Guide de résolution — EAM Métropole Spécialité 11 septembre 2026

Automatismes — QCM (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.
Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Question 1. Un prix, noté \(P\), baisse de \(3\,\%\). Le nouveau prix est égal à :

\(\dfrac{P}{0,70}\)
\(\dfrac{P}{1,03}\)
\(0,97 \times P\)
\(P - 0,97\)

Question 2. Une forme développée de \((3x-1)^2\) est :

\(9x^2+1\)
\(6x-2\)
\(3x^2-6x+1\)
\(9x^2-6x+1\)

Question 3. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = -5(x-1)(x+3)\).

La représentation graphique de la fonction \(f\) est :

Question 4. Parmi les quatre propositions suivantes, une seule est vraie. Laquelle ?

\(\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6} > 1\)
\(\dfrac{7}{9} > \dfrac{5}{7}\)
\(\dfrac{5}{3} < \dfrac{3}{5}\)
\(\dfrac{5}{8}-\dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{2}\)

Question 5. On donne ci-dessous la courbe représentative \(\mathcal{C}\) d'une fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([-4\,;10]\).

Avec la précision permise par le graphique, on peut affirmer que l'ensemble solution de l'inéquation \(f(x) \leqslant 10\) est :

\(S = [-1\,;8]\)
\(S = [-4\,;-3,2] \cup [-1\,;8] \cup [9,7\,;10]\)
\(S = [-3,2\,;-1,2] \cup [8\,;9,7]\)
\(S = \{-3,2\,;-1\,;8\,;9,7\}\)

Question 6. On considère un réel \(x\). Un élève a obtenu les notes suivantes :

Note	\(12\)	\(10\)	\(14\)	\(x\)
Coefficient	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(2\)

Quelle doit être la valeur du réel \(x\) pour que la moyenne pondérée de l'élève soit égale à \(14\) ?

\(11\)
\(14\)
\(17\)
\(20\)

Question 7. On considère un réel non nul \(a\). Une écriture simplifiée de \(\dfrac{(a^5)^2}{a^{-10}}\) est :

\(a^{20}\)
\(0\)
\(a^{-20}\)
\(1\)

Question 8. Dans un repère orthonormé, on considère une droite passant par les points de coordonnées \((0\,;-5)\) et \((15\,;0)\). Une équation de cette droite est :

\(y = \dfrac{1}{3}x-5\)
\(y = \dfrac{1}{3}x+5\)
\(y = 3x-5\)
\(y = 3x+5\)

Méthodes de cours

Une baisse de \(t\,\%\) revient à multiplier par le coefficient multiplicateur \(1-\dfrac{t}{100}\).

💡 Ne confonds pas « appliquer une baisse » (on multiplie) et « retrouver le prix avant une hausse » (on divise). Les options qui divisent répondent à une autre question que celle posée ici.

\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\]

Ici \(a=3x\) et \(b=1\) : n'oublie pas d'élever \(3x\) au carré (donc \(9x^2\), pas \(3x^2\)).

💡 Le piège classique est d'oublier le double produit \(-2ab\) : une des quatre propositions ne contient que les deux carrés.

Une fonction de la forme \(f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\) a pour racines \(r_1\) et \(r_2\), et sa parabole est tournée vers le haut si \(a>0\), vers le bas si \(a<0\).

Repère d'abord les racines de \(f\), puis le signe de \(a=-5\), pour éliminer les graphiques incompatibles.

💡 Deux graphiques peuvent partager les mêmes racines : un seul détail (le sens de la parabole, ou le fait qu'il s'agisse bien d'une parabole et non d'une courbe à trois branches) permet de trancher. Vérifie aussi que le graphique choisi est bien une parabole (un seul sommet), pas une courbe à trois racines.

Pour comparer deux fractions en toute sécurité, réduis-les au même dénominateur, ou passe par leur écriture décimale si les calculs restent simples.

💡 Teste les quatre propositions une par une plutôt que de comparer « à l'œil » : sur ce type de question, une seule affirmation est vraie, les trois autres sont volontairement proches du résultat correct.

Les solutions de \(f(x)\leqslant 10\) sont les abscisses des points de la courbe situés sur ou sous la droite horizontale \(y=10\).

Repère les intersections de la courbe avec cette droite, puis identifie les intervalles où la courbe reste en dessous.

