Guide de résolution — EAM Métropole Technologique 11 septembre 2026

Automatismes — QCM (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.

Question 1. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x-1)^2-8\).

La forme développée de l'expression \(f(x)\) est :

\(x^2-2x-7\)
\(x^2-7\)
\(x^2-9\)
\(x^2-2x-9\)

Question 2. Le prix de revente d'un véhicule neuf a baissé de \(20\,\%\) la première année puis de \(10\,\%\) la deuxième année. En deux ans, le prix de ce véhicule a :

baissé de \(30\,\%\)
baissé de \(72\,\%\)
augmenté de \(72\,\%\)
baissé de \(28\,\%\)

Question 3. On donne ci-dessous la courbe représentative \(\mathcal{C}_f\) d'une fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([-6\,;7]\).

On considère l'équation \(f(x) = 0\).

On peut affirmer que :

l'équation admet deux solutions positives
l'équation admet exactement deux solutions
l'équation n'admet pas de solution
l'équation admet exactement une solution positive

Question 4. Soit \((d)\) la droite représentée dans le repère orthonormé ci-dessous.

L'équation réduite de la droite \((d)\) est :

\(y = 3x+6\)
\(y = -2x+3\)
\(y = \dfrac{1}{2}x+6\)
\(y = -\dfrac{1}{2}x+3\)

Question 5. Le diagramme en barres ci-dessous donne la répartition des hébergements collectifs de tourisme depuis 2013 (en millions de nuitées).

Source : INJEP, Ministère des sports, CRÉDOC : Baromètre national des pratiques sportives 2018. Champ : ensemble de la population de 15 ans et plus résidant en France DROM compris.

L'année où le nombre de nuitées en camping a été le plus faible est :

\(2020\)
\(2016\)
\(2021\)
\(2014\)

Question 6. On considère le nombre \(N = 0,026 \times 10^{-3}\).

\(N\) est égal à :

\(2,6 \times 10^{-1}\)
\(0,0026 \times 10^{-4}\)
\(2,6 \times 10^{-5}\)
\(26\)

Question 7. Dans un repère orthonormé on considère les points \(A(5\,;15)\) et \(B(7\,;-5)\). Le coefficient directeur de la droite \((AB)\) est :

\(-10\)
\(-0,1\)
\(\dfrac{5}{6}\)
\(0,1\)

Question 8. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 4x+3\). Son tableau de signes est :

\(f(x)<0\) sur \(\left]-\infty\,;\frac34\right[\) et \(f(x)>0\) sur \(\left]\frac34\,;+\infty\right[\)
\(f(x)>0\) sur \(\left]-\infty\,;-\frac34\right[\) et \(f(x)<0\) sur \(\left]-\frac34\,;+\infty\right[\)
\(f(x)>0\) sur \(]-\infty\,;4[\) et \(f(x)<0\) sur \(]4\,;+\infty[\)
\(f(x)<0\) sur \(\left]-\infty\,;-\frac34\right[\) et \(f(x)>0\) sur \(\left]-\frac34\,;+\infty\right[\)

Question 9. On souhaite exprimer \(F = \dfrac{1}{2+\frac{5}{6}}\) sous la forme d'une fraction irréductible.

\(F = \dfrac{6}{17}\)
\(F = \dfrac{12}{17}\)
\(F = \dfrac{6}{7}\)
\(F = -\dfrac{17}{6}\)

Question 10. On considère l'équation suivante : \((3x+1)(x-5) = 0\).

Soit \(S\) l'ensemble des solutions de cette équation.

\(S = \left\{-\dfrac{1}{3}\,;5\right\}\)
\(S = \left\{-5\,;\dfrac{1}{3}\right\}\)
\(S = \{-5\,;-3\}\)
\(S = \left\{\dfrac{1}{3}\,;5\right\}\)

Question 11. On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur l'intervalle \([-5\,;5]\). On donne ci-dessous, dans un repère orthonormé, la représentation graphique \(\mathcal{C}_f\) de la fonction \(f\) et la représentation graphique \(\mathcal{C}_g\) de la fonction \(g\).

L'ensemble des solutions de l'inéquation \(f(x) \leqslant g(x)\) est :

\(S = [-5\,;-3] \cup [4\,;5]\)
\(S = \left]-3\,;2\right[\)
\(S = [-5\,;-3]\)
\(S = [-5\,;-3] \cup [2\,;5]\)

Question 12. On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([-5\,;6]\) et \(\mathcal{C}_f\) sa représentation graphique dans le repère ci-dessous.

