Comment utiliser ce guide : pour chaque question, lis l'énoncé complet, puis déroule
progressivement les blocs Méthode, Rappel de cours et Astuce. Ils te donnent la
stratégie et les outils à mobiliser, sans la solution. Essaie de rédiger
toi-même avant de consulter le corrigé.
Première partie : Automatismes — QCM
6 points · 9 questions
Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.
Question 1
Le nombre \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}\times 4\) est égal à :
A. \(8\) B. \(\dfrac{13}{2}\) C. \(4\) D. \(\dfrac{16}{8}\)
Priorités opératoires
La multiplication s'effectue avant l'addition. On calcule d'abord \(\dfrac{3}{2}\times 4\), puis on ajoute \(\dfrac{1}{2}\) en réduisant au même dénominateur.
Question 2
Le volume de la partie visible d'un iceberg est d'environ \(10\,\%\) de son volume total. Si la partie visible d'un iceberg est de \(150\ \text{km}^3\), quel sera le volume total de cet iceberg ?
A. \(1350\ \text{km}^3\) B. \(1500\ \text{km}^3\) C. \(15\ \text{km}^3\) D. \(135\ \text{km}^3\)
Relier la partie au tout
La partie visible vaut \(10\,\%=0{,}10\) du volume total \(V\). On traduit l'énoncé : \(0{,}10\times V = 150\), puis on isole \(V\).
Question 3
Le prix d'un article est multiplié par \(0{,}845\). Cela signifie que le prix de cet article a :
A. augmenté de 84,5 % B. baissé de 1,55 % C. augmenté de 15,5 % D. baissé de 15,5 %
Coefficient multiplicateur
Une évolution de \(t\,\%\) correspond au coefficient \(1+\dfrac{t}{100}\). Un coefficient inférieur à 1 traduit une baisse : identifie \(t\) à partir de \(1-\dfrac{t}{100}=0{,}845\).
Question 4
On considère la fonction \(A\) définie pour tout réel \(x\) par : \[A(x)=(x+5)(x+8)\] Le tableau de signes de \(A(x)\) sur \(\mathbb{R}\) est :
A.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-8\) | \(-5\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(A(x)\) | \(-\) | 0 | \(+\) | 0 | \(-\) |
B.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-5\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(A(x)\) | \(-\) | 0 | \(+\) |
C.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-8\) | \(-5\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(A(x)\) | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) |
D.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(5\) | \(8\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(A(x)\) | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) |
Signe d'un produit de facteurs
Repère les racines en annulant chaque facteur (\(x+5=0\) et \(x+8=0\)). Place-les dans l'ordre croissant. Le coefficient dominant du développement étant positif, applique la règle du signe d'un trinôme : positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles.
Question 5
Un singe choisit une lettre au hasard parmi les lettres de l'alphabet. On note les évènements :
On note \(P_M(V)\) la probabilité que le singe choisisse une voyelle sachant qu'il a choisi une lettre du mot SINGE. On peut alors affirmer que \(P_M(V)\) vaut :
- \(V\) : « Le singe choisit une voyelle. »
- \(M\) : « Le singe choisit une des lettres du mot SINGE. »
On note \(P_M(V)\) la probabilité que le singe choisisse une voyelle sachant qu'il a choisi une lettre du mot SINGE. On peut alors affirmer que \(P_M(V)\) vaut :
A. \(\dfrac{6}{26}\) B. \(\dfrac{2}{5}\) C. \(\dfrac{2}{6}\) D. \(\dfrac{5}{6}\)
Probabilité conditionnelle
\(P_M(V)=\dfrac{\text{cas favorables dans }M}{\text{cas de }M}\). On se restreint aux lettres du mot SINGE.
Astuce
Le mot SINGE comporte 5 lettres distinctes : combien d'entre elles sont des voyelles ?
Question 6
Soit \(f\) une fonction affine, dont on a tracé la représentation graphique dans le repère ci-contre. Une expression algébrique de \(f\) est :
A. \(f(x)=-x+30\) B. \(f(x)=30x+3\) C. \(f(x)=-10x+30\) D. \(f(x)=-\dfrac{1}{10}x+30\)
Lire une fonction affine
\(f(x)=ax+b\). Lis l'ordonnée à l'origine \(b\) (intersection avec l'axe des ordonnées), puis le coefficient directeur \(a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) à l'aide de deux points lisibles (par exemple l'intersection avec l'axe des abscisses).
Question 7
La forme développée et réduite de l'expression \((x+2)^2-(1-x)^2\) vaut :
A. \(2x^2+3\) B. \(6x+3\) C. \(2x+5\) D. \(2x^2+2x+3\)
Identités remarquables
\((a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2\). Développe les deux carrés puis soustrais. (Variante : \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) permet de factoriser directement.)
