Droites et cercles
Les points $P$, $Q$ et $R$ sont alignés, avec $QR = 5{,}2$ cm.
- $P$ appartient-il à la droite $(QR)$ ? au segment $[QR]$ ? Compléter avec $\in$ ou $\notin$.
- Donner la valeur de $QR$.
1. $P$ est sur la même ligne que $Q$ et $R$, mais en dehors de la partie comprise entre eux.
$P \in (QR)$ mais $P \notin [QR]$.
2. La distance $QR$ est indiquée sur la figure.
$QR = 5{,}2$ cm.
$K$ est le milieu du segment $[GH]$, avec $GH = 7{,}4$ cm.
Calculer les longueurs $GK$ et $KH$.
Le milieu partage le segment en deux parties égales.
$GK = KH = 3{,}7$ cm.
Pour chaque situation, préciser si les deux droites sont sécantes (sans être perpendiculaires), perpendiculaires, ou parallèles.
- Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ se coupent en un point, en formant un angle de $90°$.
- Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ ne se coupent jamais, aussi loin qu'on les prolonge.
- Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ se coupent en un point, en formant un angle de $50°$.
On utilise les définitions du cours pour chaque cas.
1. Un angle de $90°$ à l'intersection signifie que les droites sont perpendiculaires (elles sont donc aussi sécantes).
2. Des droites qui ne se coupent jamais sont parallèles.
3. Les droites se coupent, mais pas à angle droit : elles sont sécantes (sans être perpendiculaires).
On considère le cercle de centre $O$ et de rayon $4$ cm, ci-dessous, avec les points $A$, $B$ et $C$ tels que $OA = 4$ cm, $OB = 2{,}5$ cm et $OC = 5$ cm.
- Quel(s) point(s) appartien(nent) au cercle ?
- Quel(s) point(s) appartien(nent) au disque de centre $O$ et de rayon $4$ cm ?
Le cercle regroupe les points à distance exactement $4$ cm de $O$ ; le disque regroupe ceux à distance inférieure ou égale à $4$ cm.
1. Seul $A$ appartient au cercle, car $OA = 4$ cm est égal au rayon.
2. $A$ et $B$ appartiennent au disque ($OA = 4$ cm et $OB = 2{,}5$ cm $\leqslant 4$ cm). $C$ n'appartient pas au disque car $OC = 5$ cm $> 4$ cm.
Le cercle ci-dessous a pour centre $O$ et pour rayon $5$ cm. $[PQ]$ est un diamètre et $[MN]$ est une corde.
- Quelle est la longueur du diamètre $[PQ]$ ?
- Sans la mesurer, expliquer pourquoi la corde $[MN]$ ne peut pas être plus longue que le diamètre $[PQ]$.
1. Le diamètre est égal au double du rayon.
$PQ = 10$ cm.
2. On applique la propriété du cours sur les cordes.
Le diamètre d'un cercle est toujours supérieur ou égal à la longueur de toutes les cordes de ce cercle. La corde $[MN]$ ne peut donc pas dépasser $10$ cm.
On sait que $(d_1)\,/\!/\,(d_3)$ et que $(d_2)\perp(d_3)$.
Que peut-on dire des droites $(d_1)$ et $(d_2)$ ? Justifier.
$(d_1)$ est parallèle à $(d_3)$, et $(d_2)$ est perpendiculaire à $(d_3)$.
Une droite perpendiculaire à l'une de deux droites parallèles est perpendiculaire à l'autre. Comme $(d_2)\perp(d_3)$ et $(d_1)\,/\!/\,(d_3)$, on peut donc conclure que $(d_2)\perp(d_1)$.
On considère le segment $[ST]$, avec $ST = 8$ cm. Le point $W$ vérifie $WS = WT = 6{,}5$ cm.
- Le point $W$ appartient-il à la médiatrice du segment $[ST]$ ? Justifier.
- La droite $(d)$ tracée sur la figure passe par le milieu de $[ST]$ et lui est perpendiculaire. Que représente-t-elle ?
1. La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants de ses extrémités.
Comme $WS = WT$, le point $W$ est équidistant de $S$ et de $T$ : il appartient donc à la médiatrice de $[ST]$.
2. On utilise la définition de la médiatrice.
$(d)$ est perpendiculaire à $[ST]$ et passe par son milieu : c'est donc la médiatrice du segment $[ST]$ (et le point $W$ doit se trouver dessus).