Guide de résolution — Bac Centres étrangers 8 juin 2026

Première partie : automatismes — QCM (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Question 1

Soient \(A\) et \(B\) deux événements.

On donne l'arbre de probabilités ci-contre :

On peut alors affirmer que \(P\!\left(\overline{A}\cap B\right)\) est égale à :

a. \(1,3\)

b. \(0,42\)

c. \(0,7\)

d. \(0,18\)

Question 2

Dans un lycée, 150 élèves de première générale suivent la spécialité Mathématiques, ce qui représente \(\dfrac{3}{5}\) de l'ensemble des élèves de première générale.

Le nombre d'élèves en première générale dans ce lycée est :

a. 90

b. 200

c. 250

d. 300

Question 3

On considère les nombres \(A=\dfrac{1}{3}\) et \(B=\dfrac{5}{6}\).

Le nombre \(\dfrac{A}{B}+1\) est égal à :

a. \(\dfrac{7}{5}\)

b. \(\dfrac{3}{5}\)

c. \(\dfrac{23}{18}\)

d. \(\dfrac{7}{3}\)

Question 4

Dans un repère orthonormé \(\left(\mathrm{O} ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}\right)\), la droite \(d\) d'équation réduite \(y=\dfrac{1}{3}x+1\) est représentée par :

Question 5

La forme développée de \(\left(x^{3}-1\right)^{2}\) est :

a. \(x^{6}-1\)

b. \(x^{6}-2x^{3}+1\)

c. \(x^{5}-2x^{3}+1\)

d. \(x^{6}+2x^{3}-1\)

Question 6

L'évolution globale correspondant à une hausse de 20 % puis une baisse de 50 %, est une baisse de :

a. 10 %

b. 30 %

c. 40 %

d. 60 %

Question 7

Ce tableau donne les résultats partiels d'un sondage dans une classe de première comptant 25 élèves :

	16 ans ou moins	Plus de 16 ans
Suivent la spécialité Mathématiques	8
Ne suivent pas la spécialité Mathématiques	7	4

On interroge un élève de cette classe au hasard.

La probabilité que ce soit un élève qui suive la spécialité Mathématiques sachant qu'il est âgé de plus de 16 ans est :

a. \(\dfrac{3}{7}\)

b. \(\dfrac{6}{25}\)

c. 6

d. \(\dfrac{3}{5}\)

Question 8

Soient \(x\) et \(y\) deux réels strictement positifs tels que : \(x=\dfrac{5}{2+y}\).

On peut affirmer que :

a. \(y=\dfrac{10}{2x-5}\)

b. \(y=\dfrac{5}{2+x}\)

c. \(y=5-2x\)

d. \(y=\dfrac{5}{x}-2\)

Méthodes de cours

Dans un arbre pondéré, la probabilité d'une intersection se lit en multipliant les probabilités rencontrées le long du chemin :

\[P(\overline{A}\cap B)=P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B).\]

Repère donc le bon chemin : d'abord la branche du premier niveau, puis la branche du second niveau qui part de ce nœud.

💡 Deux réflexes de tri immédiat : une probabilité ne dépasse jamais \(1\), donc la proposition \(1,3\) (obtenue en additionnant) tombe tout de suite ; et \(0,7\) est \(P_{\overline{A}}(B)\), une probabilité conditionnelle, pas une intersection.

Si une partie représente la fraction \(\dfrac{a}{b}\) du total \(T\), alors \(\dfrac{a}{b}\times T = \text{partie}\), donc

\[T=\text{partie}\div\dfrac{a}{b}=\text{partie}\times\dfrac{b}{a}.\]

💡 Le réflexe à éviter : multiplier par \(\dfrac{3}{5}\) au lieu de diviser. Contrôle de bon sens — les 150 élèves sont plus de la moitié du total, donc le total doit être compris entre \(150\) et \(300\).

Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse :

\[\dfrac{\ \dfrac{a}{b}\ }{\dfrac{c}{d}}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}.\]

Simplifie le produit avant d'ajouter \(1\), puis mets au même dénominateur.

💡 Ne divise jamais « numérateur par numérateur et dénominateur par dénominateur ». Et ajoute le \(1\) en l'écrivant sous forme de fraction de même dénominateur, sinon tu obtiens une des propositions pièges.

Dans \(y=ax+b\), \(b\) est l'ordonnée à l'origine (le point où la droite coupe l'axe des ordonnées) et \(a\) le coefficient directeur : quand on avance de \(1\) horizontalement, on monte de \(a\).

Procède en deux temps : élimine d'abord les repères où la droite ne coupe pas l'axe des ordonnées à la bonne hauteur, puis départage les survivants par la pente.

