Triangles égaux, triangles semblables — Exercices corrigés (Quatrième) | Pierre Carrée

Quatrième · Chapitre 5

Triangles égaux, triangles semblables

Exercices corrigés et approfondis — cas d'égalité, théorème de Thalès, triangles semblables.

Ex. 1 — Cas d'égalité Ex. 2 — Thalès (figure) Ex. 3 — Thalès Ex. 4 — Conditions Ex. 5 — Semblables (angles) Ex. 6 — Semblables (côtés) Ex. 7 — Problème

Deux triangles sont égaux dans les cas LLL, LAL ou ALA. Dans la configuration de Thalès (points alignés, droites parallèles), on a $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$, et les triangles $AMN$ et $ABC$ sont alors semblables. Chaque correction s'affiche en cliquant sur le bouton vert.

Exercice 1

Cas d'égalité

Dans chaque situation, préciser si les triangles sont égaux, et par quel cas.

$AB=DE=4$ cm, $BC=EF=6$ cm, $AC=DF=7$ cm.
$\widehat{A}=\widehat{D}=45°$, $AB=DE=5$ cm, $\widehat{B}=\widehat{E}=60°$, où $[AB]$ est compris entre les deux angles.
$AB=DE=3$ cm, $AC=DF=8$ cm, $\widehat{A}=\widehat{D}=90°$, où $\widehat{A}$ est compris entre $[AB]$ et $[AC]$.

1. Les trois côtés sont de même longueur, deux à deux.

C'est le cas LLL : les triangles sont égaux.

2. Un côté de même longueur est compris entre deux angles de même mesure, deux à deux.

C'est le cas ALA : les triangles sont égaux.

3. Un angle de même mesure est compris entre deux côtés de même longueur, deux à deux.

C'est le cas LAL : les triangles sont égaux.

Exercice 2

Thalès

Sur la figure ci-dessous, $M\in[AB]$, $N\in[AC]$ et $(MN)\parallel(BC)$.

On donne $AM=6$ cm, $AB=9$ cm et $BC=12$ cm.

Calculer $AN$ sachant que $AC=13{,}5$ cm.
Calculer $MN$.

1. D'après le théorème de Thalès, $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$.

\[ \frac{6}{9} = \frac{AN}{13{,}5} \iff AN = \frac{6\times 13{,}5}{9} = 9 \]

2. On utilise le même rapport avec $MN$ et $BC$.

\[ \frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC} \iff \frac{6}{9} = \frac{MN}{12} \iff MN = \frac{6\times 12}{9} = 8 \]

Exercice 3

Thalès

Dans un triangle $RST$, on place $U\in[RS]$ et $V\in[RT]$ tels que $(UV)\parallel(ST)$. On donne $RU=4$ cm, $US=6$ cm et $RV=5$ cm.

Calculer la longueur $RT$.

On calcule d'abord $RS=RU+US$, puis on applique Thalès.

\[ RS = 4+6 = 10 \]

\[ \frac{RU}{RS} = \frac{RV}{RT} \iff \frac{4}{10} = \frac{5}{RT} \]

\[ RT = \frac{5\times 10}{4} = 12{,}5 \]

La longueur $RT$ mesure donc $12{,}5$ cm.

Exercice 4

Conditions

Un élève veut appliquer le théorème de Thalès dans un triangle $ABC$ avec $M\in[AB]$ et $N\in[AC]$, mais il n'a pas vérifié que $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Peut-il conclure que $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$ ? Justifier.
Que doit-il vérifier avant d'utiliser le théorème ?

1. Le parallélisme est une hypothèse indispensable du théorème.

Non, il ne peut pas conclure : sans la condition $(MN)\parallel(BC)$, l'égalité des rapports n'est pas garantie.

2. On rappelle les conditions d'application du théorème de Thalès.

Il doit vérifier que les points sont bien alignés ($A$, $M$, $B$ d'une part et $A$, $N$, $C$ d'autre part) et que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, par exemple à l'aide des données de l'énoncé ou d'un codage sur la figure.

Exercice 5

Semblables (angles)

Les triangles $GHI$ et $JKL$ vérifient $\widehat{G}=\widehat{J}=38°$ et $\widehat{H}=\widehat{K}=97°$.

Justifier que les triangles $GHI$ et $JKL$ sont semblables.
Calculer les angles $\widehat{I}$ et $\widehat{L}$.

1. Deux angles égaux, deux à deux, suffisent pour des triangles semblables.

Les triangles $GHI$ et $JKL$ ont deux angles égaux deux à deux : ils sont donc semblables.

2. La somme des angles d'un triangle vaut $180°$.

\[ \widehat{I} = 180° - 38° - 97° = 45° \]

Comme les triangles sont semblables, $\widehat{L}=\widehat{I}=45°$.

Exercice 6

Semblables (côtés)

Les triangles $ABC$ et $A'B'C'$ ont pour côtés $AB=4$ cm, $BC=6$ cm, $AC=8$ cm et $A'B'=6$ cm, $B'C'=9$ cm, $A'C'=12$ cm.

Vérifier que les côtés des deux triangles sont proportionnels.
Que peut-on en conclure ?

1. On calcule les trois quotients côté par côté.

\[ \frac{A'B'}{AB} = \frac{6}{4} = 1{,}5 \qquad \frac{B'C'}{BC} = \frac{9}{6} = 1{,}5 \qquad \frac{A'C'}{AC} = \frac{12}{8} = 1{,}5 \]

Les trois quotients sont égaux à $1{,}5$ : les côtés sont bien proportionnels.

2. Trois côtés proportionnels, deux à deux, suffisent pour la similitude.

Les triangles $ABC$ et $A'B'C'$ sont donc semblables, de rapport $1{,}5$.

Exercice 7

Problème — ombre d'un arbre

Pour mesurer la hauteur d'un arbre sans y grimper, on plante verticalement un bâton de $1{,}5$ m de hauteur à côté de l'arbre. Le bâton projette une ombre de $2$ m de long, et au même moment, l'arbre projette une ombre de $14$ m de long. Les rayons du soleil étant parallèles, cette situation correspond à une configuration de Thalès.

Identifier les longueurs proportionnelles dans cette situation.
Calculer la hauteur de l'arbre.

1. Le rapport entre la hauteur et la longueur de l'ombre est le même pour le bâton et pour l'arbre (rayons du soleil parallèles).

On a la relation $\dfrac{\text{hauteur bâton}}{\text{ombre bâton}}=\dfrac{\text{hauteur arbre}}{\text{ombre arbre}}$.

2. On remplace par les valeurs connues et on isole la hauteur de l'arbre.

\[ \frac{1{,}5}{2} = \frac{h}{14} \iff h = \frac{1{,}5\times 14}{2} = 10{,}5 \]

L'arbre mesure donc $10{,}5$ m de hauteur.