Quatrième · Chapitre 12

Calcul littéral

Exercices corrigés et approfondis — développement, identités remarquables, factorisation, équations.

Ex. 1 — Développer (simple) Ex. 2 — Développer (double) Ex. 3 — Identités remarquables Ex. 4 — Factoriser Ex. 5 — Factoriser (identité) Ex. 6 — Résoudre Ex. 7 — Problème

On développe avec $k(a+b)=ka+kb$ ou $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$, et l'on peut utiliser les identités remarquables $(a+b)^2$, $(a-b)^2$, $(a+b)(a-b)$. Pour résoudre une équation, chaque étape est une équivalence ($\iff$). Chaque correction s'affiche en cliquant sur le bouton vert.

Exercice 1

Développer (simple)

Développer les expressions suivantes.

$6(x+2)$
$-3(x-5)$

1. On applique $k(a+b)=ka+kb$.

\[ 6(x+2) = 6x+12 \]

2. On applique $k(a-b)=ka-kb$, avec $k=-3$.

\[ -3(x-5) = -3x+15 \]

Exercice 2

Développer (double)

Développer et réduire $(x+6)(x-2)$.

On applique la double distributivité, puis on réduit les termes semblables.

\[ (x+6)(x-2) = x^{2}-2x+6x-12 = x^{2}+4x-12 \]

Exercice 3

Identités remarquables

Développer à l'aide d'une identité remarquable.

$(x+7)^{2}$
$(3x-4)(3x+4)$

1. On applique $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ avec $a=x$ et $b=7$.

\[ (x+7)^{2} = x^{2}+2\times x\times 7+7^{2} = x^{2}+14x+49 \]

2. On applique $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ avec $a=3x$ et $b=4$.

\[ (3x-4)(3x+4) = (3x)^{2}-4^{2} = 9x^{2}-16 \]

Exercice 4

Factoriser

Factoriser les expressions suivantes.

$8x+40$
$5x^{2}-15x$

1. Le facteur commun est $8$.

\[ 8x+40 = 8(x+5) \]

2. Le facteur commun est $5x$.

\[ 5x^{2}-15x = 5x(x-3) \]

Exercice 5

Factoriser (identité)

Factoriser les expressions suivantes à l'aide d'une identité remarquable.

$x^{2}-49$
$x^{2}+10x+25$

1. On reconnaît $a^{2}-b^{2}$ avec $a=x$ et $b=7$.

\[ x^{2}-49 = x^{2}-7^{2} = (x-7)(x+7) \]

2. On reconnaît $a^{2}+2ab+b^{2}$ avec $a=x$ et $b=5$.

\[ x^{2}+10x+25 = x^{2}+2\times x\times 5+5^{2} = (x+5)^{2} \]

Exercice 6

Résoudre

Résoudre les équations suivantes.

$5x-7=18$
$3(x+2)=x+14$

1. On isole $x$ par équivalences successives.

\[ 5x-7=18 \iff 5x=25 \iff x=5 \]

2. On développe d'abord le premier membre, puis on isole $x$.

\[ 3(x+2)=x+14 \iff 3x+6=x+14 \iff 2x=8 \iff x=4 \]

Exercice 7

Problème — périmètre

Un rectangle a pour longueur $x+5$ et pour largeur $x$ (en cm).

Exprimer, en fonction de $x$ et sous forme développée et réduite, le périmètre du rectangle.
Sachant que ce périmètre vaut $34$ cm, déterminer la valeur de $x$.

1. Le périmètre d'un rectangle est $2\times(\text{longueur}+\text{largeur})$.

\[ P = 2\big((x+5)+x\big) = 2(2x+5) = 4x+10 \]

2. On résout l'équation $4x+10=34$ par équivalences.

\[ 4x+10=34 \iff 4x=24 \iff x=6 \]

La valeur de $x$ est donc $6$ (cm) : le rectangle mesure $11$ cm de longueur et $6$ cm de largeur.