Fractions — Exercices corrigés (Sixième) | Pierre Carrée
Sixième · Chapitre 5

Fractions

Exercices corrigés et approfondis — fraction quotient, comparer des fractions, additionner et soustraire, calculer une proportion.
Ex. 1 — Fraction quotient Ex. 2 — Propriété et simplification Ex. 3 — Comparer et encadrer Ex. 4 — Additionner et soustraire Ex. 5 — Multiplier une fraction Ex. 6 — Proportion en pourcentage Ex. 7 — Calculer un pourcentage
Une fraction $\frac{a}{b}$ est le quotient de $a$ par $b$ : ce n'est pas toujours un nombre décimal. Pour comparer, additionner ou soustraire des fractions, il faut souvent les mettre au même dénominateur. Pour calculer $t\,\%$ d'une quantité, on multiplie cette quantité par $\frac{t}{100}$. Chaque correction s'affiche en cliquant sur le bouton vert.
Exercice 1
Fraction quotient
  1. Montrer, en posant la division, que $\dfrac{23}{4}$ est un nombre décimal.
  2. Montrer, en posant la division, que $\dfrac{7}{9}$ n'est pas un nombre décimal.

1. On pose la division décimale de $23$ par $4$.

2 3 , 0 0 4 5,75 20 - 30 28 - 20 20 - 0

Le reste devient nul : $\dfrac{23}{4} = 5{,}75$. C'est bien un nombre décimal.

2. On pose la division décimale de $7$ par $9$.

7 , 0 0 9 0,77 63 - 70 63 - 7

Le reste $7$ revient sans cesse (on retrouverait toujours $70$, puis $7$) : cette division ne se termine jamais. $\dfrac{7}{9}$ n'est donc pas un nombre décimal (on a $\dfrac{7}{9}\approx 0{,}78$).

Exercice 2
Propriété et simplification
  1. Vérifier que $\dfrac{7}{9}$ est bien le nombre qui, multiplié par $9$, donne $7$.
  2. Simplifier la fraction $\dfrac{16}{24}$ en divisant numérateur et dénominateur par $8$.

1. On multiplie $\frac{7}{9}$ par $9$ et on vérifie qu'on retrouve $7$.

\[ \frac{7}{9}\times 9 = 7 \]

C'est bien vérifié.

2. On divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre $8$.

\[ \frac{16}{24} = \frac{16\div 8}{24\div 8} = \frac{2}{3} \]
Exercice 3
Comparer et encadrer
  1. Comparer $\dfrac{9}{5}$ et $\dfrac{4}{5}$.
  2. Comparer $\dfrac{3}{8}$ et $\dfrac{3}{10}$.
  3. Encadrer la fraction $\dfrac{58}{9}$ par deux nombres entiers consécutifs.
5 8 9 6 54 - 4

1. Ces deux fractions ont le même dénominateur : la plus grande a le plus grand numérateur.

$9>4$, donc $\dfrac{9}{5} > \dfrac{4}{5}$.

2. Ces deux fractions ont le même numérateur : la plus grande a le plus petit dénominateur.

$8<10$, donc $\dfrac{3}{8} > \dfrac{3}{10}$.

3. On effectue la division euclidienne de $58$ par $9$.

\[ 58 = (9\times 6) + 4 \]

Le quotient est $6$, donc $6 \leqslant \dfrac{58}{9} < 7$.

Exercice 4
Additionner et soustraire
  1. Calculer $\dfrac{5}{12} + \dfrac{4}{12}$ et $\dfrac{9}{7} - \dfrac{3}{7}$.
  2. Calculer $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}$ (on pourra utiliser le dénominateur commun $12$).
  3. Calculer $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4}$ (même dénominateur commun).

1. Les dénominateurs sont déjà identiques : on additionne (ou soustrait) les numérateurs.

\[ \frac{5}{12}+\frac{4}{12} = \frac{9}{12} \qquad\qquad \frac{9}{7}-\frac{3}{7} = \frac{6}{7} \]

2. On écrit les deux fractions avec le dénominateur commun $12$.

\[ \frac{1}{4}+\frac{1}{6} = \frac{1\times 3}{4\times 3}+\frac{1\times 2}{6\times 2} = \frac{3}{12}+\frac{2}{12} = \frac{5}{12} \]

3. Même démarche pour la soustraction.

\[ \frac{5}{6}-\frac{1}{4} = \frac{5\times 2}{6\times 2}-\frac{1\times 3}{4\times 3} = \frac{10}{12}-\frac{3}{12} = \frac{7}{12} \]
Exercice 5
Multiplier une fraction
  1. Calculer $\dfrac{3}{8}\times 5$.
  2. Un trajet mesure $60$ km. Calculer $\dfrac{3}{4}$ de cette distance.

1. On multiplie le numérateur par $5$ et on garde le dénominateur.

\[ \frac{3}{8}\times 5 = \frac{3\times 5}{8} = \frac{15}{8} \]

2. Pour calculer une fraction d'une quantité, on multiplie la fraction par cette quantité.

\[ \frac{3}{4}\times 60\text{ km} = \frac{3\times 60}{4}\text{ km} = \frac{180}{4}\text{ km} = 45\text{ km} \]

$\dfrac{3}{4}$ du trajet représentent $45$ km.

Exercice 6
Proportion en pourcentage

Dans un club de $32$ adhérents, $24$ pratiquent le tennis.

  1. Écrire la proportion d'adhérents jouant au tennis sous forme de fraction, puis la simplifier.
  2. Exprimer cette proportion en pourcentage.

1. La proportion est le nombre d'adhérents concernés sur le nombre total.

\[ \frac{24}{32} = \frac{24\div 8}{32\div 8} = \frac{3}{4} \]

2. On écrit la fraction simplifiée avec un dénominateur $100$.

\[ \frac{3}{4} = \frac{3\times 25}{4\times 25} = \frac{75}{100} = 75\,\% \]

$75\,\%$ des adhérents du club pratiquent le tennis.

Exercice 7
Calculer un pourcentage

Un article coûte $80$~€. Le magasin annonce une réduction de $35\,\%$.

  1. Calculer le montant de la réduction.
  2. En déduire le nouveau prix de l'article.

1. Pour calculer $35\,\%$ d'une quantité, on la multiplie par $\frac{35}{100}$.

\[ \frac{35}{100}\times 80\text{ €} = \frac{35\times 80}{100}\text{ €} = \frac{2\,800}{100}\text{ €} = 28\text{ €} \]

2. On soustrait la réduction du prix initial.

\[ 80 - 28 = 52 \]

Le nouveau prix de l'article est $52$~€.

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