Guide de résolution — EAM Asie 15 juin 2026

Première partie — Automatismes QCM (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Question 1.
On considère la fonction \(f\) définie sur \([-5\,;\,4]\) représentée dans le repère ci-dessous :

Sur \([-5\,;\,4]\), l'équation \(f(x)=-1\) admet :

A. zéro solution.

B. une seule solution.

C. deux solutions.

D. trois solutions.

Question 2.
Multiplier un nombre par \(0{,}6\) revient à le diminuer de :

A. \(4\,\%\)

B. \(6\,\%\)

C. \(40\,\%\)

D. \(60\,\%\)

Question 3.
L'équation réduite de la droite représentée dans le repère ci-dessous est :

A. \(y=-2x+6\)

B. \(y=6x+2\)

C. \(y=-\dfrac{1}{3}x+2\)

D. \(y=-3x+2\)

Question 4.
Un club de sport possède 200 adhérents répartis comme l'indique le tableau ci-dessous :

	Volley-ball	Basket-ball	Total
Enfant	80	50	130
Adulte	30	40	70
Total	110	90	200

On choisit au hasard un adhérent du club.

On note les évènements suivants :

\(E\) : « La personne choisie est un enfant. »
\(V\) : « La personne choisie pratique le volley-ball. »

On note \(P_E(V)\) la probabilité que la personne choisie pratique le volley-ball sachant que c'est un enfant.

La probabilité \(P_E(V)\) est égale à :

A. \(\dfrac{8}{13}\)

B. \(\dfrac{8}{11}\)

C. \(\dfrac{8}{20}\)

D. \(\dfrac{11}{13}\)

Question 5.
Soient \(A\) et \(B\) deux évènements. En s'appuyant sur l'arbre pondéré ci-dessous, calculer \(P(B)\).

A. \(0{,}4\)

B. \(0{,}18\)

C. \(0{,}72\)

D. \(0{,}03\)

Question 6.
On a représenté une fonction affine \(f\) et une fonction polynôme du second degré \(g\) définies sur \(\mathbb{R}.\)

L'ensemble \(S\) des solutions de l'inéquation \(\quad f(x) < g(x)\quad\) est :

A. \(S=\,]-2\,;\,2[\)
B. \(S=\,]-\infty\,;\,-2[\,\cup\,]2\,;\,+\infty[\)
C. \(S=\,]-1\,;\,0{,}5[\,\cup\,]3\,;\,+\infty[\)
D. \(S=\,]-1\,;\,3[\)

Question 7.
Pour \(y\) réel non nul, on définit \(x\) par : \(\quad x = 3 + \dfrac{5}{y}\).

On peut affirmer que :

A. \(y = \dfrac{x}{8}\)

B. \(y = \dfrac{x-3}{5}\)

C. \(y = \dfrac{8}{x}\)

D. \(y = \dfrac{5}{x-3}\)

Question 8.
On considère la série statistique suivante :

Valeur	0	10	20	30	100
Effectif	3	1	2	2	2

On note \(\textit{Me}\) sa médiane et \(\bar{x}\) sa moyenne.

On peut affirmer que :

A. \(\textit{Me} = \bar{x}\)

B. \(\textit{Me} > \bar{x}\)

C. \(\textit{Me} < \bar{x}\)

D. \(\textit{Me} > 30\)

Méthodes de cours

Résoudre \(f(x)=k\) graphiquement revient à compter le nombre de points d'intersection entre la courbe de \(f\) et la droite horizontale d'équation \(y=k\).

Trace mentalement la droite \(y=-1\) et compte le nombre de fois où la courbe rouge la traverse sur l'intervalle \([-5\,;\,4]\).

💡 Sois attentif aux extrémités : si la courbe passe par \(y=-1\) exactement à \(x=-5\) ou \(x=4\), cela compte quand même, car l'intervalle est fermé.

Multiplier par \(t\) revient à une évolution de \((t-1)\times 100\,\%\) :

si \(t<1\) : diminution de \((1-t)\times100\,\%\)
si \(t>1\) : augmentation de \((t-1)\times100\,\%\)

Applique la formule avec \(t=0{,}6\).

