Pierre Carrée — Probabilités Conditionnelles

Travail interactif · CH. 07

Exercices guidés sur les probabilités conditionnelles

Sélectionne un exercice, lis l'énoncé à gauche, déroule les méthodes à droite, puis vérifie avec la correction complète.

Choisir un exercice

EXERCICE 0

Tableau de contingence et arbre pondéré

Formules de base

EXERCICE 1

Rappel des formules fondamentales

Mémoriser

EXERCICE 2

Calculs avec des fractions

5 probabilités

EXERCICE 3

Les salades bio — 3 agriculteurs

Noté · Bayes

EXERCICE 4

Le restaurateur — macarons, tarte, café

Prob. totales

EXERCICE 5

Stress en entreprise + indépendance

5 questions

EXERCICE 6

Test d'allergie — paramètre \(x\)

Difficile

EXERCICE 7

Urne à \(n\) boules bleues — équation

Difficile

EXERCICE 0

Tableau de contingence et arbre pondéré

Formules de baseTableau · Arbre · Prob. totales

Énoncé

On donne les événements \(A\) et \(B\) tels que :

\[P(A) = 0{,}2 \qquad P(B) = 0{,}4 \qquad P(A \cup B) = 0{,}5\]

1a.

Calculer \(P(A \cap B)\).

1b.

Compléter le tableau de contingence.

	\(A\)	\(\bar{A}\)	Total
\(B\)
\(\bar{B}\)
Total

Calculer \(P_A(B)\), \(P_B(A)\) et \(P_A(\bar{B})\).

Méthodes de cours

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

D'où : \(P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)\).

Le tableau a 4 cases internes. Les totaux lignes et colonnes sont connus ou calculés.

Chaque ligne et colonne doit sommer correctement. Partir des données connues.

💡 La case \(A \cap B\) vient de la question 1a. Les autres se déduisent par soustraction.

\[P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \qquad P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]

\[P_A(\bar{B}) = 1 - P_A(B)\]

💡 On lit \(P_A(B)\) : « probabilité de \(B\) sachant \(A\) ». Le dénominateur est toujours la probabilité de l'événement conditionné.

Correction complète

1a. — \(P(A \cap B)\)

\(P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0{,}2 + 0{,}4 - 0{,}5\).

\(P(A \cap B) = 0{,}1\)

1b. — Tableau de contingence

	\(A\)	\(\bar{A}\)	Total
\(B\)	0,1	0,3	0,4
\(\bar{B}\)	0,1	0,5	0,6
Total	0,2	0,8	1

2. — Probabilités conditionnelles

\(P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{0{,}1}{0{,}2} = 0{,}5\).

\(P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}1}{0{,}4} = 0{,}25\).

\(P_A(\bar{B}) = 1 - P_A(B) = 1 - 0{,}5 = 0{,}5\).

\(P_A(B) = 0{,}5\) · \(P_B(A) = 0{,}25\) · \(P_A(\bar{B}) = 0{,}5\)

Partie B — Formule des probabilités totales

Sur un arbre, la probabilité d'un chemin se calcule en multipliant les probabilités des branches le long de ce chemin. La somme des probabilités sur toutes les branches issues d'un même nœud vaut 1. On obtient \(P(A)\) en additionnant les probabilités de tous les chemins aboutissant à \(A\).

Exercice 0 / 8

EXERCICE 1

Rappel des deux formules fondamentales

À mémoriser

Énoncé

Rappeler les formules permettant d'obtenir \(P(A \cap B)\).

Rappeler la formule permettant d'obtenir \(P_B(A)\).

Les formules clés

Pour la probabilité de l'intersection :

\[P(A \cap B) = P_A(B) \times P(A) = P_B(A) \times P(B)\]

C'est la formule qu'on utilise sur un arbre pondéré : probabilité d'un chemin = produit des probabilités.

\[P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]

💡 Retenir : le dénominateur est toujours la probabilité de l'événement en indice (celui qu'on « sait »).

Correction

1) \(P(A \cap B)\)

\[P(A \cap B) = P_A(B) \times P(A) = P_B(A) \times P(B)\]

2) \(P_B(A)\)

\[P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]

Exercice 1 / 8

EXERCICE 2

Calculs de probabilités avec des fractions

5 probabilités à calculerFractions

Énoncé

On donne :

\[P(\bar{A}) = \frac{1}{3} \qquad P(B) = \frac{1}{4} \qquad P(A \cap B) = \frac{3}{16}\]

Citez la formule utilisée avant chaque calcul.

