19 exercices progressifs avec guide de résolution pas à pas, méthodes de cours et corrections détaillées.
Sélectionne un exercice. Lis l'énoncé à gauche, déroule les méthodes à droite, puis vérifie avec la correction.
On considère un trinôme du second degré \(P\) défini pour tout réel \(x\) par \[P(x) = ax^2 + bx + c.\] La représentation graphique de \(P\) est une parabole dont le sommet se trouve au-dessus de l'axe des abscisses, ouverte vers le bas, dont l'ordonnée à l'origine est strictement négative, et qui coupe l'axe des abscisses en deux points distincts.
Pour chaque affirmation, choisir la seule réponse exacte et justifier.
Le coefficient \(a\) détermine l'orientation de la parabole :
L'axe de symétrie de la parabole a pour équation : \[x_S = -\dfrac{b}{2a}.\]
Par définition, \(P(0) = c\). Donc \(c\) est l'ordonnée du point d'intersection de la parabole avec l'axe des ordonnées :
Le discriminant traduit le nombre d'intersections avec l'axe des abscisses :
Un artisan fabrique de la confiture qu'il vend à un grossiste. Le coût, en euros, de fabrication de \(x\) kilos de confiture est :
\(\text{Recette} = \text{prix unitaire} \times \text{nombre d'unités}\)
\[\text{Bénéfice} = \text{Recette} - \text{Coût}\]
soit \(B(x) = R(x) - C(x)\). Remplacer et simplifier terme à terme.
Si \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines de \(ax^2 + bx + c = 0\) :
\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}.\]
Racine évidente : tester \(x = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots\)
Deuxième racine : une fois \(x_1\) trouvé, utiliser \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}\).
Calculer \(\Delta\) pour \(5x^2 - 9x + 8\).
Passer tous les termes du même côté :
\[x^2 - 5x + 2 - x + 7 = 0 \implies x^2 - 6x + 9 = 0.\]
Passer tout à gauche :
\[x^2 - 25 - 2x(x-5) > 0.\]
Factoriser en utilisant l'identité remarquable \(x^2 - 25 = (x-5)(x+5)\).
Pour tout réel \(x\) : \((2x - 3)^2 \geqslant 0\), donc \(4(2x-3)^2 \geqslant 0\).
Cette expression ne peut jamais être strictement négative.
Pour réfuter une affirmation du type « pour tout \(x\) », il suffit de trouver un contre-exemple.
\(ax^2 + bx + c < 0\) pour tout \(x\) si et seulement si \(a < 0\) et \(\Delta < 0\).
Si \(b = 0\) : \(f(x) = ax^2 + c\). L'équation \(ax^2 + c = 0\) donne \(x^2 = -\dfrac{c}{a}\).
Les racines : \(2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2\) et \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\).
Sur \([-2\,;\,3]\), étudier le signe de chaque facteur.
Poser \(X = x^2\) (avec \(X \geqslant 0\)). L'équation devient :
\[X^2 - 2X - 8 = 0.\]
Ne jamais multiplier des deux côtés par \((x+2)\) sans connaître son signe. Passer tout à gauche :
\[\frac{1}{x+2} - (4x+3) > 0 \implies \frac{1 - (4x+3)(x+2)}{x+2} > 0.\]
Développer le numérateur, trouver ses racines, puis dresser le tableau de signe.
Un artisan fabrique des boîtes à bijoux. Il peut en produire jusqu'à \(150\) par mois. Chaque boîte est vendue \(50\,\text{€}\). Le coût de fabrication de \(x\) boîtes est :
Avec \(a = -0{,}23 < 0\), la parabole est tournée vers le bas : \(B\) admet un maximum.
\[\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{46}{2 \times (-0{,}23)} = 100.\]
\(B\) est croissante sur \([0\,;\,100]\), décroissante sur \([100\,;\,150]\).
\(-0{,}23x^2 + 46x - 300 = k \implies -0{,}23x^2 + 46x - (300 + k) = 0\).
Si \(\Delta < 0\) : impossible d'atteindre \(k\).
Être rentable signifie \(B(x) > 0\). Résoudre \(B(x) = 0\) pour trouver les bornes.
Soit \(m\) un réel. On considère la fonction \(f_m\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points distincts \(\iff\) l'équation \(f_m(x) = 0\) admet deux solutions réelles distinctes \(\iff \Delta > 0\).
Ici : \(a = 4\), \(b = 5 - m\), \(c = m\).
\[\Delta = (5-m)^2 - 4 \times 4 \times m = (5-m)^2 - 16m.\]
Développer, simplifier, puis résoudre l'inéquation \(\Delta > 0\) en \(m\).
Le bénéfice journalier (en milliers d'€) pour \(x\) milliers de stylos est :
Si \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines de \(ax^2 + bx + c = 0\) :
\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}.\]
Connaissant \(x_1\) et la somme, déduire \(x_2 = (x_1+x_2) - x_1\).
Soit \(f\) et \(g\) les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par :
On note \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) leurs courbes représentatives dans un repère orthogonal.
Poser \(h(x) = f(x) - g(x)\), puis étudier le signe de \(h\) :
\(\alpha = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
\(\beta = f\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = 2 \times \dfrac{1}{4} - 1 - 12 = \dfrac{1}{2} - 13 = -\dfrac{25}{2}\).
Un produit est nul si l'un des facteurs est nul. Résoudre :
Retrouvez les signes de chaque paramètre sur le graphique.
\(\Delta = (2m+3)^2 - 4m^2 = 0\). Développer et résoudre.
