Mathématiques : de la Troisième à la Seconde

\(A=3^{4+12}=\) \(3^{16}\)

\(B=4^{5\times(-2)}=\) \(4^{-10}\)

\(C=17^{5-12}=\) \(17^{-7}\)

\(D=3^{120+(-321)}=\) \(3^{-201}\)

\(E=\dfrac{5^{71-32}}{5^{-31}}=5^{39-(-31)}=\) \(5^{70}\)

Attention : dans \(B\), on multiplie les exposants ; dans \(A\), on les additionne.

\(A=1{,}43\times 10^{1}\times 10^{8}=\) \(1{,}43\times 10^{9}\)

\(B=3\times 10^{-2}\times 10^{-6}=\) \(3\times 10^{-8}\)

\(C=\) \(2{,}88\times 10^{9}\)

\(D=\) \(1{,}49\times 10^{8}\)  (déjà en écriture scientifique)

\(E=\) \(5{,}02\times 10^{-4}\)

\(F=72\times 10^{-3}=0{,}072=\) \(7{,}2\times 10^{-2}\)

\(G=4{,}7\times 10^{1}\times 10^{-4}=\) \(4{,}7\times 10^{-3}\)

\(H=2{,}7\times 10^{-2}\times 10^{10}=\) \(2{,}7\times 10^{8}\)

A — priorité à la multiplication

\[ A=\frac{1}{9}-\frac{5\times 6}{9\times 7}=\frac{1}{9}-\frac{30}{63}=\frac{7}{63}-\frac{30}{63}=\frac{-23}{63} \]

\(23\) est premier et ne divise pas \(63\) : la fraction \(-\dfrac{23}{63}\) est irréductible.

B — attention aux signes

\[ B=\frac{-5}{7}+\frac{8}{21}=\frac{-15}{21}+\frac{8}{21}=\frac{-7}{21}=\frac{-1}{3} \]

Soit \(B=-\dfrac13\).

C — quotient de deux fractions

\[ C=\frac{\dfrac{14}{7}+\dfrac{3}{7}}{\dfrac{5}{3}-\dfrac{3}{3}}=\frac{\dfrac{17}{7}}{\dfrac{2}{3}}=\frac{17}{7}\times\frac{3}{2}=\frac{51}{14} \]

D — priorité aux parenthèses

On commence par la parenthèse : \(\dfrac12-\dfrac56=\dfrac36-\dfrac56=\dfrac{-2}{6}=\dfrac{-1}{3}\).

Puis \(-4\times\left(-\dfrac{1}{3}\right)=+\dfrac43\), donc

\[ D=\frac12\left[\frac53+\frac43\right]=\frac12\times\frac93=\frac12\times 3=\frac32 \]

On teste les diviseurs par paires, en s'arrêtant à la racine carrée du nombre.

\(32\) : \(1\ ;\ 2\ ;\ 4\ ;\ 8\ ;\ 16\ ;\ 32\)

\(67\) : \(1\ ;\ 67\) — \(67\) n'est divisible ni par \(2\), \(3\), \(5\) ni \(7\), et \(8^2=64<67<81=9^2\) : c'est un nombre premier.

\(81\) : \(1\ ;\ 3\ ;\ 9\ ;\ 27\ ;\ 81\)

\(144\) : \(1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 6\ ;\ 8\ ;\ 9\ ;\ 12\ ;\ 16\ ;\ 18\ ;\ 24\ ;\ 36\ ;\ 48\ ;\ 72\ ;\ 144\)

a. Décompositions

\(429=3\times 143=\) \(3\times 11\times 13\)

\(130=2\times 65=\) \(2\times 5\times 13\)

\(286=2\times 143=\) \(2\times 11\times 13\)

\(165=3\times 55=\) \(3\times 5\times 11\)

b. Première somme

\[ \frac{429}{130}=\frac{3\times 11\times \cancel{13}}{2\times 5\times \cancel{13}}=\frac{33}{10} \qquad \frac{286}{165}=\frac{2\times \cancel{11}\times 13}{3\times 5\times \cancel{11}}=\frac{26}{15} \]

Le plus petit dénominateur commun de \(10\) et \(15\) est \(30\) :

\[ \frac{33}{10}+\frac{26}{15}=\frac{99}{30}+\frac{52}{30}=\frac{151}{30} \]

\(151\) est premier : la fraction \(\dfrac{151}{30}\) est irréductible.

b. Seconde différence

\[ \frac{429}{286}=\frac{3\times \cancel{11}\times \cancel{13}}{2\times \cancel{11}\times \cancel{13}}=\frac{3}{2} \qquad \frac{130}{165}=\frac{2\times \cancel{5}\times 13}{3\times \cancel{5}\times 11}=\frac{26}{33} \]

\[ \frac{3}{2}-\frac{26}{33}=\frac{99}{66}-\frac{52}{66}=\frac{47}{66} \]

\(47\) est premier et ne divise pas \(66\) : \(\dfrac{47}{66}\) est irréductible.