Calculer \(P(A)\).

Calculer \(P(A \cup B)\).

Calculer \(P_A(B)\).

Calculer \(P_B(A)\).

Calculer \(P_A(\bar{B})\).

Méthodes

\[P(A) = 1 - P(\bar{A})\]

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

💡 Mettre au même dénominateur pour additionner les fractions.

\(P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\), \(P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\).

💡 Diviser par une fraction = multiplier par son inverse.

\[P_A(\bar{B}) = 1 - P_A(B)\]

Correction complète

1. \(P(A)\)

\(P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\).

\(P(A) = \dfrac{2}{3}\)

2. \(P(A \cup B)\)

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{16}\).
Dénominateur commun 48 : \(\dfrac{32}{48} + \dfrac{12}{48} - \dfrac{9}{48} = \dfrac{35}{48}\).

\(P(A \cup B) = \dfrac{35}{48}\)

3. \(P_A(B)\)

\(P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{3/16}{2/3} = \dfrac{3}{16} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{32}\).

\(P_A(B) = \dfrac{9}{32}\)

4. \(P_B(A)\)

\(P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{3/16}{1/4} = \dfrac{3}{16} \times 4 = \dfrac{12}{16} = \dfrac{3}{4}\).

\(P_B(A) = \dfrac{3}{4}\)

5. \(P_A(\bar{B})\)

\(P_A(\bar{B}) = 1 - P_A(B) = 1 - \dfrac{9}{32} = \dfrac{23}{32}\).

\(P_A(\bar{B}) = \dfrac{23}{32}\)

Exercice 2 / 8

EXERCICE 3

Les salades bio — 3 agriculteurs

Représenter · Calculer · Communiquer Arbre pondéré · Partition · Probabilités totales · Bayes

Énoncé

Un commerçant local se fournit chez 3 agriculteurs pour vendre des salades. 30% de ses salades viennent de l'agriculteur 1, 50% de l'agriculteur 2 et 20% de l'agriculteur 3. Les salades sont bios ou non. 50% des salades de l'agriculteur 1 sont bios, 20% des salades de l'agriculteur 2 ne sont pas bios et 40% de celles de l'agriculteur 3 sont bios.

On choisit au hasard une salade chez le commerçant local. On notera les événements suivants :

\(A_1\) : "la salade provient de l'agriculteur 1"
\(A_2\) : "la salade provient de l'agriculteur 2"
\(A_3\) : "la salade provient de l'agriculteur 3"
\(B\) : "la salade est bio"

Représenter par un arbre pondéré.

Calculer la probabilité de choisir une salade bio provenant de l'agriculteur 1.

3a.

Justifier que les événements \(A_1, A_2, A_3\) forment une partition de l'univers.

3b.

En déduire la probabilité de choisir une salade bio.

Calculer la probabilité de choisir une salade provenant de l'agriculteur 1 sachant que la salade est bio.

Calculer la probabilité d'avoir une salade bio ou provenant de l'agriculteur 1.

Méthodes

1er rang2e rangProduit

A₁ — 0,3

B — 0,5→ 0,3 × 0,5 = 0,15

B̄ — 0,5→ 0,3 × 0,5 = 0,15

A₂ — 0,5

B — 0,8→ 0,5 × 0,8 = 0,40

B̄ — 0,2→ 0,5 × 0,2 = 0,10

A₃ — 0,2

B — 0,4→ 0,2 × 0,4 = 0,08

B̄ — 0,6→ 0,2 × 0,6 = 0,12

Attention : A₂ a 20% de salades non-bios, donc P_{A₂}(B) = 1 − 0,20 = 0,80.

\[P(B) = P(A_1 \cap B) + P(A_2 \cap B) + P(A_3 \cap B)\]

= \(P(A_1) \cdot P_{A_1}(B)\) + \(P(A_2) \cdot P_{A_2}(B)\) + \(P(A_3) \cdot P_{A_3}(B)\)

\[P_B(A_1) = \frac{P(A_1 \cap B)}{P(B)}\]

💡 Bayes : on connaît le résultat (\(B\)) et on cherche quelle cause (\(A_1, A_2\) ou \(A_3\)) l'a produit.

