Quatrième · Chapitre 15

Solides de l'espace

Exercices corrigés et approfondis — cylindre, cône, sphère et boule, sections planes.
Ex. 1 — Volume cylindre Ex. 2 — Aire latérale Ex. 3 — Volume cône Ex. 4 — Sphère et boule Ex. 5 — Sections Ex. 6 — Figure Ex. 7 — Problème
Cylindre : aire latérale $2\pi rh$, volume $\pi r^{2}h$. Cône : volume $\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h$. Sphère : aire $4\pi r^{2}$ ; boule : volume $\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$. Une section parallèle à la base d'un cylindre, d'un cône ou d'une sphère est un disque. Chaque correction s'affiche en cliquant sur le bouton vert.
Exercice 1
Volume cylindre

Un cylindre a un rayon de $5$ cm et une hauteur de $12$ cm.

  1. Calculer son volume, arrondi au centième.

On applique $V=\pi r^{2}h$.

\[ V = \pi\times 5^{2}\times 12 = 300\pi \approx 942{,}48 \]

Le volume du cylindre est d'environ $942{,}48$ cm³.

Exercice 2
Aire latérale

Une boîte de conserve cylindrique a un rayon de $4$ cm et une hauteur de $11$ cm.

  1. Calculer l'aire de son étiquette (la surface latérale), arrondie au centième.

L'étiquette correspond à l'aire latérale du cylindre, $2\pi rh$.

\[ \mathcal{A}_{\text{lat}} = 2\pi\times 4\times 11 = 88\pi \approx 276{,}46 \]

L'aire de l'étiquette est d'environ $276{,}46$ cm².

Exercice 3
Volume cône

Un cône a un rayon de $4$ cm et une hauteur de $9$ cm.

  1. Calculer son volume, arrondi au centième.

On applique $V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h$.

\[ V = \frac{1}{3}\times\pi\times 4^{2}\times 9 = 48\pi \approx 150{,}80 \]

Le volume du cône est d'environ $150{,}80$ cm³.

Exercice 4
Sphère et boule

Une boule a un rayon de $6$ cm.

  1. Calculer l'aire de la sphère correspondante, arrondie au centième.
  2. Calculer le volume de la boule, arrondi au centième.

1. On applique $\mathcal{A}=4\pi r^{2}$.

\[ \mathcal{A} = 4\pi\times 6^{2} = 144\pi \approx 452{,}39 \]

2. On applique $V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$.

\[ V = \frac{4}{3}\pi\times 6^{3} = 288\pi \approx 904{,}78 \]
Exercice 5
Sections

Pour chaque situation, préciser la forme de la section obtenue.

  1. Un cône coupé par un plan parallèle à sa base.
  2. Une sphère coupée par un plan passant par son centre.
  3. Un cylindre coupé par un plan parallèle à son axe.

1. Un plan parallèle à la base d'un cône donne un disque plus petit.

La section est un disque.

2. Une section passant par le centre d'une sphère donne le plus grand cercle possible.

La section est un disque (un grand cercle).

3. Un plan parallèle à l'axe d'un cylindre ne donne pas un disque.

La section est un rectangle.

Exercice 6
Figure

Le cylindre ci-dessous a un rayon de $3$ cm et une hauteur de $8$ cm.

r = 3 cm h = 8 cm
  1. Calculer le volume de ce cylindre, arrondi au centième.

On applique $V=\pi r^{2}h$.

\[ V = \pi\times 3^{2}\times 8 = 72\pi \approx 226{,}19 \]

Le volume du cylindre est d'environ $226{,}19$ cm³.

Exercice 7
Problème — cornet de glace

Un cornet de glace a la forme d'un cône de rayon $3$ cm et de hauteur $10$ cm, surmonté d'une demi-boule de même rayon représentant la boule de glace.

  1. Calculer le volume du cône, arrondi au centième.
  2. Calculer le volume de la demi-boule (la moitié du volume d'une boule de même rayon), arrondi au centième.
  3. En déduire le volume total de glace, arrondi au centième.

1. On applique la formule du volume du cône.

\[ V_{\text{cône}} = \frac{1}{3}\times\pi\times 3^{2}\times 10 = 30\pi \approx 94{,}25 \]

2. On calcule le volume d'une boule de rayon $3$ cm, puis on divise par $2$.

\[ V_{\text{boule}} = \frac{4}{3}\pi\times 3^{3} = 36\pi \]
\[ V_{\text{demi-boule}} = \frac{36\pi}{2} = 18\pi \approx 56{,}55 \]

3. On additionne les deux volumes.

\[ V_{\text{total}} = 30\pi + 18\pi = 48\pi \approx 150{,}80 \]

Le volume total de glace est d'environ $150{,}80$ cm³.

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