Guide de résolution — EAM Antilles-Guyane 12 juin 2026

Première partie : automatismes — QCM (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Question 1

Une forme factorisée de l'expression \(9x^2 - \dfrac{1}{9}\) est

A. \(\left(3x - \dfrac{1}{3}\right)^2\)	B. \(\left(3x - \dfrac{1}{3}\right)\left(3x + \dfrac{1}{3}\right)\)
C. \(\left(9x - \dfrac{1}{3}\right)^2\)	D. \(\left(9x - \dfrac{1}{3}\right)\left(9x + \dfrac{1}{3}\right)\)

Question 2

On considère la relation \(E = \dfrac{x - y}{zt}\).

Lorsque \(x = 3\), \(y = -2\), \(z = -3\), \(t = -4\), on a :

A. \(E = \dfrac{1}{12}\)

B. \(E = -\dfrac{5}{12}\)

C. \(E = \dfrac{5}{12}\)

D. \(E = -\dfrac{1}{12}\)

Question 3

On considère une fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([-5 ; 9]\).

On a représenté ci-contre sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

On note \(A = \dfrac{f(-4)}{f(-1)}\).

Laquelle de ces propositions est vraie ?

A. \(A = 0\)	B. \(A < 0\)
C. \(A > 0\)	D. On ne peut pas connaître le signe de \(A\).

Question 4

On considère l'inéquation sur \(\mathbb{R}\)

\[(I) \quad -2x + 2 \geqslant 0.\]

On note \(S\) l'ensemble des solutions de l'inéquation \((I)\).

On peut affirmer que

A. \(S = \left]-\infty ; 1\right]\)

B. \(S = \left[1 ; +\infty\right[\)

C. \(S = \left[-1 ; +\infty\right[\)

D. \(S = \left]-\infty ; -1\right]\)

Question 5

On considère ci-dessous le tableau de signes d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\).

Une expression possible de \(f(x)\) est

A. \(f(x) = (x+3)(2-x)\)	B. \(f(x) = (x+2)(x-3)\)
C. \(f(x) = (x-2)(x+3)\)	D. \(f(x) = (x+2)(3+x)\)

Question 6

Le prix d'un article baisse de 50 % puis augmente de 40 %.

Ces deux variations sont équivalentes à

A. une baisse de 0 %	B. une baisse de 70 %
C. une baisse de 10 %	D. une baisse de 30 %

Question 7

On s'intéresse aux adhérents d'une association.

On sait que 40 % d'entre eux sont des hommes et qu'il y a 30 femmes.

Le nombre total d'adhérents de cette association est égal à

A. 70

B. 40

C. 75

D. 50

Question 8

On considère un réel \(a\) quelconque, différent de 0.

Une seule de ces égalités est vraie. Laquelle ?

A. \(\dfrac{a^8}{a^{-5}} = a^3\)

B. \(\dfrac{a^{30}}{a^2} = a^{15}\)

C. \(\left(a^{10}\right)^3 = a^{13}\)

D. \(\dfrac{a \times a^5}{a^2} = a^4\)

Méthodes de cours

L'identité à reconnaître est \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

Écris chaque terme comme un carré : \(9x^2=(3x)^2\) et \(\dfrac19=\left(\dfrac13\right)^2\). C'est cette écriture qui fixe le \(a\) et le \(b\).

💡 Méthode imparable en QCM : développe mentalement chaque proposition. Une forme \((\,\cdot\,)^2\) fait apparaître un double produit en \(x\), qui n'existe pas dans \(9x^2-\dfrac19\) : les carrés se disqualifient seuls. Attention aussi à ne pas confondre \(9x^2\) et \((9x)^2\).

Remplace chaque lettre par sa valeur entre parenthèses, puis applique la règle des signes : le produit de deux négatifs est positif.

Traite séparément le numérateur \(x-y\) et le dénominateur \(zt\), puis conclus sur le signe du quotient.

💡 L'erreur classique est au numérateur : \(3-(-2)\) vaut \(3+2\), pas \(3-2\). Les quatre propositions se distinguent justement par ce détail et par le signe.

Aucune valeur exacte n'est demandée : seul le signe de \(A\) compte. Lis le signe de \(f(-4)\) et celui de \(f(-1)\) en regardant si la courbe est au-dessus ou en dessous de l'axe des abscisses.

Règle des signes pour un quotient : deux facteurs de même signe donnent un quotient positif, de signes contraires un quotient négatif.