Correction complète

1. Arbre pondéré

2. \(P(A_1 \cap B)\)

\(P(A_1 \cap B) = P(A_1) \times P_{A_1}(B) = 0{,}3 \times 0{,}5\).

\(P(A_1 \cap B) = 0{,}15\)

3a. Partition de l'univers

Les événements sont deux à deux disjoints : \(A_1 \cap A_2 = A_2 \cap A_3 = A_1 \cap A_3 = \emptyset\) (une salade ne peut venir que d'un seul agriculteur).
Leur union couvre l'univers : \(A_1 \cup A_2 \cup A_3 = \Omega\) (30% + 50% + 20% = 100%).
Donc \(A_1, A_2, A_3\) forment une partition de \(\Omega\). ✓

3b. \(P(B)\) — probabilités totales

\(P(B) = P(A_1 \cap B) + P(A_2 \cap B) + P(A_3 \cap B)\)
\(= 0{,}15 + 0{,}5 \times 0{,}8 + 0{,}2 \times 0{,}4\)
\(= 0{,}15 + 0{,}40 + 0{,}08\).

\(P(B) = 0{,}63\) — la probabilité de choisir une salade bio est de 63%.

4. \(P_B(A_1)\) — Bayes

\(P_B(A_1) = \dfrac{P(A_1 \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}15}{0{,}63} = \dfrac{15}{63} = \dfrac{5}{21}\).

\(P_B(A_1) = \dfrac{5}{21} \approx 0{,}238\)

5. \(P(B \cup A_1)\)

\(P(B \cup A_1) = P(B) + P(A_1) - P(B \cap A_1) = 0{,}63 + 0{,}30 - 0{,}15 = 0{,}78\).

\(P(B \cup A_1) = 0{,}78\)

Exercice 3 / 8

EXERCICE 4

Le restaurateur — macarons, tarte et café

Probabilités totales · BayesFraction irréductible

Énoncé

Un restaurateur propose à sa carte 2 desserts différents :

Le premier dessert est un assortiment de macarons et est choisi par 40% des clients,
Le 2nd dessert est une part de tarte et est choisi par 30% des clients.

Les autres clients ne prennent pas de dessert Aucun client ne prend plusieurs desserts.

Le restaurateur a remarqué que 70% des clients qui ont pris un assortiment de macarons commandent ensuite un café, 40% de ceux qui ont pris une part de tarte demandent par la suite un café et 90% de ceux qui ne prennent pas de dessert terminent leur repas par un café.

On interroge au hasard un client et on note :

M : « le client prend un assortiment de macarons »,
T : « le client prend une part de tarte »,
N : « Le client ne prend pas de dessert »,
C : « le client prend un café ».

Construire l'arbre de probabilité.

Définir par une phrase \(P(T \cap C)\) et \(P_M(C)\).

Calculer \(P(T \cap C)\) puis \(P(C)\).

Sachant que le client a pris un café, quelle est la probabilité qu'il ait pris une tarte ? Résultat en fraction irréductible.

Méthodes

M — 0,4

C — 0,7→ 0,4×0,7 = 0,28

C̄ — 0,3→ 0,4×0,3 = 0,12

T — 0,3

C — 0,4→ 0,3×0,4 = 0,12

C̄ — 0,6→ 0,3×0,6 = 0,18

N — 0,3

C — 0,9→ 0,3×0,9 = 0,27

C̄ — 0,1→ 0,3×0,1 = 0,03

💡 \(P(N) = 1 - 0{,}4 - 0{,}3 = 0{,}3\) (les autres clients).

\(P_C(T) = \dfrac{P(T \cap C)}{P(C)}\).

💡 Vérifier si la fraction est irréductible : chercher le PGCD de numérateur et dénominateur.

Correction complète

1. Arbre de probabilités

2. Définitions

\(P(T \cap C)\) : probabilité qu'un client choisisse une part de tarte ET un café.
\(P_M(C)\) : probabilité qu'un client choisisse un café sachant qu'il a pris des macarons.