Le tableau de variations de la fonction \(f\) est :

\(f\) est croissante sur \([-5\,;0]\) (avec \(f(0)=2,5\)), puis décroissante sur \([0\,;4]\) (avec \(f(4)=-6\)), puis croissante sur \([4\,;6]\) (avec \(f(6)=0\)).
\(f\) est croissante sur \([-5\,;-2]\) (avec \(f(-2)=5\)), puis décroissante sur \([-2\,;4]\) (avec \(f(4)=-6\)), puis croissante sur \([4\,;6]\) (avec \(f(6)=0\)).
Ce tableau échange les rôles de \(x\) et de \(f\) : la ligne du haut (habituellement les abscisses) prend les valeurs \(0\,;5\,;-6\,;0\), et la ligne du bas (habituellement les images) prend les valeurs \(-5\,;-2\,;4\,;6\).
\(f\) est croissante sur \([-5\,;1]\) (avec \(f(1)=3\)), puis décroissante sur \([1\,;6]\) (avec \(f(6)=0\)).

Méthodes de cours

\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\]

Développe d'abord \((x-1)^2\), puis n'oublie pas de soustraire encore \(8\).

Une baisse de \(t\,\%\) correspond au coefficient multiplicateur \(1-\dfrac{t}{100}\). Pour deux évolutions successives, le coefficient global est le produit des deux coefficients, pas leur somme.

💡 Les pourcentages successifs ne s'additionnent jamais directement : \(20\,\%+10\,\%\) n'est pas la bonne réponse. Calcule le produit des deux coefficients multiplicateurs, puis compare le résultat à \(1\) pour conclure en pourcentage.

Les solutions de \(f(x)=0\) sont les abscisses des points où la courbe coupe l'axe des abscisses.

💡 Compte toutes les intersections avec l'axe des abscisses sur l'intervalle de définition, puis regarde parmi elles combien ont une abscisse positive : les quatre propositions jouent sur cette distinction.

L'ordonnée à l'origine \(b\) se lit où la droite coupe l'axe des ordonnées ; le coefficient directeur \(a\) se retrouve avec un second point, via \(a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\).

💡 Vérifie le signe de la pente (la droite monte ou descend ?) avant de choisir entre les deux propositions ayant la même ordonnée à l'origine.

Dans une barre empilée, la hauteur d'un segment ne se lit pas depuis l'axe horizontal, mais comme la différence entre le sommet de ce segment et le sommet du segment précédent.

💡 Pour « Campings », il faut soustraire la hauteur du segment « Hôtels » (en dessous) du sommet du segment « Campings ». Ne te fie pas uniquement à l'année où le total (ou le segment « Hôtels ») est le plus faible : ce n'est pas forcément la même année.

L'écriture scientifique d'un nombre est de la forme \(a \times 10^n\) avec \(1 \leqslant |a| < 10\). Multiplier par \(10^{-3}\) revient à décaler la virgule de trois rangs vers la gauche.

\[a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.\]

💡 Une des propositions inverse le quotient \(\dfrac{\Delta x}{\Delta y}\) au lieu de \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) : vérifie bien lequel des deux écarts est au numérateur.

Une fonction affine \(f(x)=ax+b\) s'annule en \(x=-\dfrac{b}{a}\), et son signe dépend de celui de \(a\) : si \(a>0\), \(f\) est croissante donc négative avant sa racine et positive après ; si \(a<0\), c'est l'inverse.

💡 Calcule d'abord la racine exacte, puis le signe de \(a\) : les quatre propositions combinent une racine correcte ou non avec un ordre de signes correct ou non.

Réduis d'abord le dénominateur \(2+\dfrac{5}{6}\) au même dénominateur, puis prends l'inverse de la fraction obtenue.

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.

💡 Résous séparément \(3x+1=0\) et \(x-5=0\) : ne divise jamais par une expression contenant \(x\) sans avoir écarté le cas où elle s'annule.

Les solutions de \(f(x)\leqslant g(x)\) sont les abscisses des points où \(\mathcal{C}_f\) est en dessous ou sur \(\mathcal{C}_g\). Repère d'abord les points d'intersection des deux courbes.