💡 Ne confonds pas : multiplier par \(0{,}6\) ne diminue pas de \(6\,\%\) (ce serait multiplier par \(0{,}94\)).

L'équation réduite \(y=ax+b\) se lit graphiquement :

\(b\) = ordonnée à l'origine (point d'intersection avec l'axe des ordonnées)
\(a\) = pente = \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) entre deux points lisibles

Lis \(b\) directement sur la figure, puis choisis deux points entiers pour calculer \(a\).

💡 La pente est négative si la droite descend de gauche à droite. Un quotient \(-\tfrac{1}{3}\) et non \(-3\) : vérifie le sens du rapport \(\Delta y / \Delta x\).

La probabilité conditionnelle de \(V\) sachant \(E\) est :

\[P_E(V) = \frac{P(E \cap V)}{P(E)} = \frac{\text{nombre d'éléments dans }E\cap V}{\text{nombre d'éléments dans }E}\]

Ici, toutes les fréquences sont équiprobables (tirage au hasard parmi 200 adhérents) : utilise directement les effectifs du tableau.

💡 Le dénominateur est l'effectif de la ligne ou colonne conditionnante (\(E\)), pas l'effectif total. Bien lire « sachant que c'est un enfant ».

Si \(\{A, \overline{A}\}\) est une partition de l'univers :

\[P(B) = P(A)\times P_A(B) + P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)\]

Les probabilités de chaque chemin se multiplient le long des branches, puis les résultats des chemins menant à \(B\) s'additionnent.

💡 Il y a deux chemins qui aboutissent à \(B\) dans l'arbre. Ne prends qu'un seul chemin serait une erreur classique.

L'inéquation \(f(x)strictement en dessous de la courbe de \(g\).

Repère les abscisses des points d'intersection (où \(f(x)=g(x)\)).
Teste un point entre les intersections pour savoir de quel côté l'inégalité est vraie.

💡 Les intervalles-solutions sont ouverts (inégalité stricte). Vérifie si la solution est la partie intérieure ou extérieure aux deux intersections.

Pour exprimer \(y\) en fonction de \(x\) à partir de \(x=3+\dfrac{5}{y}\) :

Soustraire \(3\) des deux membres.
Prendre l'inverse des deux membres (\(y \neq 0\), \(x \neq 3\)).
Multiplier par \(5\).

💡 \(\dfrac{1}{x-3}\) n'est pas la même chose que \(\dfrac{x-3}{5}\). Prendre l'inverse d'un membre inverse numérateur et dénominateur, pas seulement l'un des deux.

Moyenne : \(\bar{x} = \dfrac{\sum n_i x_i}{\sum n_i}\) — sensible aux valeurs extrêmes.

Médiane \(\textit{Me}\) : valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés égales (positions \(\tfrac{n}{2}\) et \(\tfrac{n}{2}+1\) pour \(n\) pair).

La série comporte \(n=10\) valeurs ; la médiane est la moyenne des \(5^\text{e}\) et \(6^\text{e}\) valeurs de la série ordonnée.

💡 La valeur \(100\) (grande valeur isolée) tire fortement la moyenne vers le haut, sans changer la médiane qui est robuste aux valeurs extrêmes.

Exercice 1 (7 points) — Partie A : étude d'un modèle discret

Un lac qui alimente une région en électricité voit son niveau d'eau baisser depuis le début des années 2000.

En 2020, le niveau du lac était d'environ \(1\,100\) mètres au-dessus du niveau de la mer.

En dessous de \(1\,020\) mètres, le niveau du lac est insuffisant pour permettre la production d'énergie hydroélectrique.

Dans cette partie, on estime que le niveau du lac, mesuré au-dessus du niveau de la mer, baisse de \(1\,\%\) tous les ans.

On définit la suite \((u_n)\) telle que \(u_n\) représente le niveau du lac en mètres \(n\) années après 2020, c'est-à-dire en \(2020+n\).

On a alors \(u_0 = 1\,100\).

Calculer \(u_1\) et interpréter ce résultat.

