Division
Poser et effectuer la division euclidienne de $583$ par $14$.
On cherche combien de fois $14$ est contenu dans $583$.
$58$ divisé par $14$ donne $4$ (car $14\times 4=56$), il reste $2$ ; on abaisse le $3$ pour former $23$, puis $23$ divisé par $14$ donne $1$ (car $14\times 1=14$), il reste $9$.
- On souhaite partager équitablement $90$ billes entre $8$ enfants. Combien de billes aura chaque enfant, et combien en restera-t-il ?
- Avec ces mêmes $90$ billes, on souhaite faire des sachets de $8$ billes. Combien de sachets pourra-t-on faire, et combien de billes resteront ?
1. C'est une situation de partage : on connaît le nombre de parts ($8$ enfants) et on cherche la valeur d'une part.
Chaque enfant aura $11$ billes et il en restera $2$.
2. C'est une situation de groupement : on connaît la valeur d'une part ($8$ billes par sachet) et on cherche le nombre de parts.
Le calcul est le même : on pourra faire $11$ sachets de $8$ billes et il restera $2$ billes.
On sait que $13 \times 9 = 117$.
- Citer deux diviseurs de $117$.
- Citer deux multiples de $13$ et deux multiples de $9$.
- $117$ est-il divisible par $13$ ? Justifier sans poser de division.
1. Les diviseurs de $117$ apparaissent directement dans le produit.
$13$ et $9$ sont deux diviseurs de $117$.
2. Un multiple de $13$ (ou de $9$) s'obtient en multipliant $13$ (ou $9$) par un nombre entier.
$117$ est un multiple de $13$ (et $117$ est aussi un multiple de $9$). On peut aussi citer $13\times 2=26$ (multiple de $13$) et $9\times 2=18$ (multiple de $9$).
3. $117$ est divisible par $13$ si la division euclidienne de $117$ par $13$ donne un reste nul.
Comme $117 = 13\times 9$, la division de $117$ par $13$ donne un reste nul : $117$ est bien divisible par $13$ (le quotient est $9$).
- Parmi les nombres $5\,384$ ; $2\,175$ ; $9\,990$ et $3\,467$, lesquels sont divisibles par $2$ ? par $5$ ? par $10$ ?
- Parmi les nombres $58$, $73$, $124$ et $201$, lesquels sont pairs ? lesquels sont impairs ?
1. On regarde uniquement le chiffre des unités de chaque nombre.
$5\,384$ (chiffre des unités $4$) est divisible par $2$ uniquement.
$2\,175$ (chiffre des unités $5$) est divisible par $5$ uniquement.
$9\,990$ (chiffre des unités $0$) est divisible par $2$, par $5$ et par $10$.
$3\,467$ (chiffre des unités $7$) n'est divisible ni par $2$, ni par $5$, ni par $10$.
2. Un nombre pair est un multiple de $2$ (chiffre des unités $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$).
$58$ et $124$ sont pairs. $73$ et $201$ sont impairs.
Poser et effectuer la division de $9{,}36$ par $6$.
$9$ divisé par $6$ donne $1$, il reste $3$ ; on abaisse le $3$ (dixièmes) pour former $33$, qui divisé par $6$ donne $5$ dixièmes (il faut placer la virgule), il reste $3$ ; on abaisse le $6$ (centièmes) pour former $36$, qui divisé par $6$ donne $6$ centièmes, il reste $0$.
On souhaite calculer $13 \div 6$.
- Cette division va-t-elle se terminer ? Justifier.
- Donner l'arrondi au dixième du quotient.
1. On regarde si le reste finit par s'annuler.
Le reste $4$ va se répéter indéfiniment (on retrouverait toujours $40$, puis $4$) : cette division ne se termine jamais. Le quotient de $13$ par $6$ n'est pas un nombre décimal.
2. On regarde le chiffre des centièmes pour arrondir le chiffre des dixièmes.
Le quotient commence par $2{,}16\ldots$ Le chiffre des centièmes ($6$) est supérieur ou égal à $5$, donc on arrondit le chiffre des dixièmes à l'unité supérieure.
On sait que $15 \times 7 = 105$.
- Donner directement le résultat de $105 \div 7$, sans poser de division.
- Donner directement le résultat de $105 \div 15$, sans poser de division.
La division est l'opération inverse de la multiplication.
1. Puisque $15\times 7=105$, en divisant $105$ par $7$ on retrouve l'autre facteur : $105 \div 7 = 15$.
2. De même, en divisant $105$ par $15$ on retrouve le facteur restant : $105 \div 15 = 7$.