💡 Les points marqués sur le graphique donnent directement les bornes des intervalles cherchés : pas besoin de les recalculer, seulement de déterminer entre quelles abscisses \(\mathcal{C}_f\) passe sous \(\mathcal{C}_g\).

Un tableau de variations liste, dans l'ordre croissant des abscisses, les valeurs où \(f\) change de sens de variation, avec la valeur de \(f\) à chacune de ces abscisses.

💡 Repère sur le graphique les abscisses des sommets et des creux de la courbe avant de regarder les quatre propositions : une des quatre inverse le rôle des deux lignes du tableau, une autre se trompe sur une des abscisses.

Exercice 2 (5 points)

Une maladie contagieuse se répand chez les bovins.

Afin de détecter cette maladie, un laboratoire élabore un test de dépistage.

Les essais de ce test sur un groupe témoin de \(1\,000\) bovins sont résumés dans le tableau suivant :

	Test positif à la maladie	Test négatif à la maladie	Total
Malade	\(180\)	\(20\)	\(200\)
Non malade	\(45\)	\(755\)	\(800\)
Total	\(225\)	\(775\)	\(1\,000\)

On choisit au hasard un bovin ayant participé à l'essai et on note :

\(M\) l'événement « le bovin est malade » ;
\(T\) l'événement « le test est positif ».

On exprimera tous les résultats sous forme décimale.

Montrer que la probabilité de l'événement \(M\) est \(0,2\).
Décrire par une phrase l'événement \(M \cap T\), puis calculer la probabilité de cet événement.
Calculer la probabilité \(P_M(T)\).
Un test est dit fiable si la probabilité de ne pas être atteint par la maladie sachant que le test est positif est inférieure ou égale à \(0,15\).
En se basant sur les résultats de cet essai, le test du laboratoire est-il fiable ? Justifier la réponse.
À présent, on choisit deux bovins parmi ceux ayant participé à l'essai. Le nombre de bovins est suffisamment grand pour considérer cette expérience comme un tirage avec remise. On souhaite déterminer la probabilité de l'événement \(A\) : « les deux bovins sont malades ».
1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
2. En déduire la probabilité de l'événement \(A\).

Méthodes de cours

Le bovin est choisi au hasard parmi les \(1\,000\) : \(P(M)=\dfrac{\text{effectif des malades}}{\text{effectif total}}\).

💡 C'est un « montrer que » : le calcul doit retomber exactement sur \(0,2\).

\(M \cap T\) se lit à l'intersection de la ligne « Malade » et de la colonne « Test positif » du tableau.

Sachant que le bovin est malade, on se restreint à la ligne « Malade » du tableau (\(200\) bovins), et on y calcule la proportion de tests positifs.

« Ne pas être malade sachant que le test est positif » se traduit par \(P_T(\overline{M})\) : on se restreint à la colonne « Test positif » (\(225\) bovins), et on y compte les non-malades.

💡 L'aide au calcul \(225 = 5 \times 45\) sert à simplifier la fraction \(\dfrac{45}{225}\) sans calculatrice : utilise-la plutôt que de poser une division longue.

Un tirage « avec remise » signifie que les deux tirages sont indépendants et identiques : les mêmes probabilités \(P(M)\) et \(P(\overline{M})\) apparaissent aux deux niveaux de l'arbre.

La probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.

Exercice 3 (5 points) — Partie A

Soit \(f\) la fonction définie pour tout nombre réel \(x\) par \(f(x) = (12x-480)(x-10)\).

Établir le tableau de signes de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

Méthodes de cours

Étudie le signe de chaque facteur séparément (chacun s'annule en un point), puis applique la règle des signes d'un produit dans un tableau.

💡 L'aide au calcul \(480=40\times12\) donne directement la racine de \(12x-480\) sans poser de division : \(12x=480 \iff x=40\).

Exercice 3 (5 points) — Partie B

On s'intéresse dans cette partie à une usine qui fabrique des tracteurs. Chaque mois elle en vend entre \(0\) et \(18\). On note \(x\) le nombre de tracteurs vendus par mois.

On modélise alors le bénéfice de cette entreprise, en centaines d'euros, par la fonction \(B\) définie sur l'intervalle \([0\,;18]\) par \(B(x) = 4x^3 - 300x^2 + 4\,800x - 10\,000\).

