Thème 1Modes de génération d'une suite

Rappel — deux façons de définir une suite

Forme explicite : \(u_n = f(n)\). On calcule directement n'importe quel terme sans connaître les précédents.

Relation de récurrence : \(u_0\) est donné et \(u_{n+1}\) s'exprime en fonction de \(u_n\). Il faut alors calculer les termes de proche en proche.

1.1Une suite définie de façon explicite

Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout \(n\in\mathbb{N}\) par \(u_n=\dfrac{3n-1}{n+2}\).

  1. Calculer \(u_0\), \(u_1\) et \(u_4\) (valeurs exactes).
  2. Cette suite est-elle définie de façon explicite ou par récurrence ? Justifier.
  3. Peut-on calculer \(u_{100}\) sans calculer les termes précédents ?

1. On remplace \(n\) par la valeur voulue : \(u_0=-\dfrac12\), \(u_1=\dfrac23\) et \(u_4=\dfrac{11}{6}\).

2. La suite est définie de façon explicite : \(u_n\) s'exprime directement en fonction de \(n\), sans faire intervenir \(u_{n-1}\).

3. Oui, c'est justement l'intérêt de la forme explicite : \(u_{100}=\dfrac{299}{102}\).

1.2Une suite définie par récurrence

Soit \((v_n)\) la suite définie par \(v_0=5\) et, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(v_{n+1}=0{,}8\,v_n+3\).

  1. Calculer \(v_1\), \(v_2\) et \(v_3\).
  2. Recopier et compléter la fonction Python ci-dessous, qui renvoie le terme \(v_n\).
def v(n): v = ...... for i in range(......): v = ...... return v

1. On applique la relation de proche en proche :

\(v_1=0{,}8\times 5+3=\) \(7\)  ·  \(v_2=0{,}8\times 7+3=\) \(8{,}6\)  ·  \(v_3=0{,}8\times 8{,}6+3=\) \(9{,}88\)

2. On initialise avec \(v_0\), puis on applique \(n\) fois la relation de récurrence :

def v(n): v = 5 for i in range(n): v = 0.8*v + 3 return v

Attention : range(n) et non range(n+1), car la boucle part de \(v_0\).

1.3Une suite périodique

Soit \((w_n)\) définie par \(w_0=2\) et, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(w_{n+1}=w_n^{\,2}-3\).

  1. Calculer \(w_1\), \(w_2\), \(w_3\) et \(w_4\).
  2. Que remarque-t-on ? Conjecturer la valeur de \(w_{2026}\).

1. \(w_1=2^2-3=\) \(1\)  ·  \(w_2=1^2-3=\) \(-2\)  ·  \(w_3=(-2)^2-3=\) \(1\)  ·  \(w_4=1^2-3=\) \(-2\)

2. À partir de \(w_1\), les termes alternent entre \(1\) et \(-2\) : la suite est périodique de période 2. Les termes d'indice impair valent \(1\), et ceux d'indice pair (à partir de \(n=2\)) valent \(-2\).

Comme \(2026\) est pair, on conjecture \(w_{2026}=-2\).

Thème 2Sens de variation d'une suite

Rappel — trois méthodes

Signe de la différence

\((u_n)\) est croissante si \(u_{n+1}-u_n\geqslant 0\) pour tout \(n\).

Comparaison du quotient à 1

Si tous les termes sont strictement positifs, comparer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\).

Fonction associée

Si \(u_n=f(n)\), le sens de variation de \(f\) sur \([0\,;+\infty[\) donne celui de \((u_n)\).

2.1Étudier le sens de variation des suites suivantes

Les suites sont définies pour tout \(n\in\mathbb{N}\). Choisir à chaque fois la méthode la plus adaptée.

a. \(u_n=n^2-6n+2\)
b. \(v_n=\dfrac{2^n}{n+1}\)
c. \(w_n=\dfrac{n-3}{n+1}\)
d. \(t_0=1\) et \(t_{n+1}=t_n+\dfrac{1}{n+1}\)

a. Signe de la différence

\(u_{n+1}-u_n=\big[(n+1)^2-6(n+1)+2\big]-\big[n^2-6n+2\big]=2n-5\).