💡 Ici \(a=\dfrac{1}{3}\), coefficient inférieur à \(1\) : la droite doit être peu inclinée, elle monte de \(1\) carreau quand on en avance \(3\). Une droite qui monte « à \(45^\circ\) » a pour coefficient \(1\), pas \(\dfrac13\).

\[(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.\]

Applique-la avec \(a=x^{3}\) et \(b=1\), en te souvenant que \(\left(x^{m}\right)^{n}=x^{m\times n}\).

💡 Le double produit \(-2ab\) est ce que l'on oublie le plus souvent : \((a-b)^2\neq a^2-b^2\). Et \(\left(x^{3}\right)^{2}=x^{6}\), jamais \(x^{5}\) — on multiplie les exposants, on ne les additionne pas.

Une évolution de \(t\,\%\) correspond au coefficient multiplicateur \(CM=1+\dfrac{t}{100}\). Pour deux évolutions successives, les coefficients se multiplient :

\[CM_{\text{global}}=CM_{1}\times CM_{2}.\]

Il reste à repasser du coefficient global au taux global, par \(t=(CM_{\text{global}}-1)\times 100\).

💡 Les taux ne s'additionnent pas : \(+20\,\%\) puis \(-50\,\%\) ne donne pas \(-30\,\%\). Et la question demande « une baisse de … » : ton résultat est un coefficient inférieur à \(1\), pense à le convertir en pourcentage de baisse.

Commence par compléter le tableau : l'effectif manquant se déduit du total de \(25\) élèves.

Une probabilité conditionnelle dans un tableau d'effectifs, c'est un quotient d'effectifs où l'on se restreint à la ligne (ou à la colonne) de la condition :

\[P_{B}(A)=\dfrac{\text{effectif de } A\cap B}{\text{effectif de } B}.\]

💡 Le piège est le dénominateur. « Sachant qu'il est âgé de plus de 16 ans » impose de diviser par l'effectif de cette colonne, pas par les \(25\) élèves de la classe — c'est exactement ce que teste la proposition \(\dfrac{6}{25}\).

Il s'agit d'isoler \(y\). Comme \(x>0\) et \(y>0\), le dénominateur \(2+y\) n'est pas nul et tu peux multiplier en croix, puis isoler \(y\) :

\[x=\dfrac{5}{2+y}\iff x(2+y)=5\iff 2+y=\dfrac{5}{x}.\]

💡 Test de contrôle imparable en QCM : prends une valeur simple, par exemple \(y=3\), calcule le \(x\) correspondant, puis regarde laquelle des quatre formules redonne \(y=3\). C'est plus rapide que de tout transformer.

Exercice 1 (5 points) — Partie A

Un maire souhaite végétaliser sa ville.

Pour cela, il décide de planter des mûriers platanes dans les différents parcs.

Ces arbres sont réputés pour leurs qualités d'ombrage et de résistance à la sécheresse.

Au moment de la plantation, un mûrier platane mesure 1 mètre.

On suppose que, chaque année, la hauteur de l'arbre augmente de 40 cm.

Pour tout entier naturel \(n\), on note \(u_{n}\) la hauteur de l'arbre, en mètres, \(n\) années après sa plantation. Ainsi \(u_{0}=1\).

1. Calculer \(u_{1}\).
2. Quelle sera la hauteur de l'arbre deux années après sa plantation ?
Quelle est la nature de la suite \(\left(u_{n}\right)\) ? Justifier.
Pour tout entier naturel \(n\), exprimer \(u_{n}\) en fonction de \(n\).
Au bout de combien d'années le mûrier atteindra-t-il 9 mètres de haut ?

Méthodes de cours

On passe d'une année à la suivante en ajoutant la croissance annuelle : \(u_{n+1}=u_{n}+r\). Calcule \(u_1\) à partir de \(u_0\), puis \(u_2\) à partir de \(u_1\).

💡 L'énoncé mélange volontairement les unités : la hauteur est en mètres mais la croissance est donnée en centimètres. Convertis les 40 cm avant le moindre calcul, sinon tout l'exercice part de travers. Et la question 1.b demande \(u_2\), pas \(u_1\) : « deux années après » correspond au rang \(2\).

Une suite est arithmétique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre \(r\) (la raison), géométrique lorsqu'on multiplie toujours par le même nombre \(q\).

Pour justifier, écris la relation de récurrence à partir de la situation, sous la forme \(u_{n+1}=\ldots\), et conclus en donnant la raison et le premier terme.