Calculer \(B(0)\).
On donne \(B(18) = 2\,528\). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
1. Pour tout réel \(x\) de l'intervalle \([0\,;18]\), calculer \(B'(x)\) puis montrer que \(B'(x) = f(x)\), où \(f\) est la fonction définie dans la partie A.
2. En déduire le tableau de variations de la fonction \(B\) sur l'intervalle \([0\,;18]\).
3. À l'aide du tableau de variations, déterminer combien de tracteurs l'entreprise doit produire et vendre afin d'obtenir un bénéfice maximal. Quelle sera la valeur de ce bénéfice maximal ?

Méthodes de cours

Remplace \(x\) par \(0\) dans l'expression de \(B\).

N'oublie pas l'unité précisée dans l'énoncé (des centaines d'euros) et reformule en euros si besoin.

Dérive terme à terme avec \((x^3)'=3x^2\), \((x^2)'=2x\). Pour montrer l'égalité avec \(f\), développe \(f(x)=(12x-480)(x-10)\) et compare les deux expressions.

Le signe de \(B'(x)=f(x)\) sur \([0\,;18]\) a déjà été établi dans la partie A : réutilise ce tableau, mais restreint-le à l'intervalle \([0\,;18]\).

💡 Vérifie si les deux racines de \(f\) trouvées en partie A appartiennent bien à \([0\,;18]\) : l'une des deux n'y appartient pas, ce qui simplifie le tableau.

Le bénéfice maximal correspond à la plus grande valeur du tableau de variations de la question précédente ; calcule \(B\) en cette valeur de \(x\) pour obtenir le bénéfice, en centaines d'euros puis en euros.

Exercice 4 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

On considère la suite arithmétique \((u_n)\) de raison \(r=5\) et telle que \(u_5=10\).
Affirmation : \(u_7 = 250\).
Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n = 2n^2+1\).
Affirmation : la suite \((u_n)\) est une suite géométrique.
Soit \(f\) la fonction définie pour tout nombre réel \(x\) par \(f(x) = 5x^2-2x+3\).
Affirmation : une équation de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d'abscisse \(1\) est donnée par :

\[y = 8x-2.\]
Avec la chaleur et la surpêche, une association de pêcheurs constate chaque année que le nombre de truites présentes dans l'étang de leur commune diminue de \(15\,\%\). À partir de 2024, pour enrayer ce phénomène, ils décident de réintroduire chaque année \(100\) truites dans l'étang. Pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) désigne le nombre de truites en \(2024+n\).
Affirmation : pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 0,15\,u_n + 100\).

Méthodes de cours

Dans une suite arithmétique de raison \(r\), on passe d'un terme au suivant en ajoutant \(r\) : \(u_{n+1}=u_n+r\).

💡 Calcule \(u_6\) puis \(u_7\) pas à pas plutôt que d'utiliser une formule toute faite : c'est plus sûr et ça évite de confondre avec une suite géométrique (dont le terme général utiliserait une puissance de \(r\), pas un multiple).

Une suite est géométrique lorsque le quotient \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) est constant. Pour écarter cette possibilité, il suffit de trouver deux quotients différents.

💡 Ne t'arrête pas aux deux premiers termes : deux quotients égaux ne suffisent pas à conclure. Calcule au moins trois quotients consécutifs avant de te prononcer.

L'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\) est \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).

💡 Calcule séparément \(f(1)\) et \(f'(1)\), puis remplace-les dans la formule avant de développer : une erreur fréquente est d'oublier le terme \(+f(a)\) après avoir développé \(f'(a)(x-a)\).

Une diminution de \(t\,\%\) correspond au coefficient multiplicateur \(1-\dfrac{t}{100}\), et non à \(\dfrac{t}{100}\) directement.

💡 Une diminution de \(15\,\%\) laisse \(85\,\%\) de la quantité initiale : compare soigneusement le coefficient de l'affirmation à celui que donne cette règle, avant d'ajouter le terme constant \(+100\).

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

EAM Métropole (série technologique)Session de remplacement 2026

Automatismes — QCM (6 points)

Méthodes de cours

Exercice 2 (5 points)

Méthodes de cours

Exercice 3 (5 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 3 (5 points) — Partie B

Méthodes de cours

Exercice 4 (4 points)

Méthodes de cours

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Session de remplacement 2026