On considère l'équation :
Pour \(ax^2 + bx + c = 0\) :
\[\alpha + \beta = -\frac{b}{a} \qquad \text{et} \qquad \alpha\beta = \frac{c}{a}.\]
Ici \(a = 2\), \(b = -4\), \(c = -1\).
\[\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}\]
Identité à retenir :
\[\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta.\]
Identité :
\[(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta.\]
Comme \(\alpha > \beta\), on a \(\alpha - \beta = \sqrt{(\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta}\).
Soit \(P\) un polynôme de degré 3 défini sur \(\mathbb{R}\) par \(P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). On admet qu'il existe une racine \(\alpha\) de \(P\).
Par définition, \(\alpha\) est racine de \(P\) signifie \(P(\alpha) = 0\).
Donc \(P(x) - P(\alpha) = P(x) - 0 = P(x)\). ✓
\(P(x) - P(\alpha) = (ax^3 + bx^2 + cx + d) - (a\alpha^3 + b\alpha^2 + c\alpha + d)\)
\(= a(x^3 - \alpha^3) + b(x^2 - \alpha^2) + c(x - \alpha)\).
Développer \((x - \alpha)(x^2 + \alpha x + \alpha^2)\) :
\[= x^3 + \alpha x^2 + \alpha^2 x - \alpha x^2 - \alpha^2 x - \alpha^3 = x^3 - \alpha^3. \checkmark\]
Combiner Q2 et Q3 : mettre \((x - \alpha)\) en facteur dans chaque terme :
Donc \(P(x) = (x - \alpha)\bigl[a(x^2 + \alpha x + \alpha^2) + b(x + \alpha) + c\bigr]\).
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
Calculer \(g(1)\) et vérifier que le résultat est \(0\).
Si \(x_1\) et \(x_2\) sont les deux racines de \(ax^2 + bx + c = 0\) :
\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}.\]
Choisir la formule la plus simple (somme ou produit) pour calculer \(x_2\) connaissant \(x_1 = 1\).
Soit \(f\) la fonction définie par :
\(f\) est définie là où son dénominateur est non nul.
Résoudre \(2x^2 - 6x - 20 = 0\) (diviser par 2 : \(x^2 - 3x - 10 = 0\)).
\(D_f = \mathbb{R} \setminus \{x_1, x_2\}\) où \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines.
Le signe d'une fraction = signe numérateur × signe dénominateur.
Dresser le tableau de signe de chaque facteur séparément, puis multiplier.
\(-2x^3 + 6x^2 + 22x = -2x(x^2 - 3x - 11)\)… Chercher une factorisation.
Ou mettre \(x\) en facteur : \(-2x^3 + 6x^2 + 22x = x(-2x^2 + 6x + 22)\).
Soit \(x\) un réel de l'intervalle \([0\,;\,6]\). On considère un carré \(ABEF\) de côté \(x\), et le triangle \(EFG\) isocèle en \(G\), dont la base \(EF = x\) et la hauteur depuis \(G\) vaut \(6\) (la hauteur du rectangle global).
\(\mathcal{A}_{\text{carré}} = x^2\).
\(\mathcal{A}_{\text{triangle}} = \dfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} = \dfrac{1}{2} \times x \times 6 = 3x\).
Condition : \(x^2 \geqslant 3x\), soit \(x^2 - 3x \geqslant 0\).
Factoriser : \(x(x - 3) \geqslant 0\).
Tableau de signe, puis intersectionner avec \([0\,;\,6]\).
On considère le programme Python suivant :
def inequation(a, b, c, x): if a*x**2 + b*x + c < 0: solution = True else: solution = False return solution
inequation.inequation(1, 1, 1, -2)inequation(-2, 3, -1, 2)
Les paramètres sont les variables entre parenthèses dans la ligne def.
Ici : def inequation(a, b, c, x) → 4 paramètres.
a, b, c : coefficients du trinôme \(ax^2 + bx + c\)x : la valeur à testerPour chaque appel, remplacer les paramètres par les valeurs données et évaluer \(ax^2 + bx + c\).
Si le résultat est \(< 0\) : la fonction renvoie True. Sinon : False.
inequation admet 4 paramètres : a, b, c (coefficients du trinôme \(ax^2+bx+c\)) et x (la valeur réelle à tester). La fonction renvoie True si \(ax^2 + bx + c < 0\), et False sinon.inequation(1, 1, 1, -2)False.inequation(-2, 3, -1, 2)True.Une entreprise produit et vend chaque jour \(x\) montres connectées, avec \(x \in [0\,;\,25]\).
Forme canonique : \(B(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta\) avec \(\alpha = -\dfrac{b}{2a}\), \(\beta = B(\alpha)\).
Utile pour le maximum.
Forme factorisée : \(B(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) où \(x_1, x_2\) sont les racines.
Utile pour le signe.
Avec la forme factorisée \(B(x) = -(x-x_1)(x-x_2)\), le signe de \(B\) se lit directement.
Avec \(B(x) = -(x - \alpha)^2 + \beta\), le maximum est \(\beta\) atteint en \(x = \alpha\).
On considère la fonction polynôme \(p\) de degré 3 définie sur \(\mathbb{R}\) par :
Tester des valeurs entières : \(x \in \{0, \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8\}\) (diviseurs du terme constant).
Développer \((x+1)(ax^2+bx+c)\) et identifier les coefficients avec ceux de \(p(x)\) :
\[(x+1)(ax^2+bx+c) = ax^3 + bx^2 + cx + ax^2 + bx + c.\]
Regrouper les termes de même degré et égaliser avec \(x^3 - 5x^2 + 2x + 8\).
Avec \(p(x) = (x+1) \cdot Q(x)\), résoudre \(p(x) = 0\) revient à résoudre :
\[(x + 1) = 0 \quad \text{ou} \quad Q(x) = 0.\]
© 2025 Pierre Carrée · Nantes — Tous droits réservés