Quatrième · Chapitre 11

Théorème de Pythagore

Exercices corrigés et approfondis — théorème, calcul de côtés, réciproque et contraposée.
Ex. 1 — Hypoténuse Ex. 2 — Côté de l'angle droit Ex. 3 — Réciproque Ex. 4 — Contraposée Ex. 5 — Figure Ex. 6 — Arrondi Ex. 7 — Problème
Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ (théorème). Si cette égalité est vérifiée avec $BC$ le plus grand côté, le triangle est rectangle (réciproque) ; sinon, il ne l'est pas (contraposée). Chaque correction s'affiche en cliquant sur le bouton vert.
Exercice 1
Hypoténuse

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$, avec $AB=9$ cm et $AC=12$ cm.

  1. Calculer $BC$.

On applique le théorème de Pythagore.

\[ BC^{2} = AB^{2}+AC^{2} = 9^{2}+12^{2} = 81+144 = 225 \]
\[ BC = \sqrt{225} = 15 \]

L'hypoténuse $BC$ mesure $15$ cm.

Exercice 2
Côté de l'angle droit

$DEF$ est un triangle rectangle en $D$, avec $EF=17$ cm et $DE=8$ cm.

  1. Calculer $DF$.

On isole le carré du côté cherché.

\[ DF^{2} = EF^{2}-DE^{2} = 17^{2}-8^{2} = 289-64 = 225 \]
\[ DF = \sqrt{225} = 15 \]

Le côté $DF$ mesure $15$ cm.

Exercice 3
Réciproque

Un triangle $GHI$ a pour côtés $GH=9$ cm, $HI=12$ cm et $GI=15$ cm.

  1. Ce triangle est-il rectangle ? Justifier.

On compare le carré du plus grand côté ($GI$) à la somme des carrés des deux autres.

\[ GI^{2} = 15^{2} = 225 \qquad\qquad GH^{2}+HI^{2} = 9^{2}+12^{2} = 81+144 = 225 \]

Les deux valeurs sont égales : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $GHI$ est rectangle en $H$.

Exercice 4
Contraposée

Un triangle $JKL$ a pour côtés $JK=6$ cm, $KL=8$ cm et $JL=11$ cm.

  1. Ce triangle est-il rectangle ? Justifier.

On compare le carré du plus grand côté ($JL$) à la somme des carrés des deux autres.

\[ JL^{2} = 11^{2} = 121 \qquad\qquad JK^{2}+KL^{2} = 6^{2}+8^{2} = 36+64 = 100 \]

$121\neq 100$ : l'égalité n'est pas vérifiée. D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $JKL$ n'est pas rectangle.

Exercice 5
Figure

Sur la figure ci-dessous, le triangle $MNP$ est rectangle en $M$.

M N P 7 cm 24 cm
  1. Calculer la longueur $NP$.

$NP$ est l'hypoténuse du triangle rectangle en $M$.

\[ NP^{2} = MN^{2}+MP^{2} = 7^{2}+24^{2} = 49+576 = 625 \]
\[ NP = \sqrt{625} = 25 \]

La longueur $NP$ mesure $25$ cm.

Exercice 6
Arrondi

$QRS$ est un triangle rectangle en $Q$, avec $QR=5$ cm et $QS=7$ cm.

  1. Calculer $RS$, arrondi au dixième de centimètre.

On applique le théorème de Pythagore.

\[ RS^{2} = QR^{2}+QS^{2} = 5^{2}+7^{2} = 25+49 = 74 \]
\[ RS = \sqrt{74} \approx 8{,}6 \]

La longueur $RS$ mesure environ $8{,}6$ cm.

Exercice 7
Problème — diagonale d'un rectangle

Un écran de télévision rectangulaire mesure $80$ cm de largeur et $60$ cm de hauteur.

  1. Expliquer pourquoi le théorème de Pythagore permet de calculer la diagonale de l'écran.
  2. Calculer la longueur de cette diagonale.

1. Un rectangle a quatre angles droits.

La diagonale d'un rectangle partage celui-ci en deux triangles rectangles, dont elle est l'hypoténuse. Le théorème de Pythagore s'applique donc directement à ces triangles.

2. On applique le théorème avec les deux côtés du rectangle.

\[ d^{2} = 80^{2}+60^{2} = 6\,400+3\,600 = 10\,000 \]
\[ d = \sqrt{10\,000} = 100 \]

La diagonale de l'écran mesure $100$ cm, soit $1$ m.

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