On simplifie d'abord par \(3\) :

\[ \frac{33}{1500}=\frac{3\times 11}{3\times 500}=\frac{11}{500} \]

En multipliant numérateur et dénominateur par \(2\), on obtient un dénominateur qui est une puissance de dix :

\[ \frac{11}{500}=\frac{11\times 2}{500\times 2}=\frac{22}{1000}=0{,}022 \]

L'écriture décimale est finie : \(\dfrac{33}{1500}\) est bien un nombre décimal.

Écriture scientifique : \(2{,}2\times 10^{-2}\).

Le nombre de sachets doit diviser chacun des quatre effectifs : c'est un diviseur commun à \(63\), \(273\), \(105\) et \(231\).

\[ 63=3^{2}\times 7 \quad;\quad 273=3\times 7\times 13 \quad;\quad 105=3\times 5\times 7 \quad;\quad 231=3\times 7\times 11 \]

Le facteur commun à toutes ces décompositions est \(3\times 7=21\) : le PGCD vaut \(21\).

a. Toutes les possibilités

Les diviseurs communs sont exactement les diviseurs de \(21\), soit \(1\ ;\ 3\ ;\ 7\ ;\ 21\) sachets.

b. Le maximum de sachets

Elle réalisera \(21\) sachets, contenant chacun :

\(63\div 21=\) 3 fraises  ·  \(273\div 21=\) 13 bananes  ·  \(105\div 21=\) 5 oursons  ·  \(231\div 21=\) 11 crocodiles.

\(A(x)=10x^{2}-8x-15x+12=\) \(10x^{2}-23x+12\)

\(B(x)=2x\times 5x-2x\times 3-7=\) \(10x^{2}-6x-7\)

\(C(x)=3x-x+1-(x^{2}+3x+7x+21)=2x+1-x^{2}-10x-21=\) \(-x^{2}-8x-20\)

Attention au signe « moins » devant la parenthèse : il change tous les signes qu'elle contient.

\(D(x)=x^{2}+2\times x\times 5+5^{2}=\) \(x^{2}+10x+25\)

\(E(x)=6^{2}-(7x)^{2}=\) \(36-49x^{2}\)

\(F(x)=(4x)^{2}-2\times 4x\times 1+1^{2}=\) \(16x^{2}-8x+1\)

Facteur commun

\(A(x)=x\times x+2\times x=\) \(x(x+2)\)

\(B(x)=(x-4)\big[7x+(x-4)\big]=(x-4)(8x-4)=\) \(4(x-4)(2x-1)\)

\(C(x)=3x\times 3x-3x\times 4=\) \(3x(3x-4)\)

\(D(x)=(x+1)\big[(2x+5)-(3x-4)\big]=(x+1)(2x+5-3x+4)=\) \((x+1)(-x+9)\)

\(G(x)=(3x+1)\big[(2-x)+1\big]=\) \((3x+1)(3-x)\)

Différence de deux carrés

\(E(x)=(4x)^{2}-1^{2}=\) \((4x-1)(4x+1)\)

\(F(x)=5^{2}-(2x-1)^{2}=\big[5-(2x-1)\big]\big[5+(2x-1)\big]=(6-2x)(4+2x)=\) \(4(3-x)(2+x)\)

\[ A=48\times(100-1)=4\,800-48=4\,752 \]

\[ B=57\times(100+1)=5\,700+57=5\,757 \]

\[ C=(100+1)^{2}=100^{2}+2\times 100\times 1+1^{2}=10\,000+200+1=10\,201 \]

a. On calcule séparément les deux membres pour \(x=-1\) :

Membre de gauche : \((-1+3)\big(2\times(-1)-5\big)=2\times(-7)=-14\).

Membre de droite : \(5\times(-1)-15=-20\).

Comme \(-14\neq -20\), \(-1\) n'est pas solution de \((E)\).

b. Pour \(x=2\) : gauche \(=(2+3)(4-5)=5\times(-1)=-5\) ; droite \(=10-15=-5\).