💡 « Justifier » ne veut pas dire « vérifier sur les deux premiers termes ». Le correcteur attend la relation valable pour tout entier naturel \(n\), ou le calcul de \(u_{n+1}-u_{n}\) montrant que la différence est constante.

Pour une suite arithmétique de premier terme \(u_{0}\) et de raison \(r\) :

\[u_{n}=u_{0}+n\,r.\]

💡 Attention au rang de départ : ici la suite commence à \(u_{0}\), donc la formule est en \(n\,r\) et non en \((n-1)r\) — cette dernière ne vaut que pour une suite qui démarre à \(u_{1}\). Vérifie ta formule en y remplaçant \(n\) par \(1\) : tu dois retrouver le \(u_{1}\) de la question 1.a.

Traduis la question par une équation : « atteindre 9 mètres » s'écrit \(u_{n}=9\). Avec l'expression de la question 3, c'est une simple équation du premier degré en \(n\).

💡 \(n\) est un nombre d'années, donc un entier naturel. Si la solution de l'équation n'était pas entière, il faudrait prendre le premier entier au-delà et le justifier. Termine par une phrase de conclusion en années, pas par un nombre isolé.

Exercice 1 (5 points) — Partie B

Au moment de la plantation, l'arbre possède un tronc et deux branches.

Un an après la plantation, on observe 4 nouvelles branches.

Deux ans après la plantation, on observe 8 nouvelles branches.

Chaque année, le nombre de nouvelles branches double comme représenté sur le schéma ci-dessous :

Pour tout entier naturel \(n\), on note \(v_{n}\) le nombre de nouvelles branches \(n\) années après la plantation.

À la plantation, l'arbre possède 2 branches, ainsi on pose \(v_{0}=2\).

Quelle est la nature de la suite \(\left(v_{n}\right)\) ? Justifier.
1. Un an après la plantation, l'arbre a produit 4 nouvelles branches.
  Il possède alors un nombre total de branches égal à 6.
  
  Montrer que, trois ans après sa plantation, l'arbre possède un nombre total de branches égal à 30.
2. On donne le programme ci-contre écrit en langage Python :
  v = 2
  total = 2
  for i in range(10):
  v = 2 * v
  total = total + v
  print(total)
  
  Rappel : for i in range(n) permet de répéter n fois un ensemble d'instructions.
  
  La valeur affichée par ce programme est \(4\,094\).
  
  Dans le contexte de l'exercice, que représente la valeur \(4\,094\) affichée par ce programme ?

Méthodes de cours

« Le nombre de nouvelles branches double chaque année » se traduit directement par une relation de récurrence du type \(v_{n+1}=q\,v_{n}\), qui caractérise une suite géométrique de raison \(q\).

Comme en partie A, la justification doit énoncer la relation valable pour tout \(n\), puis donner la raison et le premier terme.

💡 Ne confonds pas les deux modèles de l'exercice : en partie A la hauteur augmente d'une quantité fixe (arithmétique), en partie B le nombre de branches est multiplié (géométrique). C'est le même arbre, mais deux types de croissance différents — et c'est précisément ce que l'exercice veut te faire distinguer.

Deux quantités différentes cohabitent : \(v_{n}\) compte les nouvelles branches de l'année \(n\), alors que la question porte sur le total accumulé depuis la plantation, c'est-à-dire la somme

\[v_{0}+v_{1}+v_{2}+\dots+v_{n}.\]

Calcule les premiers \(v_{k}\) à l'aide de la raison trouvée en Q1, puis additionne jusqu'au rang demandé.

💡 L'énoncé te donne deux points de contrôle successifs : le total au bout d'un an vaut \(6\), et celui qu'on te demande de retrouver vaut \(30\). Si tu ne tombes pas sur \(6\) à l'année 1, c'est que tu as oublié les 2 branches initiales dans la somme.

Pour interpréter un script, identifie d'abord ce que contient chaque variable : ici v est mis à jour comme les termes de la suite \(\left(v_{n}\right)\), et total accumule ces valeurs — c'est la somme de la question précédente.

Ensuite, compte les tours : for i in range(n) effectue exactement \(n\) répétitions, et chaque tour fait avancer d'une année.

💡 Deux erreurs classiques. La première : se tromper d'un an en traduisant range(10) — déroule les deux premiers tours à la main pour te caler. La seconde : répondre « c'est le nombre de nouvelles branches ». La variable affichée est total, donc ta phrase doit dire nombre total de branches, et préciser à quelle année.

Exercice 2 (3 points)

On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé.

On considère les points \(\mathrm{A}(-1 ; 5)\), \(\mathrm{B}(3 ; 5)\) et \(\mathrm{C}(4 ; 0)\).

1. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{\mathrm{AB}}\) et \(\vec{\mathrm{AC}}\).
2. En déduire la valeur du produit scalaire \(\vec{\mathrm{AB}}\cdot\vec{\mathrm{AC}}\).
1. Montrer que \(\mathrm{AC}=5\sqrt{2}\).
On admet que \(\mathrm{AB}=4\).
1. Écrire l'expression permettant de calculer le produit scalaire \(\vec{\mathrm{AB}}\cdot\vec{\mathrm{AC}}\) en fonction de l'angle \(\widehat{\mathrm{BAC}}\).
2. En déduire une mesure, en radian, de l'angle \(\widehat{\mathrm{BAC}}\).

Aide aux calculs :
\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{50}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Méthodes de cours

Pour deux points \(\mathrm{M}(x_{M} ; y_{M})\) et \(\mathrm{N}(x_{N} ; y_{N})\) :

\[\vec{\mathrm{MN}}\begin{pmatrix} x_{N}-x_{M} \\ y_{N}-y_{M}\end{pmatrix}.\]

💡 Toujours « arrivée moins départ », et les deux vecteurs partent ici du même point \(\mathrm{A}\) : c'est ce qui permettra, plus loin, de parler de l'angle \(\widehat{\mathrm{BAC}}\). Une inversion de signe et l'angle trouvé sera le supplémentaire.

Dans un repère orthonormé, si \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix}\), alors

\[\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'.\]

💡 Le résultat est un nombre, pas un vecteur : pas de flèche dessus. Et cette formule n'est valable qu'en repère orthonormé — l'énoncé le précise en première ligne, c'est une justification à ne pas sauter.

La longueur \(\mathrm{AC}\) est la norme du vecteur \(\vec{\mathrm{AC}}\) :

\[\mathrm{AC}=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^{2}+(y_{C}-y_{A})^{2}}.\]

Il reste à simplifier le radical en isolant un carré parfait sous la racine.

💡 Le résultat est imposé par l'énoncé : tu dois retomber exactement sur \(5\sqrt{2}\), donc reste en valeur exacte du début à la fin. Une valeur décimale approchée ne démontre rien et ne rapporte pas le point.

C'est la deuxième expression du produit scalaire, celle qui fait intervenir les longueurs et l'angle géométrique entre les deux vecteurs :

\[\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos\left(\vec{u},\vec{v}\right).\]

La question ne demande que d'écrire cette expression avec les données de l'exercice : les deux longueurs sont connues (l'une calculée en Q2a, l'autre admise), l'inconnue est le cosinus.

💡 L'angle à faire apparaître est bien \(\widehat{\mathrm{BAC}}\), c'est-à-dire l'angle au sommet \(\mathrm{A}\) — cohérent avec des vecteurs qui partent tous les deux de \(\mathrm{A}\).

Tu disposes maintenant de deux écritures du même produit scalaire : celle en coordonnées (Q1b) et celle avec l'angle (Q2b). Égale-les, puis isole \(\cos\left(\widehat{\mathrm{BAC}}\right)\).

Il reste à reconnaître une valeur remarquable du cosinus et à donner l'angle correspondant.

💡 L'encadré « Aide aux calculs » n'est pas décoratif : il te donne la forme simplifiée du cosinus que tu dois obtenir. Si tu ne tombes sur aucune des deux écritures proposées, reprends le calcul. Et la réponse est demandée en radian : pas de \(45^\circ\) sur la copie.

Exercice 3 (6 points)

Soit \(f\) une fonction définie sur \(]0 ; +\infty[\).

On a tracé dans le repère ci-dessous la courbe \(\mathcal{C}_{f}\) représentative de la fonction \(f\) et la droite \(T_{\mathrm{A}}\) tangente à la courbe \(\mathcal{C}_{f}\) au point A de coordonnées \((1 ; 20)\).

La droite \(T_{\mathrm{A}}\) passe par le point B de coordonnées \((3 ; 10)\).

1. Donner \(f(1)\).
2. Déterminer la valeur de \(f'(1)\).
3. Justifier que l'équation réduite de la tangente \(T_{A}\) à \(\mathcal{C}_{f}\) au point \(A\) est : \(y=-5x+25\).

Pour la suite de l'exercice, la fonction \(f\) est définie sur \(]0 ; +\infty[\) par

\[f(x)=\dfrac{4x^{2}+7x+9}{x}.\]

On admet que \(f\) est dérivable sur cet intervalle.

