Quadrilatères
Pour chaque quadrilatère $ABCD$ décrit, préciser sa nature la plus précise possible.
- Ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
- Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont de même longueur.
- Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
- Ses diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et de même longueur.
1. Côtés opposés parallèles : c'est la définition du parallélogramme.
$ABCD$ est un parallélogramme.
2. Diagonales de même milieu (parallélogramme) et de même longueur.
$ABCD$ est un rectangle.
3. Diagonales de même milieu (parallélogramme) et perpendiculaires.
$ABCD$ est un losange.
4. Diagonales de même milieu, perpendiculaires et de même longueur.
$ABCD$ est un carré.
$ABCD$ ci-dessous est un parallélogramme de centre $O$.
On donne $AB=9$ cm et $\widehat{DAB}=70°$.
- Donner la longueur $CD$. Justifier.
- Donner la mesure de l'angle $\widehat{BCD}$. Justifier.
1. Les côtés opposés d'un parallélogramme ont la même longueur.
$CD=AB=9$ cm.
2. Les angles opposés d'un parallélogramme ont la même mesure.
$\widehat{BCD}$ est opposé à $\widehat{DAB}$, donc $\widehat{BCD}=70°$.
Dans un quadrilatère $MNPQ$, les diagonales $[MP]$ et $[NQ]$ se coupent en un point $I$ tel que $I$ soit le milieu de $[MP]$ et le milieu de $[NQ]$.
- Quelle propriété permet de conclure sur la nature de $MNPQ$ ?
- Quelle est cette nature ?
1. On utilise la réciproque liée au milieu commun des diagonales.
Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
2. On applique cette réciproque à $MNPQ$.
$MNPQ$ est un parallélogramme.
$RSTU$ est un parallélogramme tel que $RT=8$ cm et $SU=8$ cm, les diagonales se coupant en leur milieu commun.
- Quelle est la nature de $RSTU$ ? Justifier.
On compare les longueurs des deux diagonales.
$RT=SU=8$ cm : les diagonales du parallélogramme $RSTU$ ont la même longueur. C'est la propriété caractéristique du rectangle.
$RSTU$ est donc un rectangle.
$VWXY$ est un parallélogramme dont les diagonales $[VX]$ et $[WY]$ sont perpendiculaires.
- Quelle est la nature de $VWXY$ ? Justifier.
- Que peut-on dire des quatre côtés de $VWXY$ ?
1. Les diagonales du parallélogramme sont perpendiculaires : c'est la propriété caractéristique du losange.
$VWXY$ est un losange.
2. Un losange a ses quatre côtés de même longueur.
Les quatre côtés de $VWXY$ ont donc tous la même longueur.
$ABCD$ est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires et de même longueur.
- Quelle est la nature de $ABCD$ ? Justifier en deux étapes.
On combine les deux propriétés caractéristiques.
Les diagonales sont de même longueur : $ABCD$ est un rectangle.
Les diagonales sont aussi perpendiculaires : $ABCD$ est également un losange.
Un quadrilatère à la fois rectangle et losange est un carré : $ABCD$ est un carré.
Un trapèze $KLMN$ a pour bases $[KL]$ et $[NM]$, et ses côtés obliques $[KN]$ et $[LM]$ ont la même longueur $6$ cm.
- Quelle est la nature précise de ce trapèze ?
- Que peut-on en déduire sur ses diagonales $[KM]$ et $[LN]$ ?
1. Les côtés obliques d'un trapèze isocèle sont de même longueur.
Comme $KN=LM=6$ cm, le trapèze $KLMN$ est un trapèze isocèle.
2. On utilise la propriété des diagonales d'un trapèze isocèle.
Dans un trapèze isocèle, les diagonales ont la même longueur : $KM=LN$.