Or \(2n-5<0 \iff n<2{,}5\). Donc \((u_n)\) est décroissante pour \(n\leqslant 2\), puis croissante pour \(n\geqslant 3\) : elle n'est pas monotone.

b. Comparaison du quotient à 1

Tous les termes sont strictement positifs et \(\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{2^{n+1}}{n+2}\times\dfrac{n+1}{2^n}=\dfrac{2(n+1)}{n+2}\).

\(\dfrac{2(n+1)}{n+2}\geqslant 1 \iff 2n+2\geqslant n+2 \iff n\geqslant 0\), ce qui est toujours vrai. Donc \((v_n)\) est croissante.

c. Fonction associée

On pose \(f(x)=\dfrac{x-3}{x+1}\) sur \([0\,;+\infty[\). Avec \(u=x-3\) et \(v=x+1\) :

\[ f'(x)=\frac{1\times(x+1)-(x-3)\times 1}{(x+1)^2}=\frac{4}{(x+1)^2}>0 \]

\(f\) est croissante sur \([0\,;+\infty[\), donc \((w_n)\) est croissante.

d. Signe de la différence (suite récurrente)

\(t_{n+1}-t_n=\dfrac{1}{n+1}>0\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\) : \((t_n)\) est strictement croissante.

Thème 3Suites arithmétiques et géométriques

Rappel — formules à connaître

Suite arithmétique

\(u_{n+1}=u_n+r\)  ·  \(u_n=u_0+nr\)

\(u_0+\dots+u_n=\dfrac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}\)

Suite géométrique

\(u_{n+1}=q\,u_n\)  ·  \(u_n=u_0\times q^{\,n}\)

\(u_0+\dots+u_n=u_0\times\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q}\)  (\(q\neq 1\))

3.1Reconnaître la nature d'une suite

Pour chacune des suites suivantes, préciser si elle est arithmétique, géométrique ou ni l'une ni l'autre. Donner alors sa raison et son premier terme.

\(a_n=3\times 2^{\,n+1}\)
\(b_n=5-4n\)
\(c_n=\dfrac{2^n}{3^{\,n-1}}\)

\(a_n=3\times 2\times 2^n=6\times 2^n\) : suite géométrique de raison \(q=2\), avec \(a_0=6\).

\(b_{n+1}-b_n=\big[5-4(n+1)\big]-\big[5-4n\big]=-4\) : suite arithmétique de raison \(r=-4\), avec \(b_0=5\).

\(c_n=\dfrac{2^n}{3^{\,n-1}}=\dfrac{2^n\times 3}{3^{\,n}}=3\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{\!n}\) : suite géométrique de raison \(q=\dfrac23\), avec \(c_0=3\).

3.2Retrouver une suite arithmétique à partir de deux termes

\((u_n)\) est une suite arithmétique telle que \(u_3=7\) et \(u_{10}=28\).

  1. Déterminer la raison \(r\), puis le premier terme \(u_0\).
  2. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\), puis calculer \(u_{50}\).
  3. Calculer \(S=u_0+u_1+\dots+u_{50}\).

1. On passe de \(u_3\) à \(u_{10}\) en ajoutant \(7\) fois la raison : \(u_{10}-u_3=7r\), donc \(7r=28-7=21\) et \(r=3\).

Puis \(u_0=u_3-3r=7-9=\) \(-2\).

2. \(u_n=u_0+nr\), soit \(u_n=-2+3n\), d'où \(u_{50}=-2+150=\) \(148\).

3. La somme comporte \(51\) termes :

\[ S=\frac{51\times(u_0+u_{50})}{2}=\frac{51\times 146}{2}=51\times 73=3\,723 \]

3.3Placement à intérêts composés et somme de termes

Un capital de \(2\,000\) € est placé au taux annuel de \(5\,\%\) à intérêts composés. On note \(v_n\) le capital disponible au bout de \(n\) années, avec \(v_0=2000\).

  1. Justifier que \((v_n)\) est géométrique et préciser sa raison.
  2. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\) et calculer \(v_{10}\) (arrondi au centime).
  3. Calculer \(v_0+v_1+\dots+v_{10}\) (arrondi à l'euro).
  4. Calculer \(T=1+2+4+8+\dots+2^{12}\).

