Quatrième · Chapitre 13

Probabilités

Exercices corrigés et approfondis — vocabulaire, équiprobabilité, arbre de probabilités, événement contraire.

Ex. 1 — Vocabulaire Ex. 2 — Équiprobabilité Ex. 3 — Tableau Ex. 4 — Arbre (figure) Ex. 5 — Contraire Ex. 6 — Arbre et contraire Ex. 7 — Problème

En situation d'équiprobabilité, $P=\dfrac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}}$. Sur un arbre, on multiplie les probabilités le long d'un chemin. Pour l'événement contraire $\overline{A}$ de $A$ : $P(A)+P(\overline{A})=1$. Chaque correction s'affiche en cliquant sur le bouton vert.

Exercice 1

Vocabulaire

On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes (8 cartes de chacune des 4 couleurs : cœur, carreau, trèfle, pique).

Combien y a-t-il d'issues possibles ?
L'événement "tirer un cœur" est-il un événement certain, impossible, ou ni l'un ni l'autre ?

1. On compte le nombre total de cartes du jeu.

Il y a $32$ issues possibles (les $32$ cartes).

2. On compare l'événement aux cas particuliers.

Ce n'est ni un événement certain (on peut tirer une carte qui n'est pas un cœur), ni un événement impossible (il y a bien des cœurs dans le jeu).

Exercice 2

Équiprobabilité

On tire au hasard une carte parmi les $32$ cartes d'un jeu (8 cartes par couleur).

Calculer la probabilité de tirer un trèfle.
Calculer la probabilité de tirer un roi (il y a 4 rois dans le jeu).

1. Il y a $8$ trèfles parmi les $32$ cartes.

\[ P(\text{trèfle}) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} \]

2. Il y a $4$ rois parmi les $32$ cartes.

\[ P(\text{roi}) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} \]

Exercice 3

Tableau

On lance simultanément une pièce (pile ou face) et un dé à 6 faces.

Combien y a-t-il d'issues possibles au total ?
Calculer la probabilité d'obtenir "pile" et un nombre pair.

1. On construit un tableau à double entrée : 2 résultats pour la pièce $\times$ 6 résultats pour le dé.

\[ 2\times 6 = 12 \]

Il y a $12$ issues possibles.

2. Les issues favorables sont : (pile,2), (pile,4), (pile,6), soit 3 issues.

\[ P(\text{pile et pair}) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \]

Exercice 4

Arbre

Un sac contient des boules dont $\dfrac{1}{3}$ sont jaunes et $\dfrac{2}{3}$ sont noires. On tire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. L'arbre ci-dessous représente cette expérience.

Calculer la probabilité de tirer deux boules jaunes.
Calculer la probabilité de tirer une boule jaune puis une boule noire.

1. On multiplie les probabilités le long du chemin "jaune, jaune".

\[ P(\text{jaune, jaune}) = \frac{1}{3}\times\frac{1}{3} = \frac{1}{9} \]

2. On multiplie les probabilités le long du chemin "jaune, noire".

\[ P(\text{jaune, noire}) = \frac{1}{3}\times\frac{2}{3} = \frac{2}{9} \]

Exercice 5

Contraire

La probabilité qu'un train soit à l'heure est de $0{,}82$.

Calculer la probabilité que le train soit en retard.

"En retard" est l'événement contraire de "à l'heure".

\[ P(\text{en retard}) = 1 - 0{,}82 = 0{,}18 \]

Exercice 6

Arbre et contraire

On lance deux fois de suite un dé équilibré à 6 faces.

Calculer la probabilité d'obtenir un $6$ aux deux lancers.
En déduire la probabilité de ne pas obtenir deux $6$.

1. On multiplie les probabilités des deux lancers indépendants.

\[ P(6,6) = \frac{1}{6}\times\frac{1}{6} = \frac{1}{36} \]

2. On utilise l'événement contraire.

\[ P(\text{pas deux } 6) = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36} \]

Exercice 7

Problème — loterie

Une loterie propose $200$ tickets, dont $5$ sont gagnants. Léo achète un ticket.

Calculer la probabilité que Léo gagne, sous forme de fraction irréductible.
Calculer la probabilité que Léo ne gagne pas.
Léo et son ami achètent chacun un ticket, indépendamment. Calculer la probabilité qu'ils gagnent tous les deux.

1. On divise le nombre de tickets gagnants par le nombre total de tickets.

\[ P(\text{gagner}) = \frac{5}{200} = \frac{1}{40} \]

2. On utilise l'événement contraire.

\[ P(\text{ne pas gagner}) = 1 - \frac{1}{40} = \frac{39}{40} \]

3. Les deux achats sont indépendants : on multiplie les probabilités.

\[ P(\text{les deux gagnent}) = \frac{1}{40}\times\frac{1}{40} = \frac{1}{1\,600} \]