💡 \(-4\) n'est pas un point marqué sur la courbe : place-toi entre \(-5\) et \(-3\) et regarde de quel côté de l'axe se trouve la courbe sur tout cet intervalle. Le quotient ne serait nul que si le numérateur l'était, ce qui n'arrive qu'aux abscisses où la courbe coupe l'axe.

Isole \(x\) en passant le terme constant de l'autre côté, puis divise par le coefficient de \(x\).

💡 Le piège est le signe du coefficient : ici on divise par \(-2\), donc l'inégalité change de sens. Vérification en dix secondes : teste \(x=0\) dans \(-2x+2\geqslant 0\) ; si \(0\) est solution, l'ensemble \(S\) doit le contenir, ce qui élimine la moitié des propositions.

Un produit de deux facteurs affines s'annule exactement aux valeurs qui annulent l'un des facteurs : les zéros du tableau donnent donc les racines attendues.

Les racines ne suffisent pas : il faut ensuite vérifier le signe sur un intervalle, car deux expressions opposées ont les mêmes racines mais des signes contraires.

💡 Repère d'abord les propositions dont les racines ne sont pas \(-3\) et \(2\) : elles tombent immédiatement. Pour départager les survivantes, calcule \(f(0)\) : le tableau impose son signe puisque \(0\) est entre les deux racines.

Une baisse de \(t\,\%\) correspond au coefficient multiplicateur \(1-\dfrac{t}{100}\), une hausse de \(t\,\%\) à \(1+\dfrac{t}{100}\).

Deux évolutions successives se composent en multipliant les coefficients : \(CM_{\text{global}}=CM_1\times CM_2\). On revient ensuite au pourcentage par \(CM=1+\dfrac{t}{100}\).

💡 Les pourcentages ne s'additionnent jamais : \(-50\,\%\) puis \(+40\,\%\) ne donne pas \(-10\,\%\), et cette proposition est là exprès. Fais le calcul sur un prix témoin de \(100\) € si tu veux te rassurer.

Si une partie représente \(40\,\%\) du total, la partie complémentaire en représente \(100-40\,\%\). C'est à cette proportion complémentaire que correspond l'effectif donné.

On passe ensuite de la partie au total par \(\text{total}=\dfrac{\text{effectif}}{\text{proportion}}\), avec la proportion écrite en décimal.

💡 L'erreur réflexe est d'appliquer \(40\,\%\) aux \(30\) femmes. Vérifie ta réponse en sens inverse : \(40\,\%\) du total que tu proposes doit donner un nombre d'hommes entier, et hommes + femmes doit redonner ce total.

Trois règles suffisent, pour \(a\neq 0\) :

\[a^{m}\times a^{n}=a^{m+n},\qquad \dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n},\qquad \left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\times n}.\]

💡 Le piège est l'exposant négatif : dans \(\dfrac{a^{8}}{a^{-5}}\), la soustraction donne \(8-(-5)\), donc une addition. Et ne confonds pas la règle du quotient (on soustrait) avec celle de la puissance de puissance (on multiplie).

Exercice 1 (5 points)

Deuxième partie (14 points)

On s'intéresse à l'évolution de la valeur d'une voiture.

En janvier 2025, la valeur de la voiture est égale à 10 000 euros.

On suppose qu'ensuite, chaque année, la valeur diminue de 10 %.

Pour tout entier naturel \(n\), on note \(u_n\) la valeur de la voiture, en euros, au mois de janvier de l'année \(2025 + n\).

On a donc \(u_0 = 10\,000\).

1. Calculer la valeur de la voiture en janvier 2026.
2. Justifier que pour tout entier naturel \(n\), on a
  \[u_{n+1} = 0,9\, u_n.\]
En déduire la nature de la suite \(\left(u_n\right)\) et préciser sa raison.
1. Pour tout entier naturel \(n\), exprimer le terme \(u_n\) en fonction de \(n\).
2. En déduire la valeur de la voiture en janvier 2030.
  On pourra s'aider de l'aide au calcul ci-contre.
  
  Aide au calcul
  
  \(0,9^4 = 0,6561\)
  
  \(0,9^5 = 0,59049\)
  
  \(0,9^6 = 0,531441\)
On considère le programme Python ci-contre.
Recopier et compléter ce programme afin qu'il renvoie, après exécution, la plus petite valeur de \(n\) telle que \(u_n < A\), où \(A\) est un nombre réel strictement positif.

def seuil(A) :
    N = 0
    U = 10000
    while ......... :
        U = .......
        N = N+1
    return N
L'exécution de ce programme, pour plusieurs valeurs de \(A\), donne les résultats suivants :
>>> seuil(7500)
  3
>>> seuil(5000)
  7
>>> seuil(2500)
  14
>>> seuil(2000)
  16
1. Interpréter, dans le contexte de l'exercice, le résultat obtenu lors de l'appel seuil(5000).
2. Déterminer, en expliquant la démarche, l'année à partir de laquelle la voiture aura perdu plus des trois quarts de sa valeur initiale.