💡 Ne confonds pas les solutions de l'inéquation (des intervalles) avec celles de l'équation \(f(x)=10\) (des points isolés) : une des quatre propositions ne contient que quatre valeurs isolées.

\[\overline{x} = \frac{\text{somme des (note} \times \text{coefficient)}}{\text{somme des coefficients}}.\]

Le coefficient total ici vaut \(1+1+1+2=5\), et la note \(x\) compte double dans la somme du numérateur.

💡 Pose l'équation \(\dfrac{12+10+14+2x}{5}=14\) et résous-la : c'est plus sûr que de tester les quatre valeurs une par une.

\[(a^m)^n = a^{mn} \qquad \text{et} \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}.\]

💡 Soustraire un exposant négatif revient à l'ajouter : \(m-(-10)=m+10\). C'est l'erreur la plus fréquente sur ce type de question.

Le coefficient directeur est \(a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\), et l'ordonnée à l'origine \(b\) se lit directement si l'un des deux points a pour abscisse \(0\).

💡 Ici le point \((0\,;-5)\) donne directement \(b=-5\) : ne recalcule pas \(b\) par une méthode plus longue. Vérifie ensuite ton résultat avec le second point.

Exercice 2 (5 points)

Un médecin reçoit de nombreux patients. On dispose des informations suivantes :

\(70\,\%\) des patients sont des enfants, les autres sont des adultes ;
Lorsque le patient est un enfant, le médecin prescrit des médicaments dans \(20\,\%\) des cas ;
Lorsque le patient est un adulte, le médecin prescrit des médicaments dans \(40\,\%\) des cas.

On choisit au hasard un patient reçu par ce médecin.

On considère les événements suivants :

\(E\) : « le patient est un enfant » ;
\(M\) : « le médecin prescrit des médicaments ».

Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.
Calculer la probabilité \(P(\overline{E} \cap M)\) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
Montrer que la probabilité que le médecin prescrive des médicaments au patient est égale à \(0,26\).
Les événements \(E\) et \(M\) sont-ils indépendants ? Justifier.
On sait que le médecin a prescrit des médicaments au patient.
Quelle est la probabilité que le patient soit un enfant ? On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

Méthodes de cours

La somme des probabilités portées par les branches issues d'un même nœud vaut toujours \(1\).

💡 Les deux données de l'énoncé (\(20\,\%\) et \(40\,\%\)) sont des probabilités conditionnelles : elles se placent au second niveau, pas au premier.

La probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin : \(P(\overline{E}\cap M)=P(\overline{E})\times P_{\overline{E}}(M)\).

💡 L'interprétation attendue porte sur le contexte (patients, médicaments) : reformule la probabilité calculée en une phrase avec un pourcentage.

\(E\) et \(\overline{E}\) forment une partition de l'univers, donc \(P(M)=P(E\cap M)+P(\overline{E}\cap M)\).

💡 C'est un « montrer que » : le calcul doit retomber exactement sur \(0,26\). Si ce n'est pas le cas, relis l'énoncé avant de continuer, l'erreur vient d'une confusion entre les deux branches.

\(E\) et \(M\) sont indépendants si et seulement si \(P(E\cap M)=P(E)\times P(M)\), ce qui équivaut à \(P_E(M)=P(M)\).

💡 La comparaison la plus rapide : compare directement \(P_E(M)\) (donnée dans l'énoncé) à \(P(M)\) (trouvé à la question précédente), sans repasser par le produit.

La question porte sur \(P_M(E)\), avec la formule \(P_M(E)=\dfrac{P(E\cap M)}{P(M)}\).

💡 Ne confonds pas \(P_M(E)\) (cherché ici) avec \(P_E(M)\) (donné dans l'énoncé) : ce sont deux probabilités conditionnelles différentes. Simplifie la fraction obtenue jusqu'à la forme irréductible demandée.

Exercice 3 (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.
Les trois questions sont indépendantes.

On considère la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \[v_n = 3 \times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n.\]
Affirmation : la suite \((v_n)\) est croissante.
Affirmation : il n'existe pas de réel \(x\) vérifiant \(x(1-x) = 4\).
On considère un rectangle ABCD tel que \(AB = 4\) et \(AD = 3\).
Les points K et L sont tels que :

\[\vec{AK} = \dfrac{3}{4}\vec{AB} \quad \text{et} \quad \vec{CL} = \dfrac{1}{3}\vec{CB}.\]

Affirmation : le produit scalaire \(\vec{KD} \cdot \vec{KL}\) est égal à \(3\).