Question 8
L'équation \(2(x-4)-(2x+1)=0\) admet :
A. Deux solutions : \(4\) et \(\dfrac{1}{2}\) B. Deux solutions : \(4\) et \(-\dfrac{1}{2}\) C. Aucune solution D. Une infinité de solutions
Développer puis conclure
Développe et réduis le membre de gauche. Si les termes en \(x\) disparaissent, observe l'égalité numérique obtenue pour conclure sur le nombre de solutions.
Question 9
On considère le nombre réel : \(E=\dfrac{2\times 3^2}{27\times 2^3}\). On peut affirmer que \(E\) est égal à :
A. \(\dfrac{1}{9}\) B. \(\dfrac{1}{12}\) C. \(12\) D. \(\dfrac{1}{6}\)
Calcul avec puissances
Écris \(27=3^3\) et \(9=3^2\), puis simplifie en regroupant les puissances de \(2\) et de \(3\) (\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)).
Exercice 1
6 points
Durant une fête foraine, une urne contient dix boules. Chaque boule est soit verte, soit rouge, indiscernable au toucher.
Un jeu est proposé aux personnes présentes à la fête foraine. Pour y participer le joueur doit d'abord payer 1 euro. Ensuite,
Un jeu est proposé aux personnes présentes à la fête foraine. Pour y participer le joueur doit d'abord payer 1 euro. Ensuite,
- le joueur tire une première boule qu'il donne au forain, celui-ci note sa couleur puis remet la boule dans l'urne ;
- le joueur tire une deuxième boule, le forain note la couleur de ce deuxième tirage et remet à nouveau la boule dans l'urne.
- si le joueur a tiré deux boules rouges, il reçoit 3 euros ;
- si le joueur a tiré deux boules vertes, il reçoit 1 euro ;
- sinon il ne reçoit pas d'argent.
Partie A
Dans cette partie, on considère que cette urne contient 1 boule rouge et 9 boules vertes. On note :
- \(R_1\) l'événement : « La première boule tirée est rouge. »
- \(R_2\) l'événement : « La deuxième boule tirée est rouge. »
Question 1
Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous représentant la situation.
Arbre pondéré avec remise
À chaque tirage, \(P(R)=\dfrac{1}{10}\) et \(P(\overline R)=\dfrac{9}{10}\). Comme la boule est remise, les probabilités du second niveau sont identiques à celles du premier : les tirages sont indépendants.
Question 2 — a.
On note \(X\) la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur, c'est-à-dire la différence entre la somme reçue après les deux tirages et les frais de participation au jeu de 1 euro.
Donner les valeurs prises par la variable aléatoire \(X\).
Donner les valeurs prises par la variable aléatoire \(X\).
Construire les gains
Pour chaque issue (deux rouges, deux vertes, une de chaque), calcule : somme reçue \(-\) 1 € de participation. Liste les valeurs distinctes obtenues.
Question 2 — b.
Montrer que \(P(X=-1)=\dfrac{18}{100}\).
Événement « une de chaque couleur »
\(X=-1\) regroupe deux chemins incompatibles : (rouge puis verte) ou (verte puis rouge). Multiplie les probabilités le long de chaque chemin, puis additionne.
Question 2 — c.
Recopier sur votre feuille et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de \(X\) :
| \(k\) | |||
|---|---|---|---|
| \(P(X=k)\) |
Loi de probabilité
Calcule \(P(X=2)\) (chemin « deux rouges ») et \(P(X=0)\) (chemin « deux vertes »). Vérifie que la somme des probabilités vaut 1.
Question 2 — d.
Calculer l'espérance de \(X\). Interpréter le résultat.
Espérance
\(E(X)=\sum_k k\cdot P(X=k)\). Une espérance négative signifie un jeu défavorable au joueur sur un grand nombre de parties.
Partie B
Dans cette partie, on considère que cette urne contient maintenant \(n\) boules rouges et \(10-n\) boules vertes où \(n\) est un nombre entier naturel avec \(0\leqslant n\leqslant 10\). On note \(Y\) la variable aléatoire donnant le gain algébrique après les deux tirages.
Question 1
Démontrer que \(E(Y)=\dfrac{4n^2-20n}{100}\).
On expliquera la démarche mise en œuvre. Toute démarche, même incomplète, sera prise en compte dans la notation.
On expliquera la démarche mise en œuvre. Toute démarche, même incomplète, sera prise en compte dans la notation.
Espérance en fonction de \(n\)
Exprime chaque probabilité avec \(P(R)=\dfrac{n}{10}\) : \(P(\text{2 rouges})=\big(\tfrac{n}{10}\big)^2\), \(P(\text{2 vertes})=\big(\tfrac{10-n}{10}\big)^2\), \(P(\text{mixte})=2\times\tfrac{n}{10}\times\tfrac{10-n}{10}\). Reporte dans \(E(Y)=2P(\text{2R})+0\cdot P(\text{2V})+(-1)P(\text{mixte})\), puis développe.
Question 2
Pour combien de boules rouges dans l'urne le jeu est-il équitable entre le joueur et le forain ?