Aide au calcul
\(0,9^4 = 0,6561\)
\(0,9^5 = 0,59049\)
\(0,9^6 = 0,531441\)

Méthodes de cours

Diminuer une quantité de \(10\,\%\), c'est la multiplier par le coefficient \(1-\dfrac{10}{100}\). C'est le seul outil des deux questions.

Pour la justification, pars de la phrase de l'énoncé : « chaque année, la valeur diminue de \(10\,\%\) » signifie que la valeur de l'année suivante, \(u_{n+1}\), s'obtient à partir de celle de l'année en cours, \(u_n\), par ce coefficient.

💡 Rédige la justification avec les indices, pas avec des nombres : c'est ce qui est attendu. Écrire \(u_{n+1}=u_n-0,10\,u_n\) puis factoriser par \(u_n\) est la version la plus sûre — on voit apparaître le \(0,9\) sans avoir à l'admettre.

Une suite est géométrique de raison \(q\) lorsque, pour tout \(n\), \(u_{n+1}=q\times u_n\) : chaque terme s'obtient du précédent en multipliant toujours par le même nombre.

La question 1.b te donne exactement cette forme : il n'y a rien à calculer, seulement à identifier \(q\).

💡 Une réponse complète précise la raison et le premier terme \(u_0\) — c'est ce couple qui servira à la question 3. Ne confonds pas la raison avec le pourcentage de baisse : la raison n'est pas \(0,1\).

Si \(\left(u_n\right)\) est géométrique de raison \(q\) et de premier terme \(u_0\), alors

\[u_n=u_0\times q^{\,n}.\]

💡 L'exposant dépend de l'indice du premier terme : ici la suite démarre à \(u_0\), donc l'exposant est \(n\) et non \(n-1\). Vérifie ta formule en y remplaçant \(n\) par \(0\) puis par \(1\) : tu dois retrouver \(10\,000\) et la valeur calculée en 1.a.

L'énoncé pose que \(u_n\) est la valeur en janvier de l'année \(2025+n\). Pour une année donnée, résous donc \(2025+n=\text{année}\) avant tout calcul.

Il ne reste qu'à appliquer la formule de la question 3.a et à lire la bonne ligne de l'aide au calcul.

💡 L'aide au calcul propose trois puissances voisines : c'est un test, une seule correspond à l'indice cherché. Le réflexe « 2025 à 2030, donc six valeurs, donc exposant 6 » est précisément l'erreur visée — le rang \(0\) correspond déjà à 2025. Termine par une phrase avec l'unité en euros, arrondie au centime.

Une boucle while tourne tant que sa condition est vraie et s'arrête dès qu'elle devient fausse. Écris donc la condition « le seuil n'est pas encore franchi », c'est-à-dire la négation de \(U < A\).

La ligne U = ....... doit faire passer de la valeur d'une année à celle de l'année suivante : c'est la relation de récurrence de la question 1.b, écrite en Python.

💡 Regarde l'ordre des deux lignes du corps de boucle : U est mis à jour avant N, donc à la sortie N compte bien le nombre de multiplications effectuées. Teste ton programme à la main sur deux tours pour vérifier qu'un \(A\) juste au-dessus de \(u_0\) renvoie \(0\).

Reprends la définition donnée en question 4 : la fonction renvoie le plus petit rang \(n\) tel que \(u_n\) passe sous le seuil \(A\). L'interprétation demande deux traductions : \(u_n\) en « valeur de la voiture », et \(n\) en année via \(2025+n\).

💡 « Plus petit rang » veut dire que c'est la première fois que la valeur descend sous le seuil : dis-le explicitement, et donne l'année en toutes lettres plutôt que l'entier renvoyé. Le seuil \(5\,000\) vaut la moitié de la valeur d'achat, ce qui rend la phrase plus parlante.

Le travail est d'abord de traduction : « avoir perdu plus des trois quarts de sa valeur initiale » signifie qu'il en reste moins d'un quart. Calcule ce quart de \(10\,000\) : tu obtiens un seuil qui figure dans le tableau d'appels.

