Quatrième · Chapitre 1

Nombres relatifs : opérations

Exercices corrigés et approfondis — règle des signes, produit de plusieurs facteurs, division, puissances et piège classique.

Ex. 1 — Signe d'un produit Ex. 2 — Produits Ex. 3 — Plusieurs facteurs Ex. 4 — Divisions Ex. 5 — Puissances Ex. 6 — Le piège $-a^n$ Ex. 7 — Problème

Pour multiplier ou diviser deux nombres relatifs, on multiplie ou on divise leurs distances à zéro, puis on applique la règle des signes : même signe donne un résultat positif, signes contraires donnent un résultat négatif. Pour plusieurs facteurs, on compte le nombre de facteurs négatifs (pair : positif : impair : négatif). Chaque correction s'affiche en cliquant sur le bouton vert.

Exercice 1

Signe d'un produit

Sans calculer les résultats, donner uniquement le signe de chacun des produits suivants.

$(-8)\times(-3)$
$15\times(-2)$
$(-6)\times 0$
$(-4)\times(-4)$

1. Les deux facteurs sont négatifs, donc de même signe.

Le produit $(-8)\times(-3)$ est positif.

2. Les deux facteurs sont de signes contraires.

Le produit $15\times(-2)$ est négatif.

3. L'un des facteurs est nul.

Le produit $(-6)\times 0$ est nul, quel que soit le signe de l'autre facteur.

4. Les deux facteurs sont négatifs, donc de même signe.

Le produit $(-4)\times(-4)$ est positif.

Exercice 2

Produits

Calculer les produits suivants.

$(-9)\times 6$
$(-7)\times(-8)$
$12\times(-5)$

1. Les facteurs sont de signes contraires : le produit est négatif.

\[ (-9)\times 6 = -(9\times 6) = -54 \]

2. Les facteurs sont tous les deux négatifs : le produit est positif.

\[ (-7)\times(-8) = +(7\times 8) = 56 \]

3. Les facteurs sont de signes contraires : le produit est négatif.

\[ 12\times(-5) = -(12\times 5) = -60 \]

Exercice 3

Plusieurs facteurs

Calculer les produits suivants en commençant par déterminer leur signe.

$(-2)\times(-4)\times(-5)$
$(-1)\times(-3)\times(-2)\times(-2)$

1. On compte les facteurs négatifs : trois facteurs négatifs (nombre impair).

Le produit est donc négatif.

\[ (-2)\times(-4)\times(-5) = -(2\times 4\times 5) = -40 \]

2. On compte les facteurs négatifs : quatre facteurs négatifs (nombre pair).

Le produit est donc positif.

\[ (-1)\times(-3)\times(-2)\times(-2) = +(1\times 3\times 2\times 2) = 12 \]

Exercice 4

Divisions

Calculer les quotients suivants.

$(-84)\div 12$
$(-96)\div(-8)$
$150\div(-25)$

1. Les nombres sont de signes contraires : le quotient est négatif.

\[ (-84)\div 12 = -(84\div 12) = -7 \]

2. Les nombres sont tous les deux négatifs : le quotient est positif.

\[ (-96)\div(-8) = +(96\div 8) = 12 \]

3. Les nombres sont de signes contraires : le quotient est négatif.

\[ 150\div(-25) = -(150\div 25) = -6 \]

Exercice 5

Puissances

Calculer les puissances suivantes.

$(-4)^{2}$
$(-2)^{5}$
$(-1)^{10}$

1. L'exposant $2$ est pair, donc le résultat est positif.

\[ (-4)^{2} = (-4)\times(-4) = 16 \]

2. L'exposant $5$ est impair, donc le résultat est négatif.

\[ (-2)^{5} = -(2\times 2\times 2\times 2\times 2) = -32 \]

3. L'exposant $10$ est pair, donc le résultat est positif.

\[ (-1)^{10} = 1 \]

Exercice 6

Le piège $-a^n$

Calculer les deux nombres suivants, puis expliquer pourquoi ils sont différents.

$-2^{4}$
$(-2)^{4}$

1. Sans parenthèses, la puissance ne porte que sur $2$.

\[ -2^{4} = -(2\times 2\times 2\times 2) = -16 \]

2. Avec les parenthèses, la puissance porte sur $-2$ tout entier.

\[ (-2)^{4} = (-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2) = 16 \]

Les deux écritures ne sont pas équivalentes : $-2^{4}=-16$ alors que $(-2)^{4}=16$. Les parenthèses changent ce sur quoi porte l'exposant.

Exercice 7

Problème — ascenseur

Un ascenseur descend de $4$ étages, chaque étage représentant une hauteur de $3$ m. Il part du rez-de-chaussée (hauteur $0$).

Traduire par un produit de deux nombres relatifs la variation de hauteur de l'ascenseur.
Calculer cette variation de hauteur, puis donner la position finale de l'ascenseur.

1. Descendre se traduit par un nombre négatif, répété $4$ fois.

Chaque étage descendu correspond à une variation de $-3$ m, répétée $4$ fois. La variation de hauteur est donc $(-3)\times 4$.

2. On calcule le produit : $4$ est positif, donc le résultat garde le signe de $-3$.

\[ (-3)\times 4 = -12 \]

La hauteur de l'ascenseur varie donc de $-12$ m. Comme il partait de $0$, l'ascenseur se trouve à $12$ m sous le rez-de-chaussée, soit au niveau $-4$ (le quatrième sous-sol).