1. Augmenter de \(5\,\%\) revient à multiplier par \(1+\dfrac{5}{100}=1{,}05\), donc \(v_{n+1}=1{,}05\,v_n\) : la suite est géométrique de raison \(1{,}05\).

2. \(v_n=2000\times 1{,}05^{\,n}\), donc \(v_{10}=2000\times 1{,}05^{10}\approx\) \(3\,257{,}79\) €.

3. La somme comporte \(11\) termes :

\[ v_0+\dots+v_{10}=2000\times\frac{1-1{,}05^{11}}{1-1{,}05}=2000\times\frac{1{,}05^{11}-1}{0{,}05}\approx 28\,414\ \text{€} \]

4. \(T\) est la somme des \(13\) premiers termes d'une suite géométrique de premier terme \(1\) et de raison \(2\) :

\[ T=\frac{1-2^{13}}{1-2}=2^{13}-1=8\,191 \]

Thème 4Suite arithmético-géométrique

Rappel — méthode type

Pour une suite définie par \(u_{n+1}=a\,u_n+b\), l'énoncé fournit une suite auxiliaire \(v_n=u_n-\ell\) (où \(\ell\) est le point fixe, solution de \(\ell=a\ell+b\)).

On démontre alors que \((v_n)\) est géométrique de raison \(a\), on en déduit \(v_n\), puis \(u_n=v_n+\ell\).

4.1Évolution du nombre d'adhérents d'un club

Un club sportif compte \(1\,200\) adhérents en 2025. Chaque année, le gérant constate que \(15\,\%\) des adhérents ne se réinscrivent pas, mais que \(240\) nouvelles personnes s'inscrivent. On note \(u_n\) le nombre d'adhérents en \(2025+n\), donc \(u_0=1200\).

  1. Justifier que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_{n+1}=0{,}85\,u_n+240\). Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
  2. On pose, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(v_n=u_n-1600\).
    1. Démontrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(0{,}85\). Préciser \(v_0\).
    2. En déduire l'expression de \(v_n\), puis celle de \(u_n\) en fonction de \(n\).
  3. En déduire le sens de variation de \((u_n)\). Interpréter dans le contexte.
  4. Le gérant affirme : « Le club dépassera un jour les \(1\,600\) adhérents. » A-t-il raison ? Justifier.
  5. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la première année où le nombre d'adhérents dépassera \(1\,550\).

1. Si \(15\,\%\) des adhérents partent, il en reste \(85\,\%\), soit \(0{,}85\,u_n\), auxquels s'ajoutent \(240\) nouveaux inscrits : \(u_{n+1}=0{,}85\,u_n+240\).

\(u_1=0{,}85\times 1200+240=\) \(1\,260\)  ·  \(u_2=0{,}85\times 1260+240=\) \(1\,311\)

2.a. Nature de la suite auxiliaire

Pour tout \(n\in\mathbb{N}\) :

\[ v_{n+1}=u_{n+1}-1600=0{,}85u_n+240-1600=0{,}85u_n-1360=0{,}85\big(u_n-1600\big)=0{,}85\,v_n \]

Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}85\), avec \(v_0=1200-1600=-400\).

2.b. Expression du terme général

\(v_n=v_0\times 0{,}85^{\,n}=-400\times 0{,}85^{\,n}\), donc

\[ u_n=v_n+1600=1600-400\times 0{,}85^{\,n} \]

3. Comme \(0<0{,}85<1\), la suite \(\left(0{,}85^{\,n}\right)\) est strictement décroissante ; donc \(-400\times 0{,}85^{\,n}\) est strictement croissante et \((u_n)\) est strictement croissante. Le nombre d'adhérents augmente chaque année.

4. Non, il a tort. Pour tout \(n\), \(400\times 0{,}85^{\,n}>0\), donc \(u_n=1600-400\times 0{,}85^{\,n}<1600\). Le club s'approche de \(1\,600\) adhérents sans jamais les atteindre.