Aide aux calculs : \(1\,100 \times 0{,}99 = 1\,089\) ; \(1\,100 \times 0{,}01 = 11\) ; \(1\,100 \times 0{,}9 = 990\)

1. Pour tout entier naturel \(n\), exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).
2. En déduire la nature de la suite \((u_n)\).
  On précisera sa raison.
3. Pour tout entier naturel \(n\), en déduire une expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
Écrire le calcul qui permet d'estimer le niveau du lac en 2028.
On ne demande pas d'effectuer ce calcul.
Recopier et compléter le programme écrit en langage Python ci-dessous afin qu'il affiche le nombre d'années après 2020 à partir duquel le niveau du lac sera insuffisant pour produire de l'énergie hydroélectrique.
u = 1100
n = 0
while ........................ :
n = n + 1
u = ........................
print(n)

Méthodes de cours

Baisser de \(1\,\%\) revient à conserver \(99\,\%\) de la valeur, soit multiplier par \(0{,}99\).

\[u_1 = u_0 \times 0{,}99\]

L'interprétation doit préciser l'année et l'unité : « En 2021, le niveau du lac est de \(\ldots\) mètres. »

💡 L'aide au calcul te donne directement \(1\,100 \times 0{,}99\). Pas besoin de soustraire \(1\,\%\) à la main.

Une suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q\) si \(u_{n+1} = q \times u_n\) pour tout \(n\).

Son terme général vaut alors \(u_n = u_0 \times q^n\).

Identifie la raison depuis la relation de récurrence, puis écris l'expression de \(u_n\).

💡 Pour déduire la nature, il faut nommer explicitement « géométrique » et donner la raison et le premier terme. Ne pas oublier la raison.

2028 correspond à \(n = 2028 - 2020 = 8\) années après 2020.

Le calcul à écrire est donc \(u_8 = u_0 \times q^8\) avec les valeurs numériques de \(u_0\) et \(q\).

💡 La consigne dit « écrire le calcul sans l'effectuer » : une seule expression numérique suffit, avec la puissance non calculée.

Une boucle while continue tant que la condition est vraie. Le programme doit s'arrêter dès que \(u\) passe en dessous du seuil \(1\,020\).

La mise à jour de u doit refléter la relation de récurrence : u = u * 0.99 (en Python, la décimale est un point).

💡 La condition while doit maintenir la boucle tant que le niveau est encore suffisant, et la quitter quand il devient insuffisant. Quel signe d'inégalité et quelle valeur ?

Exercice 1 (7 points) — Partie B : étude d'un modèle continu

Dans cette partie, l'évolution du niveau du lac est modélisée par une fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([0\,;\,+\infty[\) par :

\[ f(t) = 1\,050\,\mathrm{e}^{-0{,}01t} + 50 \]

où \(f(t)\) est le niveau du lac en mètres et \(t\) le temps écoulé en années, depuis 2020.

Le modèle proposé est-il cohérent avec le niveau du lac en 2020 ?
Justifier votre réponse.
Montrer que, pour tout réel \(t\) de l'intervalle \([0\,;\,+\infty[\), \(f'(t) = -10{,}5\,\mathrm{e}^{-0{,}01t}\).
En déduire le sens de variation de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0\,;\,+\infty[\).
Justifier.
On donne ci-dessous \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal.
Lire, avec la précision permise par le graphique, l'année à partir de laquelle le niveau du lac sera insuffisant pour produire de l'énergie hydroélectrique.

Méthodes de cours

En 2020, \(t=0\). Calcule \(f(0)\) et compare au niveau annoncé dans l'énoncé (\(1\,100\) m).

Rappel : \(\mathrm{e}^0 = 1\).

💡 La réponse doit contenir le calcul de \(f(0)\), la valeur obtenue, et une phrase concluant si elle est cohérente ou non avec les données.

Règle de dérivation : si \(g(t) = A\,\mathrm{e}^{kt}\), alors \(g'(t) = k\,A\,\mathrm{e}^{kt}\).

Ici \(f(t) = 1\,050\,\mathrm{e}^{-0{,}01t} + 50\) — la constante \(50\) a une dérivée nulle.

Applique la formule avec \(A=1\,050\) et \(k=-0{,}01\), et vérifie que tu retrouves bien \(-10{,}5\,\mathrm{e}^{-0{,}01t}\).

