Sixième · Chapitre 8

Droites et cercles

Exercices corrigés et approfondis — droites, segments, milieu, cercle, disque, diamètre, corde, médiatrice.
Ex. 1 — Points, droite, segment Ex. 2 — Milieu d'un segment Ex. 3 — Sécantes, perpendiculaires, parallèles Ex. 4 — Cercle et disque Ex. 5 — Diamètre et corde Ex. 6 — Raisonner avec des droites Ex. 7 — Médiatrice
Une droite est illimitée, un segment en est une partie délimitée par deux points. Le cercle regroupe les points à une distance $r$ du centre, le disque ceux à une distance inférieure ou égale à $r$. La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment, passant par son milieu. Chaque correction s'affiche en cliquant sur le bouton vert.
Exercice 1
Points, droite, segment

Les points $P$, $Q$ et $R$ sont alignés, avec $QR = 5{,}2$ cm.

P Q R 5,2 cm
  1. $P$ appartient-il à la droite $(QR)$ ? au segment $[QR]$ ? Compléter avec $\in$ ou $\notin$.
  2. Donner la valeur de $QR$.

1. $P$ est sur la même ligne que $Q$ et $R$, mais en dehors de la partie comprise entre eux.

$P \in (QR)$ mais $P \notin [QR]$.

2. La distance $QR$ est indiquée sur la figure.

$QR = 5{,}2$ cm.

Exercice 2
Milieu d'un segment

$K$ est le milieu du segment $[GH]$, avec $GH = 7{,}4$ cm.

Calculer les longueurs $GK$ et $KH$.

Le milieu partage le segment en deux parties égales.

\[ GK = KH = GH \div 2 = 7{,}4 \div 2 = 3{,}7 \]

$GK = KH = 3{,}7$ cm.

Exercice 3
Sécantes, perpendiculaires, parallèles

Pour chaque situation, préciser si les deux droites sont sécantes (sans être perpendiculaires), perpendiculaires, ou parallèles.

  1. Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ se coupent en un point, en formant un angle de $90°$.
  2. Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ ne se coupent jamais, aussi loin qu'on les prolonge.
  3. Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ se coupent en un point, en formant un angle de $50°$.

On utilise les définitions du cours pour chaque cas.

1. Un angle de $90°$ à l'intersection signifie que les droites sont perpendiculaires (elles sont donc aussi sécantes).

2. Des droites qui ne se coupent jamais sont parallèles.

3. Les droites se coupent, mais pas à angle droit : elles sont sécantes (sans être perpendiculaires).

Exercice 4
Cercle et disque

On considère le cercle de centre $O$ et de rayon $4$ cm, ci-dessous, avec les points $A$, $B$ et $C$ tels que $OA = 4$ cm, $OB = 2{,}5$ cm et $OC = 5$ cm.

O A B C
  1. Quel(s) point(s) appartien(nent) au cercle ?
  2. Quel(s) point(s) appartien(nent) au disque de centre $O$ et de rayon $4$ cm ?

Le cercle regroupe les points à distance exactement $4$ cm de $O$ ; le disque regroupe ceux à distance inférieure ou égale à $4$ cm.

1. Seul $A$ appartient au cercle, car $OA = 4$ cm est égal au rayon.

2. $A$ et $B$ appartiennent au disque ($OA = 4$ cm et $OB = 2{,}5$ cm $\leqslant 4$ cm). $C$ n'appartient pas au disque car $OC = 5$ cm $> 4$ cm.

Exercice 5
Diamètre et corde

Le cercle ci-dessous a pour centre $O$ et pour rayon $5$ cm. $[PQ]$ est un diamètre et $[MN]$ est une corde.

O P Q M N
  1. Quelle est la longueur du diamètre $[PQ]$ ?
  2. Sans la mesurer, expliquer pourquoi la corde $[MN]$ ne peut pas être plus longue que le diamètre $[PQ]$.

1. Le diamètre est égal au double du rayon.

\[ PQ = 2\times 5 = 10 \]

$PQ = 10$ cm.

2. On applique la propriété du cours sur les cordes.

Le diamètre d'un cercle est toujours supérieur ou égal à la longueur de toutes les cordes de ce cercle. La corde $[MN]$ ne peut donc pas dépasser $10$ cm.

Exercice 6
Raisonner avec des droites

On sait que $(d_1)\,/\!/\,(d_3)$ et que $(d_2)\perp(d_3)$.

Que peut-on dire des droites $(d_1)$ et $(d_2)$ ? Justifier.

$(d_1)$ est parallèle à $(d_3)$, et $(d_2)$ est perpendiculaire à $(d_3)$.

Une droite perpendiculaire à l'une de deux droites parallèles est perpendiculaire à l'autre. Comme $(d_2)\perp(d_3)$ et $(d_1)\,/\!/\,(d_3)$, on peut donc conclure que $(d_2)\perp(d_1)$.

Exercice 7
Médiatrice

On considère le segment $[ST]$, avec $ST = 8$ cm. Le point $W$ vérifie $WS = WT = 6{,}5$ cm.

S T (d) W
  1. Le point $W$ appartient-il à la médiatrice du segment $[ST]$ ? Justifier.
  2. La droite $(d)$ tracée sur la figure passe par le milieu de $[ST]$ et lui est perpendiculaire. Que représente-t-elle ?

1. La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants de ses extrémités.

Comme $WS = WT$, le point $W$ est équidistant de $S$ et de $T$ : il appartient donc à la médiatrice de $[ST]$.

2. On utilise la définition de la médiatrice.

$(d)$ est perpendiculaire à $[ST]$ et passe par son milieu : c'est donc la médiatrice du segment $[ST]$ (et le point $W$ doit se trouver dessus).

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