5. On cherche le plus petit entier \(n\) tel que :

\[ u_n>1550 \iff 1600-400\times 0{,}85^{\,n}>1550 \iff 400\times 0{,}85^{\,n}<50 \iff 0{,}85^{\,n}<0{,}125 \]

À la calculatrice : \(u_{13}\approx 1\,547{,}8\) et \(u_{14}\approx 1\,555{,}6\). Le seuil est donc dépassé pour \(n=14\), soit en 2039.

Thème 5Formules de dérivation

Rappel — opérations sur les dérivées

\((u+v)'=u'+v'\)  ·  \((ku)'=k\,u'\)  ·  \((uv)'=u'v+uv'\)

\(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\)  ·  \(\left(\dfrac{1}{v}\right)'=\dfrac{-v'}{v^2}\)  ·  \(\left(\sqrt{x}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)

5.1Sommes et produits

Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes sur un intervalle où elle est dérivable. Préciser \(u\), \(v\), \(u'\) et \(v'\) lorsque c'est pertinent, puis simplifier.

a. \(f(x)=3x^3-5x^2+2x-7\)
b. \(g(x)=(2x-1)(x^2+3)\)
c. \(m(x)=x\sqrt{x}\)

a. Dérivation terme à terme : \(f'(x)=9x^2-10x+2\).

b. \(u=2x-1\), \(u'=2\) ; \(v=x^2+3\), \(v'=2x\).

\[ g'(x)=2(x^2+3)+(2x-1)(2x)=2x^2+6+4x^2-2x=6x^2-2x+6 \]

c. Sur \(]0\,;+\infty[\), avec \(u=x\) (\(u'=1\)) et \(v=\sqrt{x}\) \(\left(v'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)\) :

\[ m'(x)=1\times\sqrt{x}+x\times\frac{1}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2}=\frac{3\sqrt{x}}{2} \]

5.2Quotients et inverses

Même consigne. Bien préciser l'ensemble de dérivabilité et ne pas oublier le carré au dénominateur.

a. \(h(x)=\dfrac{3x-2}{x+4}\)
b. \(k(x)=\dfrac{x^2+1}{2x-3}\)
c. \(p(x)=\dfrac{1}{x^2+1}\)

a. Sur \(\mathbb{R}\setminus\{-4\}\), avec \(u=3x-2\), \(u'=3\) ; \(v=x+4\), \(v'=1\) :

\[ h'(x)=\frac{3(x+4)-(3x-2)\times 1}{(x+4)^2}=\frac{3x+12-3x+2}{(x+4)^2}=\frac{14}{(x+4)^2} \]

b. Sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac32\right\}\), avec \(u=x^2+1\), \(u'=2x\) ; \(v=2x-3\), \(v'=2\) :

\[ k'(x)=\frac{2x(2x-3)-2(x^2+1)}{(2x-3)^2}=\frac{4x^2-6x-2x^2-2}{(2x-3)^2}=\frac{2x^2-6x-2}{(2x-3)^2} \]

c. \(v=x^2+1\) ne s'annule pas sur \(\mathbb{R}\), et \(v'=2x\) :

\[ p'(x)=\frac{-2x}{(x^2+1)^2} \]

Thème 6Équations de tangentes

Rappel — tangente au point d'abscisse \(a\)

\[ y=f'(a)(x-a)+f(a) \]

Tangente horizontale \(\iff f'(a)=0\). Tangente parallèle à la droite \(y=mx+p \iff f'(a)=m\).

6.1Tangentes à une courbe polynomiale

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^3-3x^2+2\), et \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative.

  1. Calculer \(f'(x)\).
  2. Déterminer une équation de la tangente \(T\) à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(3\).
  3. Déterminer les points de \(\mathcal{C}_f\) en lesquels la tangente est horizontale.
  4. Déterminer les points de \(\mathcal{C}_f\) en lesquels la tangente est parallèle à la droite d'équation \(y=9x+1\).

1. \(f'(x)=3x^2-6x\).

2. \(f(3)=27-27+2=2\) et \(f'(3)=27-18=9\), donc

\[ T:\ y=9(x-3)+2 \iff y=9x-25 \]

3. Tangente horizontale \(\iff f'(x)=0 \iff 3x(x-2)=0 \iff x=0\) ou \(x=2\).

Les points cherchés sont \((0\,;2)\) et \((2\,;-2)\).

