémente le compteur i : à la sortie, u est le premier terme qui ne vérifie plus la condition, et i compte le nombre de tours effectués, c'est-à-dire le rang atteint.

💡 La condition est u<=1400 : on sort donc dès que le nombre de donateurs dépasse strictement 1400. Ton interprétation doit contenir l'année (\(2025+i\)) et pas seulement le rang — et le mot « pour la première fois ».

Exercice 3 (5 points) — Partie B

On considère la suite \(\left(v_{n}\right)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(v_{n}=u_{n}-1\,500\).

Aide au calcul
\(\dfrac{1200}{0,8}=1\,500\) \(0,8\times 1\,500=1\,200\)

Démontrer que \(\left(v_{n}\right)\) est une suite géométrique.
Préciser sa raison et son premier terme.
1. Exprimer \(v_{n}\) en fonction de \(n\).
2. En déduire, pour tout entier naturel \(n\), que : \(u_{n}=1\,500-500\times 0,8^{n}\).

Méthodes de cours

Il faut exhiber un réel \(q\) tel que \(v_{n+1}=q\times v_{n}\) pour tout \(n\). La méthode est toujours la même : pars de \(v_{n+1}=u_{n+1}-1\,500\), remplace \(u_{n+1}\) par son expression de la partie A, puis factorise pour faire réapparaître \(u_{n}-1\,500\), c'est-à-dire \(v_{n}\).

Le premier terme s'obtient ensuite en calculant \(v_{0}=u_{0}-1\,500\).

💡 L'encadré « Aide au calcul » est là pour la factorisation : c'est \(0,8\) qu'il faut mettre en facteur dans \(0,8\,u_{n}-1\,200\). Vérifier sur deux ou trois termes ne démontre rien — le calcul littéral est obligatoire. Et ne t'étonne pas si \(v_{0}\) est négatif, c'est normal.

Le cours donne directement, pour une suite géométrique de raison \(q\) et de premier terme \(v_{0}\) :

\[v_{n}=v_{0}\times q^{\,n}.\]

💡 Attention à l'exposant : c'est \(q^{n}\) quand on part de \(v_{0}\), et \(q^{n-1}\) seulement si la suite commence à \(v_{1}\). Garde le signe de \(v_{0}\) devant la puissance, il ne s'évapore pas.

La définition \(v_{n}=u_{n}-1\,500\) se retourne en \(u_{n}=v_{n}+1\,500\). Tu remplaces alors \(v_{n}\) par l'expression trouvée et tu ordonnes le résultat.

💡 C'est le signe de \(v_{0}\) qui produit le \(-500\) de la formule annoncée : si tu obtiens \(+500\), c'est que tu as calculé \(1\,500-u_{0}\) au lieu de \(u_{0}-1\,500\). Contrôle final : \(n=0\) doit te redonner \(1\,000\).

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

Épreuve anticipée de mathématiques — Polynésie4 septembre 2026 — Voie générale, avec spécialité

Première partie : automatismes — QCM (6 points)

Méthodes de cours

Exercice 1 (4 points)

Méthodes de cours

Exercice 2 (5 points)

Méthodes de cours

Exercice 3 (5 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 3 (5 points) — Partie B

Méthodes de cours

Épreuve anticipée de mathématiques — Polynésie
4 septembre 2026 — Voie générale, avec spécialité