Les deux membres sont égaux : \(2\) est bien solution de \((E)\).

c. On développe le membre de gauche puis on ramène tout dans un membre :

\[ (x+3)(2x-5)=2x^{2}-5x+6x-15=2x^{2}+x-15 \]

\[ 2x^{2}+x-15=5x-15 \iff 2x^{2}-4x=0 \iff 2x(x-2)=0 \]

C'est une équation produit nul : \(2x=0\) ou \(x-2=0\), donc \(x=0\) ou \(x=2\).

L'équation \((E)\) admet donc une seconde solution : \(x=0\) (vérification : \(3\times(-5)=-15\) et \(5\times 0-15=-15\) ✓).

\(E_{1}:3x-1=-13 \iff 3x=-12 \iff x=-4\)  →  \(S=\{-4\}\)

\(E_{2}:-2x+5=8 \iff -2x=3 \iff x=\dfrac{3}{-2}\)  →  \(S=\left\{-\dfrac32\right\}\)

\(E_{3}:5x=0 \iff x=0\)  →  \(S=\{0\}\)

\(E_{4}:4-x=7 \iff -x=3 \iff x=-3\)  →  \(S=\{-3\}\)

\(E_{5}:11x-3=2x+9 \iff 9x=12 \iff x=\dfrac{12}{9}\)  →  \(S=\left\{\dfrac43\right\}\)

\(E_{6}:\dfrac{x}{7}=\dfrac{-7}{4} \iff 4x=-49 \iff x=\dfrac{-49}{4}\)  →  \(S=\left\{-\dfrac{49}{4}\right\}\)

\(E_{7}\) est une équation produit nul :

\[ (-2x-5)(3x+2)=0 \iff -2x-5=0 \ \text{ou}\ 3x+2=0 \iff x=-\frac52 \ \text{ou}\ x=-\frac23 \]

\(S=\left\{-\dfrac52\ ;\ -\dfrac23\right\}\)

a. Facteur commun \(-6x\) :

\[ -6x^{2}-12x=0 \iff -6x(x+2)=0 \iff x=0 \ \text{ou}\ x=-2 \]

\(S=\{-2\ ;\ 0\}\)

b. Facteur commun \((5x-25)\) :

\[ (5x-25)\big[(x+4)+(2x+1)\big]=0 \iff (5x-25)(3x+5)=0 \]

\[ \iff 5x-25=0 \ \text{ou}\ 3x+5=0 \iff x=5 \ \text{ou}\ x=-\frac53 \]

\(S=\left\{-\dfrac53\ ;\ 5\right\}\)

c. Différence de deux carrés avec \(a=x-2\) et \(b=5\) :

\[ (x-2)^{2}-5^{2}=0 \iff (x-2-5)(x-2+5)=0 \iff (x-7)(x+3)=0 \]

\[ \iff x=7 \ \text{ou}\ x=-3 \]

\(S=\{-3\ ;\ 7\}\)

Notons \(x\) le prix d'une raquette, en euros. La somme dont je dispose s'exprime de deux façons :

• avec \(3\) raquettes il me reste \(3\) € : cette somme vaut \(3x+3\) ;
• avec \(5\) raquettes il me manque \(8\) € : cette somme vaut \(5x-8\).

C'est la même somme d'argent, donc :

\[ 3x+3=5x-8 \iff 3+8=5x-3x \iff 11=2x \iff x=\frac{11}{2}=5{,}5 \]

Une raquette coûte \(5{,}50\) € (et je dispose de \(3\times 5{,}5+3=19{,}50\) €).

a. Si \(x=10\), elle gagnerait \(42\times 10=420\) points et perdrait \(6\times 10^{2}=600\) points. Le bilan serait \(420-600=-180\neq 0\) : non, ce n'est pas possible, elle aurait perdu des points.

b. Sur l'ensemble du niveau, elle gagne \(42x\) points et en perd \(6x^{2}\). Son bilan est donc \(42x-6x^{2}\). Comme son nombre de points est le même qu'au début, ce bilan est nul : \(42x-6x^{2}=0\).

c. On factorise :

\[ 42x-6x^{2}=0 \iff 6x(7-x)=0 \iff 6x=0 \ \text{ou}\ 7-x=0 \iff x=0 \ \text{ou}\ x=7 \]

La valeur \(x=0\) est à écarter : tuer un monstre rapporterait alors \(0\) point, ce qui n'a pas de sens dans le contexte. Chaque monstre tué rapporte donc \(7\) points.

a. Le théorème de Pythagore

Le triangle \(AMN\) est rectangle en \(M\), donc d'après le théorème de Pythagore :

\[ AN^{2}=AM^{2}+MN^{2}=4{,}5^{2}+6^{2}=20{,}25+36=56{,}25 \]

\(AN\) est une longueur, donc \(AN=\sqrt{56{,}25}=\) \(7{,}5\) cm.

b. La réciproque du théorème de Pythagore

Dans le triangle \(ABC\), le plus grand côté est \([BC]\). On calcule séparément :

\[ BC^{2}=15^{2}=225 \qquad\qquad AB^{2}+AC^{2}=9^{2}+12^{2}=81+144=225 \]

Comme \(BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\), la réciproque du théorème de Pythagore permet d'affirmer que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).