Il suffit alors de lire le rang renvoyé, puis de le convertir en année avec \(2025+n\).

💡 « En expliquant la démarche » est une consigne notée : écris l'inéquation \(u_n < \dots\), cite l'appel du tableau qui y répond, et conclus par l'année. Attention aussi à « à partir de laquelle » : la réponse est une année de départ, pas une durée.

Exercice 2 (5 points)

On s'intéresse à l'ensemble des spectateurs d'un cinéma.

On désigne par le terme JEUNE un spectateur âgé de 18 ans ou moins.

On désigne par le terme ABONNÉ un spectateur ayant souscrit un abonnement à ce cinéma.

Une étude a permis d'établir les résultats suivants :

60 % des spectateurs sont abonnés ;
parmi les spectateurs abonnés, 40 % sont jeunes ;
parmi les spectateurs n'étant pas abonnés, 20 % sont jeunes.

On interroge au hasard un spectateur et on considère les événements suivants :

\(A\) : « le spectateur est abonné » ;
\(J\) : « le spectateur est jeune ».

Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous décrivant la situation.
Calculer la probabilité \(P(A \cap J)\) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
Démontrer que \(P(J) = 0,32\).
On considère l'affirmation suivante :
« Si on interroge un spectateur jeune au hasard, il y a plus d'une chance sur deux qu'il soit abonné. »

Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier.
Le prix d'une place de cinéma est fixé selon les règles suivantes :
- un spectateur non abonné paie sa place 5 euros, quel que soit son âge ;
- un spectateur abonné et n'étant pas jeune paie sa place 2 euros ;
- un spectateur abonné et jeune ne paie pas sa place : c'est gratuit.
On note \(X\) la variable aléatoire qui, à un spectateur choisi au hasard, donne le prix qu'il doit payer pour sa place de cinéma.
1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\).
2. Calculer l'espérance de la variable aléatoire \(X\) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Méthodes de cours

Le premier niveau porte les probabilités de \(A\) et \(\overline{A}\). Les branches du second niveau portent des probabilités conditionnelles, notées \(P_A(J)\), \(P_A\!\left(\overline{J}\right)\), \(P_{\overline{A}}(J)\), \(P_{\overline{A}}\!\left(\overline{J}\right)\).

Repère dans l'énoncé le mot « parmi » : il signale toujours une probabilité conditionnelle, donc une branche de second niveau.

💡 Règle de contrôle : les probabilités des branches issues d'un même nœud ont pour somme \(1\). Elle te donne directement les trois branches que l'énoncé ne fournit pas. Les \(40\,\%\) de jeunes abonnés ne sont pas \(P(J)\) : c'est une proportion à l'intérieur des abonnés.

La probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin :

\[P(A\cap J)=P(A)\times P_A(J).\]

💡 L'interprétation vaut des points : traduis le résultat en pourcentage de l'ensemble des spectateurs qui sont à la fois abonnés et jeunes. Ne dis pas « parmi les abonnés » — ce serait la probabilité conditionnelle, pas l'intersection.

\(A\) et \(\overline{A}\) forment une partition de l'univers (l'un des deux se réalise, jamais les deux). Donc :

\[P(J)=P(A\cap J)+P\!\left(\overline{A}\cap J\right)=P(A)P_A(J)+P\!\left(\overline{A}\right)P_{\overline{A}}(J).\]

💡 Concrètement : additionne les probabilités de tous les chemins qui aboutissent à \(J\), ici les deux. Comme le résultat \(0,32\) est donné, tu sais tout de suite si ton arbre est juste — si tu tombes à côté, c'est une branche mal placée, pas une erreur de formule.

L'affirmation parle d'un spectateur déjà connu comme jeune : il faut donc calculer \(P_J(A)\), avec

\[P_J(A)=\dfrac{P(A\cap J)}{P(J)}.\]

Les deux quantités du quotient ont été obtenues aux questions 2 et 3. Compare ensuite le résultat à \(0,5\) pour trancher.

💡 Ne confonds pas \(P_J(A)\) et \(P_A(J)\) : ce sont deux nombres différents, et l'énoncé te donne le second pour te tenter. L'ordre se lit dans la phrase : ce qui suit « si on interroge… » est ce qu'on sait, donc ce qui va en indice. « Plus d'une chance sur deux » est une inégalité stricte : conclus par une comparaison explicite avec \(0,5\), suivie d'une phrase en français.