3. \(P(T \cap C)\) et \(P(C)\)

\(P(T \cap C) = P(T) \times P_T(C) = 0{,}3 \times 0{,}4 = 0{,}12\).

\(M, T, N\) forment une partition de \(\Omega\). Probabilités totales :
\(P(C) = P(M \cap C) + P(T \cap C) + P(N \cap C)\)
\(= 0{,}4 \times 0{,}7 + 0{,}12 + 0{,}3 \times 0{,}9 = 0{,}28 + 0{,}12 + 0{,}27\).

\(P(T \cap C) = 0{,}12\) · \(P(C) = 0{,}67\)

4. \(P_C(T)\)

\(P_C(T) = \dfrac{P(T \cap C)}{P(C)} = \dfrac{0{,}12}{0{,}67} = \dfrac{12}{67}\).
PGCD(12, 67) = 1 (67 est premier) : la fraction est irréductible.

La probabilité qu'un client ayant pris un café ait commandé une tarte est \(\dfrac{12}{67}\).

Exercice 4 / 8

EXERCICE 5

Stress en entreprise — probabilités totales, Bayes et indépendance

5 questionsProb. totales · Bayes · Indépendance

Énoncé

Une entreprise financière est divisée en deux secteurs :

65% de son personnel travaille dans le secteur A;
35% dans le secteur B.

Cette entreprise s'intéresse au niveau du stress de son personnel. Une enquête, menée sous forme de questionnaire informatisé, est réalisé au sein de l'entreprise. Le questionnaire est proposé de manière anonyme aux salariés des deux secteurs. Cette enquête révèle que pour le secteur A, 20% du personnel se dit stressé tandis que pour le secteur B, ce taux est de 30%. On choisit au hasard le questionnaire d'un employé de l'entreprise, chacun ayant la même probabilité d'être choisi.

On note :

A l'événement « le questionnaire est celui d'un employé du secteur A. »
B l'événement « le questionnaire est celui d'un employé du secteur B. »
S l'événement « le questionnaire est celui d'un employé stresse. »

Construire un arbre pondéré.

Calculer la probabilité que le questionnaire choisi soit celui d'un employé qui travaille dans le secteur B et qui est stressé.

L'entreprise examine l'opportunité d'installer une salle de relaxation. Si le taux d'employés stressés est strictement supérieur à 25%, la salle sera installée. L'entreprise implantera-t-elle la salle de relaxation ? Justifier la réponse.

Le questionnaire choisi est celui d'un employé stressé. Quelle est la probabilité qu'il travaille dans le secteur A ? Arrondir au centième.

Athénaïs, employée par cette entreprise, a deux méthodes de relaxation. Le choix de ces deux méthodes est indépendant l'une de l'autre. On note :

E l'événement « Athénaïs fait du coloriage. »
F l'événement « Athénaïs pratique une séance de yoga. »

Elle choisit la méthode de relaxation par le yoga avec une probabilité de \(P(F)= \frac{2}{5}\).

La probabilité qu'elle fasse les deux est de \(\frac{1}{10}\).

Déterminer alors la probabilité qu'Athénaïs choisisse le coloriage.

Méthodes

A — 0,65

S — 0,20→ 0,65×0,20 = 0,13

S̄ — 0,80→ 0,65×0,80 = 0,52

B — 0,35

S — 0,30→ 0,35×0,30 = 0,105

S̄ — 0,70→ 0,35×0,70 = 0,245

Si \(E\) et \(F\) sont indépendants :

\[P(E \cap F) = P(E) \times P(F)\]

Donc : \(P(E) = \dfrac{P(E \cap F)}{P(F)}\).

Correction complète

1. Arbre pondéré

2. \(P(B \cap S)\)

\(P(B \cap S) = P(B) \times P_B(S) = 0{,}35 \times 0{,}30\).

\(P(B \cap S) = 0{,}105\)

3. Salle de relaxation

\(A\) et \(B\) forment une partition de \(\Omega\). Probabilités totales :
\(P(S) = P(A \cap S) + P(B \cap S) = 0{,}65 \times 0{,}20 + 0{,}105 = 0{,}13 + 0{,}105 = 0{,}235\).
Or \(0{,}235 < 0{,}25\).