Attention : il faut toujours comparer le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres.

Vérifier la proportionnalité des côtés

On range les côtés de chaque triangle du plus petit au plus grand :

Triangle \(BCD\) : \(3{,}6\) ; \(4\) ; \(5{,}6\)  ·  Triangle \(HIJ\) : \(4{,}5\) ; \(5\) ; \(7\).

\[ \frac{4{,}5}{3{,}6}=1{,}25 \qquad \frac{5}{4}=1{,}25 \qquad \frac{7}{5{,}6}=1{,}25 \]

Les longueurs des côtés sont proportionnelles (coefficient \(1{,}25\)) : les triangles \(BCD\) et \(HIJ\) sont semblables.

Identifier les sommets qui se correspondent

Le côté \([CD]=3{,}6\) correspond à \([JI]=4{,}5\) ; \([BC]=4\) correspond à \([HJ]=5\) ; \([BD]=5{,}6\) correspond à \([HI]=7\). Donc \(B\leftrightarrow H\), \(C\leftrightarrow J\) et \(D\leftrightarrow I\).

Conclure sur les angles

Dans le triangle \(BCD\), la somme des angles vaut \(180^{\circ}\), donc \(\widehat{D}=180-40-95=45^{\circ}\).

Des triangles semblables ont des angles égaux deux à deux :

\(\widehat{H}=40^{\circ}\)  ·  \(\widehat{J}=95^{\circ}\)  ·  \(\widehat{I}=45^{\circ}\)

a. Configuration « triangle »

Les points \(O\), \(L\), \(E\) sont alignés, ainsi que \(O\), \(S\), \(A\), et \(L\) est entre \(O\) et \(E\) :

\[ LE = OE - OL = 5{,}7-2{,}4=3{,}3\ \text{cm} \]

Comme \((LS)\parallel(EA)\), le théorème de Thalès donne :

\[ \frac{OL}{OE}=\frac{OS}{OA}=\frac{LS}{EA} \qquad\text{soit}\qquad \frac{2{,}4}{5{,}7}=\frac{LS}{7{,}5} \]

\[ LS=\frac{2{,}4\times 7{,}5}{5{,}7}=\frac{18}{5{,}7}\approx 3{,}158 \]

\(LE=3{,}3\) cm et \(LS\approx 3{,}2\) cm.

b. Configuration « papillon »

Les points \(D\), \(T\), \(N\) sont alignés, ainsi que \(C\), \(T\), \(E\), et \((DC)\parallel(EN)\). Le théorème de Thalès donne :

\[ \frac{TD}{TN}=\frac{TC}{TE}=\frac{DC}{NE} \qquad\text{soit}\qquad \frac{4{,}7}{5{,}2}=\frac{TC}{2{,}4}=\frac{DC}{4{,}3} \]

\[ DC=\frac{4{,}7\times 4{,}3}{5{,}2}=\frac{20{,}21}{5{,}2}\approx 3{,}887 \qquad CT=\frac{4{,}7\times 2{,}4}{5{,}2}=\frac{11{,}28}{5{,}2}\approx 2{,}169 \]

\(DC\approx 3{,}9\) cm et \(CT\approx 2{,}2\) cm.

On calcule d'abord les longueurs depuis le sommet \(S\) :

\[ SA = SE+EA = 3+1{,}5=4{,}5\ \text{cm} \qquad SB = SG+GB = 4{,}2+1{,}8=6\ \text{cm} \]

On compare ensuite les deux rapports :

\[ \frac{SE}{SA}=\frac{3}{4{,}5}=\frac{2}{3}\approx 0{,}667 \qquad\qquad \frac{SG}{SB}=\frac{4{,}2}{6}=0{,}7 \]

Ces deux quotients sont différents. Or, si les droites \((EG)\) et \((AB)\) étaient parallèles, le théorème de Thalès imposerait qu'ils soient égaux.

