Symétrie axiale
Sur la figure ci-dessous, $(d)$ est une droite, $W$ un point n'appartenant pas à $(d)$, et $Z$ un point appartenant à $(d)$.
- Que représente la droite $(d)$ pour le segment $[WW']$ ?
- Quel est le symétrique du point $Z$ par rapport à $(d)$ ?
On utilise la définition du symétrique d'un point.
1. Comme $W'$ est le symétrique de $W$ par rapport à $(d)$, la droite $(d)$ est la médiatrice du segment $[WW']$.
2. Le point $Z$ appartient à $(d)$ : son symétrique par rapport à $(d)$ est lui-même.
On souhaite construire le symétrique $X'$ du point $X$ par rapport à la droite $(d)$, à l'aide d'une équerre.
Décrire les étapes de cette construction.
On utilise la méthode de construction avec une équerre.
On trace, à l'aide de l'équerre, la perpendiculaire à $(d)$ passant par $X$ (le petit carré marque l'angle droit). On reporte ensuite, avec une règle graduée ou un compas, la même distance de l'autre côté de $(d)$ pour placer $X'$, de sorte que $(d)$ soit la médiatrice de $[XX']$.
Sur la figure ci-dessous, le quadrilatère $U'V'W'X'$ est le symétrique du quadrilatère $UVWX$ par rapport à la droite $(d)$.
Le point $V$ est-il le symétrique du point $V'$ par rapport à $(d)$ ? Justifier.
On utilise la propriété de réciprocité de la symétrie axiale.
Oui. Si $V'$ est le symétrique de $V$ par rapport à $(d)$, alors $V$ est aussi le symétrique de $V'$ par rapport à $(d)$ : les deux points sont symétriques l'un de l'autre.
Les triangles $DEF$ et $D'E'F'$ ci-dessous sont symétriques par rapport à la droite $(d)$, avec $\widehat{DFE}=58°$.
Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{D'F'E'}$ ? Justifier.
La symétrie axiale conserve les mesures des angles.
Comme les triangles $DEF$ et $D'E'F'$ sont symétriques par rapport à $(d)$, on a $\widehat{D'F'E'}=\widehat{DFE}=58°$.
- Les points $G$, $H$ et $I$ sont alignés. On construit leurs symétriques $G'$, $H'$ et $I'$ par rapport à une droite $(d)$. Que peut-on affirmer à leur sujet ?
- Un cercle $\mathcal{C}$ a un rayon de $4{,}5$ cm. Quel est le rayon de son symétrique $\mathcal{C}'$ par rapport à une droite $(d)$ ?
1. La symétrie axiale conserve les alignements.
Les points $G'$, $H'$ et $I'$ sont eux aussi alignés.
2. Le symétrique d'un cercle par rapport à une droite est un cercle de même rayon.
Le rayon de $\mathcal{C}'$ est également $4{,}5$ cm.
- Combien d'axes de symétrie possède un segment ? Les nommer.
- La bissectrice d'un angle $\widehat{xOy}$ qui mesure $96°$ partage cet angle en deux angles égaux. Quelle est la mesure de chacun de ces angles ?
1. On utilise la propriété du cours sur les axes de symétrie d'un segment.
Un segment possède deux axes de symétrie : sa médiatrice, et la droite portée par le segment.
2. La bissectrice partage l'angle en deux angles de même mesure.
Chacun des deux angles mesure $48°$.
La figure ci-dessous admet la droite $(d)$ comme axe de symétrie. La compléter.
On construit le symétrique de chaque élément (le segment vertical et le petit triangle) par rapport à $(d)$, en conservant les longueurs.