La salle de relaxation ne sera PAS installée. (\(P(S) = 0{,}235 \leqslant 0{,}25\))

4. \(P_S(A)\)

\(P_S(A) = \dfrac{P(A \cap S)}{P(S)} = \dfrac{0{,}13}{0{,}235} = \dfrac{13}{23{,}5} = \dfrac{26}{47}\).

\(P_S(A) = \dfrac{26}{47} \approx 0{,}55\)

5. Indépendance — probabilité du coloriage

\(E\) et \(F\) indépendants : \(P(E \cap F) = P(E) \times P(F)\).
\(P(E) = \dfrac{P(E \cap F)}{P(F)} = \dfrac{1/10}{2/5} = \dfrac{1}{10} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{5}{20}\).

\(P(E) = \dfrac{1}{4}\) — la probabilité qu'Athénaïs choisisse le coloriage est \(\dfrac{1}{4}\).

Exercice 5 / 8

EXERCICE 6

Test d'allergie — paramètre \(x = P(A)\), démonstration et Bayes

Difficile Paramètre · Equation · Bayes Résultats à 10⁻³

Énoncé

Test sanguin pour allergie. Résultats :

Les probabilités demandées seront données à 10-3 près.

Pour aider à la détection de certaines allergies, on peut proceder à un test sanguin dont le résultat est soit positif, soit négatif. Dans une population, ce test donne les résultats suivants :

Si un individu est allergique, le test est positif dans 97% des cas;
Si un individu n'est pas allergique, le test est négatif dans 95,7% des cas.

Par ailleurs, 20% des individus de la population concernée présentent un test positif. On choisit au hasard un individu dans la population, et on note:

A l'événement « l'individu est allergique»;
T l'événement « l'individu présente un test positif. »

On notera \( \bar{A} \text{ et } \bar{T} \) les événements contraires de A et T. On appelle par ailleurs \(x\) la probabilité de l'événement \(A : x =P(A)\).

Compléter l'arbre pondéré (en fonction de \(x\)).

2a.

Démontrer que \(P(T) = 0{,}927x + 0{,}043\).

2b.

En déduire la probabilité que l'individu choisi soit allergique.

Justifier par un calcul l'affirmation suivante : « Si le test est positif, il y a plus de 80% de chances d'être allergique. »

Méthodes

Si \(P(A)=x\) alors \(P(\bar{A})=1-x\)

Probabilités totales (\(A\) et \(\bar{A}\) forment une partition) :

\(P(T) = P(A)\cdot P_A(T) + P(\bar{A})\cdot P_{\bar{A}}(T)\)
\(= 0{,}97x + (1-x)\cdot 0{,}043\)
\(= 0{,}97x + 0{,}043 - 0{,}043x\).
Simplifier \(0{,}97 - 0{,}043 = 0{,}927\).

\[P_T(A) = \frac{P(A \cap T)}{P(T)}\]

Remplacer \(x\) par la valeur trouvée en 2b.

Correction complète

1. Arbre de probabilités

2a. Démonstration

\(A\) et \(\bar{A}\) forment une partition de \(\Omega\). Probabilités totales :
\(P(T) = P(A)\cdot P_A(T) + P(\bar{A})\cdot P_{\bar{A}}(T)\)
\(= x \times 0{,}97 + (1-x) \times 0{,}043\)
\(= 0{,}97x + 0{,}043 - 0{,}043x\)
\(= (0{,}97 - 0{,}043)x + 0{,}043\).
\[P(T) = 0{,}927x + 0{,}043 \quad \checkmark\]

2b. Trouver \(x\)

D'après l'énoncé, \(P(T) = 0{,}20\). Donc :
\(0{,}927x + 0{,}043 = 0{,}2\)
\(0{,}927x = 0{,}157\)
\(x = \dfrac{0{,}157}{0{,}927} \approx 0{,}169\).

\(P(A) \approx 0{,}169\) — environ 16,9% de la population est allergique.

3. Justification \(P_T(A) > 0{,}80\)

\(P_T(A) = \dfrac{P(A \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}97 \times 0{,}169}{0{,}2} = \dfrac{0{,}16393}{0{,}2} \approx 0{,}820\).
Or \(0{,}820 > 0{,}80\).