Jeu équitable
Un jeu est équitable lorsque le gain moyen est nul : \(E(Y)=0\). Résous cette équation (une factorisation est possible).
Exercice 2
4 points
Pour réduire sa facture d'électricité, Camille a décidé de faire poser des panneaux solaires sur le toit de sa maison. Elle souhaite analyser sa production et estimer le temps nécessaire pour rentabiliser cet investissement.
Les deux parties suivantes sont indépendantes.
Les deux parties suivantes sont indépendantes.
Partie A
Lors d'une belle journée ensoleillée, la puissance électrique en kilowatt (kW) des panneaux solaires de Camille peut être modélisée en fonction de l'heure par une fonction \(f\). On admet que \(f\) est définie sur \([0\,;24]\) et on donne sa courbe représentative \(\mathcal{C}_f\) ci-dessous. Avec la précision permise par le graphique :
Question 1
Donner la puissance électrique des panneaux solaires à 11h00.
Lecture d'image
Place-toi en \(x=11\) sur l'axe des abscisses, monte jusqu'à la courbe et lis l'ordonnée correspondante.
Question 2
Résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x)\geqslant 5\) et interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
Inéquation graphique
Trace la droite horizontale \(y=5\). Repère l'intervalle des abscisses pour lesquelles la courbe est au-dessus (ou sur) cette droite, puis traduis-le en heures de la journée.
Partie B
Le coût pour 1 kilowattheure (kWh) consommé au tarif réglementé était de 0,15 € en 2020. On admet que ce tarif réglementé augmente de 6 % chaque année. On note \(c_n\) le coût en euros (€) pour 1 kWh consommé durant l'année \(2020+n\), avec \(n\) un entier naturel. On a alors \(c_0=0{,}15\).
Question 1
Déterminer la nature de la suite \((c_n)\). On précisera sa raison.
Hausse en pourcentage fixe
Augmenter d'un pourcentage constant chaque année revient à multiplier par un nombre fixe : suite géométrique de raison \(q=1+\dfrac{t}{100}\).
Question 2
Pour tout entier naturel \(n\), exprimer \(c_n\) en fonction de \(n\).
Terme général
Pour une suite géométrique : \(c_n=c_0\times q^{\,n}\).
Question 3
Donner le calcul permettant d'obtenir le coût pour 1 kWh consommé en 2030. Il n'est pas demandé d'effectuer ce calcul.
Astuce
À quelle valeur de \(n\) correspond l'année 2030, sachant que l'année est \(2020+n\) ?
Question 4
On admet que, chaque année depuis 2020, l'utilisation des panneaux solaires de Camille lui a permis d'éviter l'achat de 2000 kWh par an. L'installation des panneaux solaires en janvier 2020 a coûté à Camille 7000 €. On considère le programme Python ci-contre.
n = 0
c = 0.15
S = 0
while S < 7000 :
S = S + c*2000
n = n+1
c = 1.06*c
print(n)a. Dans le contexte de l'énoncé, que représentent les variables
c et S du programme ?b. On exécute le programme ci-contre. Il affiche 16. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
Lire un algorithme
Suis la boucle ligne à ligne :
c est mis à jour par \(\times 1{,}06\) (c'est donc \(c_n\)), et S accumule \(c\times 2000\) (l'économie annuelle sur 2000 kWh). La boucle s'arrête lorsque S atteint le coût d'installation.Astuce
\(7000\) € est le coût d'installation : que représente alors le nombre d'années renvoyé par
print(n) ?Exercice 3
4 points
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x)=(4x-4)\,\mathrm{e}^{-0{,}5x}+5\] On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé. On admet que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on note \(f'\) sa fonction dérivée.
Question 1
Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f'(x)=(-2x+6)\,\mathrm{e}^{-0{,}5x}\).
Dérivée d'un produit
\((uv)'=u'v+uv'\) avec \(u(x)=4x-4\) et \(v(x)=\mathrm{e}^{-0{,}5x}\). On rappelle que \(\big(\mathrm{e}^{ax}\big)'=a\,\mathrm{e}^{ax}\).
Factoriser
Après dérivation, mets \(\mathrm{e}^{-0{,}5x}\) en facteur commun, puis réduis le crochet.
Question 2
Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \(\mathbb{R}\) puis en déduire les variations de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Signe d'un produit
\(\mathrm{e}^{-0{,}5x}>0\) pour tout réel : le signe de \(f'(x)\) ne dépend que du facteur affine \(-2x+6\). Détermine où il s'annule et change de signe, puis dresse le tableau de variations.
Question 3
La courbe \(\mathcal{C}_f\) admet-elle des points pour lesquels la tangente est horizontale ? Si oui, on précisera les coordonnées exactes de ces éventuels points.
Tangente horizontale
Une tangente est horizontale là où \(f'(x)=0\). Résous l'équation, puis calcule l'ordonnée exacte en reportant la valeur trouvée dans \(f\).