💡 \(1\,050 \times (-0{,}01) = -10{,}5\). Le signe \(-\) dans l'exposant descend devant l'exponentielle : \(\left(\mathrm{e}^{-0{,}01t}\right)' = -0{,}01\,\mathrm{e}^{-0{,}01t}\).

Si \(f'(t) < 0\) pour tout \(t\) dans un intervalle, alors \(f\) est strictement décroissante sur cet intervalle.

Justifie le signe de \(f'(t) = -10{,}5\,\mathrm{e}^{-0{,}01t}\) : l'exponentielle est toujours \(> 0\), donc \(f'(t)\) est toujours \(< 0\).

💡 La conclusion doit être explicitement rédigée : « donc \(f\) est strictement décroissante sur \([0\,;\,+\infty[\) ».

Le niveau \(1\,020\) m correspond à la droite horizontale en pointillés sur le graphique.

Repère l'abscisse \(t\) du point d'intersection entre \(\mathcal{C}_f\) et cette droite : c'est l'instant à partir duquel \(f(t) < 1\,020\).

💡 La réponse est un nombre d'années après 2020 — traduis ensuite en année civile (\(2020 + t\)). La précision demandée est celle que permet le graphique, pas plus.

Exercice 2 (7 points) — Partie A : étude d'un cercle

On se place dans un repère orthonormé \(\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)\) pour l'ensemble de l'exercice.

Cette partie est indépendante des parties B et C qui suivent.

On considère le cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(\mathrm{A}(3\,;\,1)\) et de rayon \(r = \dfrac{\sqrt{37}}{2}\).

Justifier que le cercle \(\mathcal{C}\) admet pour équation : \[(x-3)^2 + (y-1)^2 = \frac{37}{4}.\]
Démontrer que le point \(\mathrm{B}(6\,;\,0{,}5)\) appartient au cercle \(\mathcal{C}\).

Aide aux calculs : \(9{,}25 = \dfrac{37}{4}\) | \(8{,}75 = \dfrac{35}{4}\) | \(0{,}5^2 = 0{,}25\)

Méthodes de cours

Un cercle de centre \(\Omega(a\,;\,b)\) et de rayon \(r\) a pour équation :

\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\]

Substitue \(a=3\), \(b=1\) et \(r=\dfrac{\sqrt{37}}{2}\), puis calcule \(r^2\).

💡 \(\left(\dfrac{\sqrt{37}}{2}\right)^2 = \dfrac{37}{4}\). Ne pas oublier de mettre au carré le dénominateur aussi.

Un point \(\mathrm{M}(x_0\,;\,y_0)\) appartient au cercle si et seulement si :

\[(x_0-a)^2 + (y_0-b)^2 = r^2\]

Substitue les coordonnées de \(\mathrm{B}\) dans l'équation et vérifie que tu obtiens bien \(\dfrac{37}{4}\).

💡 L'aide te donne \(0{,}5^2=0{,}25\) et \(9{,}25=\dfrac{37}{4}\) : utilise-les pour conclure avec une égalité propre.

Exercice 2 (7 points) — Partie B : étude d'un cas particulier

Pour la suite de l'exercice, on considère la figure ci-dessous et les données suivantes :

l'équation de la courbe \(\mathcal{H}\) est : \(\quad y = \dfrac{3}{x}\quad\) pour \(x\) strictement positif ;
les coordonnées des points sont : \(\mathrm{A}(3\,;\,1)\), \(\mathrm{B}(6\,;\,0{,}5)\) et \(\mathrm{D}(4\,;\,2)\).

On considère un point \(\mathrm{M}\) mobile sur la courbe \(\mathcal{H}\), d'abscisse \(x>0\).

L'objectif des deux parties suivantes est de démontrer qu'il n'existe qu'un seul point \(\mathrm{M}\) tel que l'angle \(\widehat{\mathrm{DAM}}\) soit droit.

Justifier que le point \(\mathrm{B}\) appartient à la courbe \(\mathcal{H}\).
1. Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\vec{\mathrm{AD}}\) et \(\vec{\mathrm{AB}}\).
2. En déduire le produit scalaire \(\vec{\mathrm{AD}}\cdot\vec{\mathrm{AB}}\).
3. L'angle \(\widehat{\mathrm{DAB}}\) est-il droit ?
  Justifier.

