Puissances

Exercices corrigés et approfondis — règles de calcul, exposant négatif, notation scientifique.

Ex. 1 — Produit et quotient Ex. 2 — Puissance de puissance Ex. 3 — Exposant négatif Ex. 4 — Calculs mêlés Ex. 5 — Notation scientifique Ex. 6 — Calcul scientifique Ex. 7 — Problème

Règles essentielles : $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$, $\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$, $(a^{m})^{n}=a^{m\times n}$, et $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$. La notation scientifique s'écrit $a\times 10^{n}$ avec $1\leqslant|a|<10$. Chaque correction s'affiche en cliquant sur le bouton vert.

Exercice 1

Produit et quotient

Simplifier les expressions suivantes.

$4^{3}\times 4^{5}$
$\dfrac{9^{8}}{9^{2}}$

1. On additionne les exposants.

\[ 4^{3}\times 4^{5} = 4^{3+5} = 4^{8} \]

2. On soustrait les exposants.

\[ \frac{9^{8}}{9^{2}} = 9^{8-2} = 9^{6} \]

Exercice 2

Puissance de puissance

Calculer les expressions suivantes.

$(5^{2})^{3}$
$(2^{4})^{2}$

1. On multiplie les exposants.

\[ (5^{2})^{3} = 5^{2\times 3} = 5^{6} \]

2. On multiplie les exposants.

\[ (2^{4})^{2} = 2^{4\times 2} = 2^{8} = 256 \]

Exercice 3

Exposant négatif

Écrire sous forme décimale.

$10^{-4}$
$2^{-3}$

1. On utilise $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$.

\[ 10^{-4} = \frac{1}{10^{4}} = 0{,}0001 \]

2. On utilise la même règle.

\[ 2^{-3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8} = 0{,}125 \]

Exercice 4

Calculs mêlés

Simplifier $3^{5}\times 3^{-2}\div 3^{4}$, en donnant le résultat sous la forme $3^{n}$.

On additionne et on soustrait les exposants dans l'ordre des opérations.

\[ 3^{5}\times 3^{-2}\div 3^{4} = 3^{5+(-2)-4} = 3^{-1} \]

Le résultat est $3^{-1}$, soit $\dfrac{1}{3}$.

Exercice 5

Notation scientifique

Écrire les nombres suivants en notation scientifique.

$6\,300\,000$
$0{,}000045$

1. On déplace la virgule jusqu'à obtenir un nombre entre $1$ et $10$.

\[ 6\,300\,000 = 6{,}3\times 10^{6} \]

2. On déplace la virgule vers la droite : l'exposant est négatif.

\[ 0{,}000045 = 4{,}5\times 10^{-5} \]

Exercice 6

Calcul scientifique

Calculer $(4\times 10^{6})\times(2\times 10^{-3})$ et donner le résultat en notation scientifique.

On regroupe les nombres décimaux entre eux, puis les puissances de $10$ entre elles.

\[ (4\times 10^{6})\times(2\times 10^{-3}) = (4\times 2)\times 10^{6+(-3)} = 8\times 10^{3} \]

Exercice 7

Problème — échelle astronomique

La distance moyenne entre la Terre et le Soleil est d'environ $1{,}5\times 10^{8}$ km. La lumière parcourt environ $3\times 10^{5}$ km par seconde.

Calculer le temps mis par la lumière du Soleil pour atteindre la Terre, en secondes.
Convertir ce résultat en minutes, arrondi à l'unité.

1. Le temps est le quotient de la distance par la vitesse : $t=\dfrac{d}{v}$.

\[ t = \frac{1{,}5\times 10^{8}}{3\times 10^{5}} = \frac{1{,}5}{3}\times 10^{8-5} = 0{,}5\times 10^{3} \]

On réécrit ce résultat en notation scientifique : $0{,}5\times 10^{3}=5\times 10^{2}$, soit $500$ secondes.

2. On convertit les secondes en minutes en divisant par $60$.

\[ 500\div 60 \approx 8 \]

La lumière du Soleil met environ $8$ minutes pour atteindre la Terre.