4. Tangente parallèle à \(y=9x+1 \iff f'(x)=9\) :

\[ 3x^2-6x=9 \iff x^2-2x-3=0 \iff (x-3)(x+1)=0 \iff x=3 \ \text{ou}\ x=-1 \]

En \(x=3\), on retrouve la tangente \(y=9x-25\) de la question 2. En \(x=-1\), \(f(-1)=-2\) et la tangente a pour équation \(y=9x+7\).

6.2Tangente à une fonction homographique

Soit \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) par \(g(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\).

  1. Calculer \(g'(x)\) et en déduire une équation de la tangente à \(\mathcal{C}_g\) au point d'abscisse \(2\).
  2. Justifier que \(\mathcal{C}_g\) n'admet aucune tangente horizontale.

1. Avec \(u=2x+1\), \(u'=2\) ; \(v=x-1\), \(v'=1\) :

\[ g'(x)=\frac{2(x-1)-(2x+1)\times 1}{(x-1)^2}=\frac{2x-2-2x-1}{(x-1)^2}=\frac{-3}{(x-1)^2} \]

\(g(2)=\dfrac{5}{1}=5\) et \(g'(2)=\dfrac{-3}{1}=-3\), d'où

\[ y=-3(x-2)+5 \iff y=-3x+11 \]

2. Pour tout \(x\neq 1\), \((x-1)^2>0\) donc \(g'(x)=\dfrac{-3}{(x-1)^2}<0\). La dérivée ne s'annule jamais : \(\mathcal{C}_g\) n'admet aucune tangente horizontale.

Thème 7Signe de la dérivée et variations

Rappel — lien dérivée / variations

Si \(f'(x)\geqslant 0\) sur un intervalle \(I\), alors \(f\) est croissante sur \(I\). Si \(f'(x)\leqslant 0\) sur \(I\), alors \(f\) est décroissante sur \(I\).

Un extremum local est atteint là où \(f'\) s'annule en changeant de signe.

7.1Étude complète d'un polynôme de degré 3

Soit \(f\) définie sur \([-3\,;4]\) par \(f(x)=2x^3-3x^2-12x+5\).

  1. Calculer \(f'(x)\) et la factoriser.
  2. Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \([-3\,;4]\) en complétant le tableau ci-dessous.
  3. Dresser le tableau de variations complet de \(f\) sur \([-3\,;4]\).
  4. En déduire le maximum et le minimum de \(f\) sur \([-3\,;4]\).
x−3……4
f ′(x)…0…0…

1. \(f'(x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)=\) \(6(x-2)(x+1)\).

2. \(f'(x)=0 \iff x=-1\) ou \(x=2\). Le coefficient dominant du trinôme est positif : \(f'(x)>0\) à l'extérieur des racines, \(f'(x)<0\) entre les racines.

x−3−124
f ′(x)+0−0+

3. On calcule les valeurs aux bornes et aux extremums : \(f(-3)=-40\), \(f(-1)=12\), \(f(2)=-15\) et \(f(4)=37\).

x−3−124
f ′(x)+0−0+
Variations de f−40↗12↘−15↗37

4. Sur \([-3\,;4]\), le maximum vaut \(f(4)=37\) et le minimum vaut \(f(-3)=-40\).

Attention : \(12\) et \(-15\) ne sont que des extremums locaux ; les extremums globaux sont ici atteints aux bornes.

7.2Étude d'un quotient

Soit \(g\) définie sur \(\left]2\,;+\infty\right[\) par \(g(x)=\dfrac{x^2-4x+5}{x-2}\).

  1. Démontrer que, pour tout \(x>2\), \(g'(x)=\dfrac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}\).
  2. En déduire le tableau de variations de \(g\) sur \(\left]2\,;+\infty\right[\), puis la valeur du minimum de \(g\).

