Comparaisons et opérations
- Comparer $8{,}4$ et $8{,}6$ à l'aide du symbole $<$ ou $>$. Justifier.
- Comparer $12{,}3$ et $9{,}8$ à l'aide du symbole $<$ ou $>$. Justifier.
1. Les deux nombres ont la même partie entière : on compare les parties décimales.
$8{,}4$ et $8{,}6$ ont la même partie entière $8$. Comme $4<6$, on a $8{,}4 < 8{,}6$.
2. Les parties entières sont différentes : le plus grand est celui qui a la plus grande partie entière.
$12{,}3$ a une partie entière ($12$) plus grande que celle de $9{,}8$ ($9$), donc $12{,}3 > 9{,}8$.
- Encadrer $4{,}72$ à l'unité, puis au dixième.
- Ranger dans l'ordre croissant les nombres $3{,}05$ ; $3{,}5$ ; $3{,}15$ ; $2{,}95$.
- Proposer un nombre décimal compris entre $6{,}2$ et $6{,}3$.
1. On cherche les deux entiers, puis les deux dixièmes qui encadrent le nombre.
À l'unité : $4 < 4{,}72 < 5$. Au dixième : $4{,}7 < 4{,}72 < 4{,}8$.
2. Attention : le nombre de chiffres après la virgule ne donne pas la taille du nombre !
$3{,}5$ a la même partie entière ($3$) que les autres, et sa partie décimale ($5$ dixièmes) est la plus grande de toutes. On obtient l'ordre croissant : $2{,}95 < 3{,}05 < 3{,}15 < 3{,}5$.
3. On cherche un nombre dont la partie décimale est comprise entre $0{,}2$ et $0{,}3$.
Par exemple, $6{,}25$ convient (il en existe une infinité d'autres, comme $6{,}22$ ou $6{,}28$).
On considère le nombre $9{,}143$, placé ci-dessous sur une demi-droite graduée.
- Entre quelles deux valeurs approchées au centième $9{,}143$ est-il compris ?
- De laquelle de ces deux valeurs $9{,}143$ est-il le plus proche ?
- En déduire l'arrondi au centième de $9{,}143$.
1. On repère les deux graduations au centième qui entourent le point.
$9{,}143$ est compris entre $9{,}14$ et $9{,}15$.
2. On compare les écarts entre le nombre et chacune des deux valeurs approchées.
L'écart avec $9{,}14$ est $0{,}003$ ; l'écart avec $9{,}15$ est $0{,}007$. Le nombre $9{,}143$ est donc plus proche de $9{,}14$.
3. L'arrondi au centième est la valeur approchée la plus proche.
L'arrondi au centième de $9{,}143$ est $9{,}14$.
- Poser et calculer $128{,}4 + 56{,}75 + 3{,}9$.
- Poser et calculer $245{,}3 - 89{,}45$.
1. On aligne les virgules ; on peut compléter par des zéros pour avoir le même nombre de chiffres après la virgule.
| 1 | 2 | 8 | , | 4 | 0 | |
| + | 5 | 6 | , | 7 | 5 | |
| + | 3 | , | 9 | 0 | ||
| 1 | 8 | 9 | , | 0 | 5 |
$128{,}4 + 56{,}75 + 3{,}9 = 189{,}05$.
2. On aligne les virgules, on complète par un zéro, et on soustrait à partir de la droite.
| 2 | 4 | 5 | , | 3 | 0 | |
| − | 8 | 9 | , | 4 | 5 | |
| 1 | 5 | 5 | , | 8 | 5 |
$245{,}3 - 89{,}45 = 155{,}85$.
- Donner un ordre de grandeur de la somme $7{,}215 + 3{,}48$.
- Donner un ordre de grandeur de la différence $18{,}52 - 6{,}37$.
1. On remplace chaque terme par un nombre proche, plus simple à calculer mentalement.
$10{,}7$ est un ordre de grandeur de cette somme (la valeur exacte est $10{,}695$).
2. Même démarche pour la différence.
$12{,}1$ est un ordre de grandeur de cette différence (la valeur exacte est $12{,}15$).
- Calculer astucieusement $4 \times 3{,}5 \times 25$.
- Calculer $6{,}208 \times 100$.
- Calculer $72{,}5 \times 0{,}01$.
1. Dans une succession de multiplications, on peut regrouper les facteurs comme on veut.
On regroupe $4$ et $25$, qui donnent $100$.
2. Multiplier par $100$ décale chaque chiffre de deux rangs vers la gauche.
3. Multiplier par $0{,}01$ revient à diviser par $100$ : chaque chiffre se décale de deux rangs vers la droite.
On souhaite calculer $3{,}26 \times 1{,}4$.
- Calculer d'abord $326 \times 14$, sans se préoccuper des virgules.
- En déduire le résultat de $3{,}26 \times 1{,}4$, en plaçant correctement la virgule.
1. On pose la multiplication comme pour des nombres entiers.
2. On compte le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux facteurs.
$3{,}26$ a $2$ chiffres après la virgule et $1{,}4$ en a $1$, soit $3$ chiffres au total. On place donc la virgule $3$ rangs avant la fin du nombre $4\,564$.