Si le test est positif, la probabilité d'être allergique est d'environ 82% \(> 80\%\). ✓

Exercice 6 / 8

EXERCICE 7

Urne à \(n\) boules bleues — indépendance et équation du second degré

Difficile Indépendance · Avec remise · Équation 2nd degré

Énoncé

Une urne contient 12 boules indiscernables au toucher dont \(n\) bleues.

On tire successivement deux boules au hasard avec remise. On nomme \(B_1\) l’évènement « Tirer une boule bleue lors du premier tirage » et \(B_2\) l’évènement « Tirer une boule bleue lors du deuxième tirage ».

Pourquoi s’agit-il d’une succession de deux épreuves indépendantes ?

Dresser un arbre pondéré de cette situation.

Démontrer que la probabilité d'obtenir au moins une boule bleue est \(\dfrac{24n - n^2}{144}\).

Combien doit-il y avoir de boules bleues dans l’urne pour que la probabilité d’obtenir au moins une boule bleue soit égale à \(\dfrac{8}{9}\).

Méthodes

Le tirage est avec remise : après chaque tirage, la boule est remise dans l'urne. La composition de l'urne ne change pas entre les deux tirages.

Donc \(P(B_2)\) ne dépend pas du résultat du 1er tirage : les épreuves sont indépendantes.

B₁ — \(\frac{n}{12}\)

B₂ — \(\frac{n}{12}\)→ \(\frac{n^2}{144}\)

B̄₂ — \(\frac{12-n}{12}\)→ \(\frac{n(12-n)}{144}\)

B̄₁ — \(\frac{12-n}{12}\)

B₂ — \(\frac{n}{12}\)→ \(\frac{n(12-n)}{144}\)

B̄₂ — \(\frac{12-n}{12}\)→ \(\frac{(12-n)^2}{144}\)

« Au moins une bleue » = contraire de « aucune bleue ».

\[P(\geqslant 1 \text{ bleue}) = 1 - P(\bar{B}_1 \cap \bar{B}_2) = 1 - \left(\frac{12-n}{12}\right)^2\]

💡 Beaucoup plus rapide que d'additionner les 3 chemins « au moins une bleue ».

Résoudre \(\dfrac{24n-n^2}{144} = \dfrac{8}{9}\). Ramener au même dénominateur, puis résoudre le trinôme en \(n\).

⚠️ Contrainte : \(n\) doit être un entier avec \(0 \leqslant n \leqslant 12\). Rejeter la solution hors domaine.

Correction complète

1. Indépendance

La boule est remise dans l'urne après chaque tirage, donc la composition de l'urne est identique à chaque tirage. Le résultat du 1er tirage n'influence pas le 2e. Les deux épreuves sont indépendantes.

1. Arbre de probabilités

3. Démonstration par l'événement contraire

L'événement contraire de « au moins une bleue » est « aucune boule bleue » = \(\bar{B}_1 \cap \bar{B}_2\).

Par indépendance : \(P(\bar{B}_1 \cap \bar{B}_2) = P(\bar{B}_1) \times P(\bar{B}_2) = \dfrac{12-n}{12} \times \dfrac{12-n}{12} = \dfrac{(12-n)^2}{144}\).

\(P(\geqslant 1 \text{ bleue}) = 1 - \dfrac{(12-n)^2}{144} = \dfrac{144 - (12-n)^2}{144}\).

\(144 - (144 - 24n + n^2) = 24n - n^2\). \[\boxed{P(\geqslant 1 \text{ bleue}) = \frac{24n - n^2}{144}} \quad \checkmark\]

4. Résolution — trouver \(n\)

\(\dfrac{24n - n^2}{144} = \dfrac{8}{9}\).
Dénominateur commun 144 : \(\dfrac{8}{9} = \dfrac{128}{144}\).
Donc \(24n - n^2 = 128\), soit \(n^2 - 24n + 128 = 0\).

\(\Delta = 576 - 4 \times 128 = 576 - 512 = 64\). \(\sqrt{\Delta} = 8\).
\(n_1 = \dfrac{24 - 8}{2} = 8\) et \(n_2 = \dfrac{24 + 8}{2} = 16\).

Comme \(n \leqslant 12\), on rejette \(n_2 = 16\).

Il faut \(n = 8\) boules bleues dans l'urne pour que la probabilité d'obtenir au moins une boule bleue soit \(\dfrac{8}{9}\).

Exercice 7 / 8

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