1. Avec \(u=x^2-4x+5\), \(u'=2x-4\) ; \(v=x-2\), \(v'=1\) :

\[ g'(x)=\frac{(2x-4)(x-2)-(x^2-4x+5)\times 1}{(x-2)^2}=\frac{2x^2-8x+8-x^2+4x-5}{(x-2)^2} \]

\[ g'(x)=\frac{x^2-4x+3}{(x-2)^2}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2} \]

2. Sur \(\left]2\,;+\infty\right[\), on a \((x-2)^2>0\) et \(x-1>0\) : le signe de \(g'(x)\) est donc celui de \(x-3\).

x23+∞
x − 3−0+
g ′(x)−0+
Variations de g↘2↗

\(g\) admet donc un minimum en \(x=3\), égal à \(g(3)=\dfrac{9-12+5}{3-2}=\) \(2\).

Thème 8Problèmes d'optimisation

Rappel — méthode

1. Choisir la variable et déterminer son intervalle de définition.   2. Exprimer la quantité à optimiser en fonction de cette variable.   3. Dériver, étudier le signe de la dérivée.   4. Conclure avec le tableau de variations, en revenant au contexte.

8.1La boîte sans couvercle

Dans une plaque de carton carrée de \(30\) cm de côté, on découpe aux quatre coins des carrés de côté \(x\) (en cm), puis on relève les bords pour former une boîte parallélépipédique sans couvercle.

30 cm x 30 − 2x x fond de la boîte
  1. Justifier que \(x\) appartient à l'intervalle \(\left]0\,;15\right[\).
  2. Montrer que le volume de la boîte est \(V(x)=x(30-2x)^2\).
  3. Montrer que \(V'(x)=(30-2x)(30-6x)\).
  4. Étudier le signe de \(V'(x)\) sur \(\left]0\,;15\right[\) et dresser le tableau de variations de \(V\).
  5. En déduire la valeur de \(x\) qui rend le volume maximal, ainsi que ce volume maximal.

1. Le côté découpé doit être strictement positif (\(x>0\)) et il reste du carton entre les deux découpes d'un même côté : \(30-2x>0 \iff x<15\). Donc \(x\in\,]0\,;15[\).

2. La base de la boîte est un carré de côté \(30-2x\) et la hauteur vaut \(x\), donc \(V(x)=x(30-2x)^2\).

3. Avec \(u=x\) (\(u'=1\)) et \(v=(30-2x)^2\), de dérivée \(v'=2\times(-2)\times(30-2x)=-4(30-2x)\) :

\[ V'(x)=(30-2x)^2-4x(30-2x)=(30-2x)\big[(30-2x)-4x\big]=(30-2x)(30-6x) \]

4. Sur \(]0\,;15[\), \(30-2x>0\) : le signe de \(V'(x)\) est celui de \(30-6x\), positif pour \(x<5\) et négatif pour \(x>5\).

x0515
30 − 2x++
30 − 6x+0−
V ′(x)+0−
Variations de V0↗2000↘0

5. Le volume est maximal pour \(x=5\) cm, et vaut alors \(V(5)=5\times 20^2=\) \(2\,000\) cm\(^3\).

8.2Bénéfice maximal d'une entreprise

Une entreprise produit \(q\) centaines d'objets, avec \(q\in[0\,;10]\). Son bénéfice, exprimé en milliers d'euros, est modélisé par \(B(q)=-q^3+9q^2+21q-5\).

  1. Calculer \(B'(q)\) et la factoriser.
  2. Déterminer le nombre d'objets à produire pour que le bénéfice soit maximal.
  3. Quel est alors ce bénéfice maximal, en euros ?

1. \(B'(q)=-3q^2+18q+21=-3(q^2-6q-7)=\) \(-3(q-7)(q+1)\).

2. Sur \([0\,;10]\), \(q+1>0\) et \(-3<0\) : le signe de \(B'(q)\) est l'opposé de celui de \(q-7\). Donc \(B'(q)>0\) sur \([0\,;7[\) et \(B'(q)<0\) sur \(]7\,;10]\).

q0710
B ′(q)+0−
Variations de B−5↗240↘5

Le bénéfice est maximal pour \(q=7\), soit 700 objets produits.

3. \(B(7)=-343+9\times 49+147-5=-343+441+147-5=240\), soit un bénéfice maximal de 240 000 € (le bénéfice était exprimé en milliers d'euros).