Méthodes de cours

Un point \(\mathrm{M}(x_0\,;\,y_0)\) appartient à la courbe d'équation \(y=f(x)\) si et seulement si \(y_0 = f(x_0)\).

Substitue les coordonnées de \(\mathrm{B}\) dans l'équation \(y=\dfrac{3}{x}\) et vérifie l'égalité.

💡 Une phrase de conclusion est nécessaire : « Donc B appartient à \(\mathcal{H}\). »

Si \(\mathrm{P}(x_P\,;\,y_P)\) et \(\mathrm{Q}(x_Q\,;\,y_Q)\), alors :

\[\vec{\mathrm{PQ}} = \begin{pmatrix} x_Q - x_P \\ y_Q - y_P \end{pmatrix}\]

Le produit scalaire de \(\vec{u}(a\,;\,b)\) et \(\vec{v}(c\,;\,d)\) vaut :

\[\vec{u}\cdot\vec{v} = ac + bd\]

Deux vecteurs sont perpendiculaires si et seulement si leur produit scalaire est nul.

💡 Si \(\vec{\mathrm{AD}}\cdot\vec{\mathrm{AB}} = 0\) alors \(\mathrm{DA}\perp\mathrm{AB}\), donc l'angle \(\widehat{\mathrm{DAB}}\) est droit — et vice versa.

Exercice 2 (7 points) — Partie C : étude du cas général

On rappelle que \(\mathrm{M}\) est un point sur la courbe \(\mathcal{H}\) d'abscisse \(x>0\).

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(\quad x^2 - 4x + 3 = 0\).
Démontrer qu'il n'existe qu'un seul point \(\mathrm{M}\) tel que l'angle \(\widehat{\mathrm{DAM}}\) est droit.

Toute trace de recherche pourra être valorisée.

Méthodes de cours

Pour \(ax^2+bx+c=0\), calcule le discriminant \(\Delta = b^2-4ac\).

Si \(\Delta > 0\) : deux solutions \(x = \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)
Si \(\Delta = 0\) : une solution double \(x = -\dfrac{b}{2a}\)
Si \(\Delta < 0\) : pas de solution réelle

On peut aussi tenter une factorisation directe si les racines sont des entiers faciles à deviner.

💡 Si tu remarques que \(x=1\) est solution, tu peux factoriser par \((x-1)\) et trouver la deuxième racine par identification.

\(\mathrm{M}\) est sur \(\mathcal{H}\) donc \(\mathrm{M}\left(x\,;\,\dfrac{3}{x}\right)\) avec \(x>0\).

L'angle \(\widehat{\mathrm{DAM}}\) est droit si et seulement si \(\vec{\mathrm{AD}}\cdot\vec{\mathrm{AM}} = 0\).

Exprime les coordonnées de \(\vec{\mathrm{AM}}\) en fonction de \(x\).
Calcule \(\vec{\mathrm{AD}}\cdot\vec{\mathrm{AM}}\) et mets l'expression sous forme développée.
L'équation obtenue est celle de la question 1 : exploite ses solutions.
Parmi les solutions réelles, sélectionne celles qui vérifient \(x>0\) et \(\mathrm{M}\neq\mathrm{A}\).

💡 L'une des solutions de la question 1 donne \(\mathrm{M}=\mathrm{A}\) — un point ne peut pas former un angle avec lui-même. Il faut l'exclure explicitement et conclure sur l'unicité.

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

Épreuve anticipée de mathématiques15 juin 2026 — Asie

Première partie — Automatismes QCM (6 points)

Méthodes de cours

Exercice 1 (7 points) — Partie A : étude d'un modèle discret

Méthodes de cours

Exercice 1 (7 points) — Partie B : étude d'un modèle continu

Méthodes de cours

Exercice 2 (7 points) — Partie A : étude d'un cercle

Méthodes de cours

Exercice 2 (7 points) — Partie B : étude d'un cas particulier

Méthodes de cours

Exercice 2 (7 points) — Partie C : étude du cas général

Méthodes de cours

Épreuve anticipée de mathématiques
15 juin 2026 — Asie