1. Démontrer que pour tout \(x\in\,]0 ; +\infty[\), on a \[f'(x)=\dfrac{(2x-3)(2x+3)}{x^{2}}.\]
2. Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \(]0 ; +\infty[\).
3. En déduire les variations de la fonction \(f\) sur \(]0 ; +\infty[\).
Existe-t-il une tangente à \(\mathcal{C}_{f}\) parallèle à la droite d'équation \(y=3x+5\) ? Justifier votre réponse.

Méthodes de cours

Deux lectures bien distinctes :

\(f(a)\) est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse \(a\) ;
\(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente en ce point, que l'on calcule avec deux points de cette tangente : \(a=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\).

L'énoncé fournit exprès un second point de \(T_{\mathrm{A}}\) : c'est là pour ce calcul.

💡 Vérification de signe immédiate : la tangente descend, donc \(f'(1)\) doit être négatif. Si tu trouves un nombre positif, tu as inversé le quotient.

La tangente à \(\mathcal{C}_{f}\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation :

\[y=f'(a)(x-a)+f(a).\]

Remplace \(a\), \(f(a)\) et \(f'(a)\) par les valeurs des questions précédentes, puis développe et réduis.

💡 « Justifier que … est \(y=-5x+25\) » : la réponse est donnée, c'est donc la démarche qui est notée. Pars de la formule du cours et développe jusqu'à retomber sur l'équation annoncée — vérifier que \(\mathrm{A}\) et \(\mathrm{B}\) appartiennent à la droite ne suffit pas, cela ne prouve pas la tangence.

Deux voies mènent au résultat.

Voie directe : découpe la fraction terme à terme pour obtenir une somme du type \(\alpha x+\beta+\dfrac{\gamma}{x}\), puis dérive avec \(\left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^{2}}\).
Voie quotient : \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}\), avec \(u\) le numérateur et \(v(x)=x\).

Dans les deux cas, réduis ensuite au même dénominateur \(x^{2}\) et regarde le numérateur obtenu.

💡 La forme demandée est factorisée. Le numérateur que tu obtiens est une différence de deux carrés : reconnais \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) et la factorisation tombe toute seule. Un bon contrôle : ta dérivée doit redonner en \(x=1\) la valeur \(f'(1)\) lue sur le graphique à la question 1.b.

Le signe d'un quotient se lit avec la règle des signes, facteur par facteur, dans un tableau. Traite d'abord le dénominateur : sur \(]0 ; +\infty[\), \(x^{2}\) est strictement positif, donc le signe de \(f'(x)\) est celui du numérateur seul.

Étudie ensuite le signe de chaque facteur du premier degré \(2x-3\) et \(2x+3\) : chacun s'annule en sa racine et change de signe autour d'elle.

💡 Le domaine est \(]0 ; +\infty[\) : la racine de \(2x+3\) est négative, donc hors du domaine. Ne la fais pas figurer dans ton tableau — dis simplement que sur cet intervalle ce facteur garde un signe constant, et justifie-le.

Le théorème est à citer : si \(f'\) est positive sur un intervalle, \(f\) y est croissante ; si \(f'\) est négative, \(f\) y est décroissante.

Dresse le tableau de variations sur \(]0 ; +\infty[\) en reprenant la ligne de signes de la question précédente, et calcule l'image de la valeur où \(f'\) s'annule : c'est l'extremum.

💡 La borne \(0\) est exclue : marque-la par une double barre dans le tableau, sans y écrire d'image. Et confronte ton tableau au graphique de la première page — la courbe descend puis remonte, ton tableau doit dire la même chose.

Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Or le coefficient directeur de la tangente en \(x\) vaut \(f'(x)\). La question revient donc à résoudre l'équation

\[f'(x)=3 \quad \text{sur } ]0 ; +\infty[.\]

Utilise la forme non factorisée de \(f'\), plus commode ici, ramène-toi à une équation en \(x^{2}\), et n'oublie pas de conclure explicitement par « oui » ou « non ».

💡 L'équation en \(x^{2}\) a deux solutions opposées, mais le domaine est \(]0 ; +\infty[\) : une seule est recevable, et il faut le dire. Une réponse complète précise aussi le point de contact de cette tangente, donc pense à calculer l'image de la valeur trouvée.

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

Bac Centres étrangers8 juin 2026 — Épreuve anticipée de première

Première partie : automatismes — QCM (6 points)

Méthodes de cours

Exercice 1 (5 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 1 (5 points) — Partie B

Méthodes de cours

Exercice 2 (3 points)

Méthodes de cours

Exercice 3 (6 points)

Méthodes de cours

Bac Centres étrangers
8 juin 2026 — Épreuve anticipée de première