Méthodes de cours

Pour étudier le sens de variation, étudie le signe de \(v_{n+1}-v_n\), ou compare directement la raison à \(1\) lorsque tous les termes sont positifs.

💡 Une suite géométrique de premier terme positif et de raison dans \(]0\,;1[\) est toujours décroissante : pas besoin de calcul long, mais rédige quand même la comparaison des deux premiers termes pour justifier.

Ramène l'équation à la forme \(ax^2+bx+c=0\), puis calcule le discriminant \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta<0\), l'équation n'a aucune solution réelle.

💡 Développe d'abord \(x(1-x)\) et regroupe tous les termes du même côté avant de calculer \(\Delta\) : une erreur de signe à cette étape change complètement la conclusion.

Place-toi dans un repère orthonormé adapté à la figure (par exemple d'origine A, avec \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\) comme vecteurs de base), calcule les coordonnées de K, L, puis des vecteurs \(\vec{KD}\) et \(\vec{KL}\), et utilise \(\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\cdot\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=xx'+yy'\).

💡 Le repère n'est pas orthonormé au sens « axe des x et axe des y de même unité » par défaut ici : ABCD est un rectangle, donc \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\) sont bien orthogonaux, mais choisis l'unité de longueur \(AB\) ou \(AD\) et reste cohérent sur les deux axes.

Exercice 4 (4 points)

Une montgolfière décolle d'un village de montagne.

L'évolution de l'altitude de cette montgolfière en fonction du temps peut être modélisée par la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([0\,;5]\) par

\[f(t) = \frac{4t+1}{\mathrm{e}^t},\]

où \(f(t)\) désigne l'altitude, en kilomètres, par rapport au niveau de la mer, et \(t\) désigne le temps, en heures, écoulé depuis le décollage.

Déterminer l'altitude de la montgolfière au moment du décollage.
On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur l'intervalle \([0\,;5]\) et on note \(f'\) sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout réel \(t\) de l'intervalle \([0\,;5]\), on a \[f'(t) = \frac{3-4t}{\mathrm{e}^t}.\]
Étudier le signe de \(f'(t)\) sur l'intervalle \([0\,;5]\).
En déduire que la fonction \(f\) admet un maximum pour \(t = \dfrac{3}{4}\).
On sait que la montgolfière a décollé à \(10\)h\(50\).
À quelle heure commence-t-elle à perdre de l'altitude ?

Méthodes de cours

L'altitude au décollage correspond à \(t=0\) : calcule simplement \(f(0)\), en te souvenant que \(\mathrm{e}^0=1\).

\(f\) est un quotient \(\dfrac{u}{v}\) avec \(u(t)=4t+1\) et \(v(t)=\mathrm{e}^t\). On utilise \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\), en se souvenant que la dérivée de \(t\mapsto \mathrm{e}^t\) est elle-même.

💡 Après avoir posé \(u'\) et \(v'\), factorise \(\mathrm{e}^t\) au numérateur avant de simplifier par \(\left(\mathrm{e}^t\right)^2\) : c'est ce qui fait apparaître directement \(\dfrac{3-4t}{\mathrm{e}^t}\), le résultat annoncé par l'énoncé.

Pour tout réel \(t\), \(\mathrm{e}^t>0\) : le signe de \(f'(t)\) est donc exactement celui de son numérateur \(3-4t\), une expression affine.

💡 Résous \(3-4t\geqslant 0\) pour trouver le point où \(f'\) change de signe, puis relie ce changement de signe (de positif à négatif) à l'existence d'un maximum : c'est le théorème du lien entre signe de la dérivée et variations.

La montgolfière perd de l'altitude dès que \(f\) devient décroissante, c'est-à-dire à partir de l'instant trouvé à la question précédente. Convertis cette durée exprimée en heures en minutes en multipliant par \(60\), puis ajoute-la à l'heure de décollage.

💡 Attention à l'addition d'heures et de minutes : si le total des minutes dépasse \(60\), il faut reporter une heure (par exemple, \(50+45=95\) minutes \(=1\)h\(35\)).

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

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Automatismes — QCM (6 points)

Méthodes de cours

Exercice 2 (5 points)

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Exercice 3 (5 points)

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Exercice 4 (4 points)

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