Construction et transformation de figures
Dans chaque situation, préciser la nature de la transformation qui envoie $M$ sur $M'$, ainsi que ses éléments caractéristiques.
- Pour tout point $M$, la droite $(d)$ est la médiatrice du segment $[MM']$.
- Pour tout point $M$, le point $I$ est le milieu du segment $[MM']$.
- Pour tout point $M$, le quadrilatère $MPQM'$ est un parallélogramme.
- Pour tout point $M$, on a $OM=OM'$ et l'angle $\widehat{MOM'}$ mesure $110°$ dans le sens antihoraire.
1. L'axe est la médiatrice de $[MM']$ : c'est la définition d'une symétrie axiale.
La transformation est la symétrie axiale d'axe $(d)$.
2. Le centre est le milieu de $[MM']$ : c'est la définition d'une symétrie centrale.
La transformation est la symétrie centrale de centre $I$.
3. Le quadrilatère $MPQM'$ est un parallélogramme : c'est la propriété caractéristique d'une translation.
La transformation est la translation qui transforme $P$ en $Q$.
4. On conserve la distance au point $O$ et un angle est donné : c'est une rotation.
La transformation est la rotation de centre $O$, d'angle $110°$, dans le sens antihoraire.
Le triangle $A'B'C'$ ci-dessous est l'image du triangle $ABC$ par une translation de vecteur $\vec{u}$.
- Citer trois segments parallèles entre eux et de même longueur sur la figure.
- Sachant que $AB=5$ cm, donner la longueur $A'B'$. Justifier.
1. Chaque point est relié à son image par un segment de même longueur, direction et sens que $\vec{u}$.
Les segments $[AA']$, $[BB']$ et $[CC']$ sont parallèles entre eux et ont tous la même longueur.
2. La translation conserve les longueurs.
Le segment $[A'B']$ est l'image du segment $[AB]$, donc $A'B'=AB$.
La translation qui transforme le point $P$ en le point $Q$ est appliquée au point $N$, dont l'image est notée $N'$.
- Quelle est la nature du quadrilatère $NPQN'$ ? Justifier.
- Sachant que $PQ=7{,}2$ cm, que peut-on dire de la longueur $NN'$ ?
1. Par définition de la translation, le segment $[NN']$ a la même longueur, direction et sens que le vecteur $\vec{PQ}$.
Le quadrilatère $NPQN'$ est donc un parallélogramme, puisque ses côtés $[PQ]$ et $[NN']$ sont parallèles et de même longueur.
2. Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur.
Le segment $[NN']$ a donc la même longueur que $[PQ]$.
Sur la figure ci-dessous, $M'$ est l'image de $M$ par une rotation de centre $O$.
- Sachant que $OM=6$ cm, donner la longueur $OM'$. Justifier.
- Donner la mesure de l'angle $\widehat{MOM'}$ et préciser le sens de la rotation.
1. Par définition d'une rotation, le centre est à la même distance du point de départ et de son image.
2. On lit directement l'angle représenté sur la figure ainsi que le sens de l'arc.
L'angle $\widehat{MOM'}$ mesure $90°$, dans le sens antihoraire (contraire des aiguilles d'une montre).
On considère la rotation de centre $O$, d'angle $120°$, dans le sens horaire. Un point $M$ vérifie $OM=8$ cm ; son image par cette rotation est notée $M'$.
- Calculer la longueur $OM'$.
- Donner la mesure de l'angle $\widehat{MOM'}$ et préciser son sens.
1. Une rotation conserve la distance au centre.
2. Par définition de la rotation, l'angle entre $M$ et son image est celui de la rotation.
L'angle $\widehat{MOM'}$ mesure $120°$, dans le sens horaire.
Un rectangle a un périmètre de $18$ cm et une aire de $20$ cm². On lui applique d'abord une translation, puis une rotation.
- Quel est le périmètre du rectangle obtenu après ces deux transformations ?
- Quelle est son aire ?
1. La translation et la rotation conservent les longueurs, donc le périmètre.
Le rectangle obtenu a donc le même périmètre que le rectangle de départ.
2. Ces deux transformations conservent aussi les aires.
Ni la forme, ni la taille du rectangle ne changent : seule sa position et son orientation dans le plan sont modifiées.
Pour créer une rosace à partir d'un motif décoratif, on applique de façon répétée, à partir du motif initial, une rotation de centre $O$ et d'angle $72°$, toujours dans le même sens.
- Combien de fois faut-il appliquer cette rotation pour que le motif revienne exactement à sa position de départ ?
- Vérifier que la somme des angles ainsi parcourus correspond à un tour complet.
1. Le motif revient à sa position de départ après un tour complet, soit $360°$.
On cherche combien de fois $72°$ tient dans $360°$.
Il faut appliquer la rotation $5$ fois pour revenir au point de départ : le motif est alors reproduit $5$ fois autour du centre $O$, formant une rosace à $5$ branches.
2. On vérifie en multipliant l'angle par le nombre de répétitions.
La somme des angles parcourus est bien de $360°$, soit un tour complet.