Trois étapes : lister les valeurs que peut prendre \(X\) d'après les trois tarifs, associer chaque valeur au ou aux chemins de l'arbre qui la produisent, puis présenter le tout dans un tableau \(x_i\) / \(P(X=x_i)\).

Attention au tarif à 5 euros : il concerne les non-abonnés quel que soit leur âge, donc deux chemins de l'arbre, dont les probabilités s'additionnent.

💡 Vérification obligatoire avant de passer à la suite : la somme des probabilités de ton tableau doit valoir exactement \(1\). Si elle ne tombe pas juste, c'est qu'un chemin a été oublié ou compté deux fois.

L'espérance est la moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités :

\[E(X)=\sum_{i} x_i\,P(X=x_i).\]

💡 Le terme correspondant au tarif gratuit est nul, mais garde-le dans l'écriture de la somme : le correcteur veut voir la formule complète. Pour l'interprétation, parle d'une recette moyenne par spectateur sur un grand nombre de spectateurs, avec l'unité en euros — pas d'un prix que quelqu'un paierait réellement, puisque aucun tarif ne vaut \(E(X)\).

Exercice 3 (4 points)

Les deux questions sont indépendantes.

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère les points
\[\mathrm{A}(2 ; 0), \quad \mathrm{B}(3 ; 2) \quad \text{et} \quad \mathrm{C}(0 ; 4).\]

Affirmation : Les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[f(x) = (3x - 1)\mathrm{e}^{x}.\]

On note \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
1. Affirmation : la fonction \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).
2. Affirmation : La tangente à la courbe \(\mathcal{C}\) au point d'abscisse \(0\) a pour équation
  \[y = 2x - 1.\]

Méthodes de cours

Deux droites \((\mathrm{AB})\) et \((\mathrm{AC})\) sont perpendiculaires si et seulement si

\[\vec{\mathrm{AB}}\cdot\vec{\mathrm{AC}}=0.\]

Calcule d'abord les coordonnées des deux vecteurs par « arrivée moins départ », puis, le repère étant orthonormé, applique \(\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'\).

💡 Le mot « orthonormé » est indispensable pour utiliser cette expression du produit scalaire : cite-le dans ta rédaction. Autre voie possible : comparer les coefficients directeurs \(m\) et \(m'\) et tester \(mm'=-1\) — même conclusion, mais le calcul de coordonnées est moins risqué. Et une affirmation fausse se réfute par le calcul complet, pas par un dessin.

Pose \(u(x)=3x-1\) et \(v(x)=\mathrm{e}^{x}\), puis applique

\[(uv)'=u'v+uv'.\]

Une fois \(f'(x)\) obtenue, factorise par \(\mathrm{e}^{x}\) : comme \(\mathrm{e}^{x}>0\) pour tout réel \(x\), le signe de \(f'(x)\) est celui du facteur affine restant.

💡 Le facteur affine change de signe en une valeur négative : la dérivée n'a donc pas un signe constant sur \(\mathbb{R}\). Pour réfuter une affirmation de croissance, l'étude du signe de \(f'\) est la rédaction la plus solide ; un contre-exemple numérique bien choisi (deux images comparées) suffit aussi, à condition d'écrire les deux calculs. Ne dis jamais « \(\mathrm{e}^{x}\) est croissante donc \(f\) l'est » : le facteur \(3x-1\) est négatif sur toute une partie de \(\mathbb{R}\).

La tangente à \(\mathcal{C}\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation

\[y=f'(a)(x-a)+f(a).\]

Ici \(a=0\) : il te faut donc les deux nombres \(f(0)\) et \(f'(0)\), ce dernier venant de la dérivée déjà calculée en 2.a.

💡 Deux vérifications rapides une fois l'équation obtenue : le coefficient directeur doit être \(f'(0)\), et l'ordonnée à l'origine doit être \(f(0)\) puisque \(a=0\). Si l'une des deux ne colle pas avec l'équation proposée, l'affirmation est réglée. N'oublie pas \(\mathrm{e}^{0}=1\).

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

Épreuve anticipée de Mathématiques - Antilles-Guyane12 juin 2026 — Voie générale avec spécialité

Première partie : automatismes — QCM (6 points)

Méthodes de cours

Exercice 1 (5 points)

Méthodes de cours

Exercice 2 (5 points)

Méthodes de cours

Exercice 3 (4 points)

Méthodes de cours

Épreuve anticipée de Mathématiques - Antilles-Guyane
12 juin 2026 — Voie générale avec spécialité