Donc les droites \((EG)\) et \((AB)\) ne sont pas parallèles.

Remarque : on raisonne ici par l'absurde en utilisant la contraposée du théorème de Thalès, et non sa réciproque.

Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), l'hypoténuse est \([BC]\) et le côté \([AB]\) est adjacent à l'angle \(\widehat{ABC}\). On utilise donc le cosinus :

\[ \cos\widehat{ABC}=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{7} \]

À la calculatrice (en mode degré), \(\widehat{ABC}=\cos^{-1}\left(\dfrac67\right)\approx 31{,}0^{\circ}\).

Soit \(\widehat{ABC}\approx 31^{\circ}\).

On isole le triangle rectangle dont l'un des sommets est l'œil du personnage : le côté horizontal mesure \(10\) m (côté adjacent à l'angle de \(30^{\circ}\)) et le côté vertical, noté \(d\), est le côté opposé. On utilise donc la tangente :

\[ \tan 30^{\circ}=\frac{d}{10} \qquad\text{donc}\qquad d=10\times\tan 30^{\circ}\approx 5{,}77\ \text{m} \]

Cette longueur \(d\) est mesurée à partir du niveau des yeux. La hauteur totale de l'arbre s'obtient en ajoutant la taille du personnage :

\[ h = 1{,}80 + 5{,}77 \approx 7{,}57\ \text{m} \]

L'arbre mesure environ \(7{,}6\) m.

Erreur classique : oublier d'ajouter les \(1{,}80\) m et répondre \(5{,}8\) m.

a. Réciproque du théorème de Pythagore

Le plus grand côté est \([MN]\). On calcule séparément :

\[ MN^{2}=8^{2}=64 \qquad ML^{2}+LN^{2}=4{,}8^{2}+6{,}4^{2}=23{,}04+40{,}96=64 \]

L'égalité \(MN^{2}=ML^{2}+LN^{2}\) est vérifiée, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(LMN\) est rectangle en \(L\).

b. Mesure de l'angle

Dans le triangle \(LMN\) rectangle en \(L\), \([ML]\) est adjacent à \(\widehat{LMN}\) et \([MN]\) est l'hypoténuse :

\[ \cos\widehat{LMN}=\frac{ML}{MN}=\frac{4{,}8}{8}=0{,}6 \qquad\text{d'où}\qquad \widehat{LMN}\approx 53{,}1^{\circ} \]

Soit \(\widehat{LMN}\approx 53^{\circ}\).

c. La hauteur \([LK]\)

On exprime \(\sin\widehat{M}\) dans deux triangles rectangles différents :

• dans le triangle \(LMN\) rectangle en \(L\) : \(\sin\widehat{M}=\dfrac{LN}{MN}=\dfrac{6{,}4}{8}=0{,}8\) ;
• dans le triangle \(MKL\) rectangle en \(K\) : \(\sin\widehat{M}=\dfrac{LK}{ML}=\dfrac{LK}{4{,}8}\).

En égalant ces deux expressions :

\[ \frac{LK}{4{,}8}=0{,}8 \iff LK=0{,}8\times 4{,}8=3{,}84 \]

Donc \(LK=3{,}84\) cm exactement.

d. La longueur \(RS\)

Les triangles \(NRS\) (rectangle en \(R\)) et \(NLM\) (rectangle en \(L\)) partagent le même angle \(\widehat{N}\). On exprime \(\sin\widehat{N}\) de deux façons :

\[ \sin\widehat{N}=\frac{ML}{MN}=\frac{4{,}8}{8}=0{,}6 \qquad\text{et}\qquad \sin\widehat{N}=\frac{RS}{NS}=\frac{RS}{2} \]

\[ \frac{RS}{2}=0{,}6 \iff RS=1{,}2 \]

La valeur exacte est \(RS=1{,}2\) cm.

a. Le tableau de valeurs

Par exemple, pour \(x=-4\) : \(f(-4)=(-4)^{3}-1{,}5\times(-4)^{2}-18\times(-4)+1=-64-24+72+1=-15\).

Attention au signe : \((-4)^{2}=+16\) mais \((-4)^{3}=-64\).

b. La courbe

La courbe monte jusqu'à un maximum vers \(x=-2\), redescend jusqu'à un minimum vers \(x=3\), puis remonte.

Méthode : les images se lisent sur la ligne du bas, les antécédents sur la ligne du haut.

1. Lectures directes

a. L'image de \(-1\) est \(3{,}4\).

b. \(-2{,}5\) apparaît une seule fois sur la ligne des images : son antécédent est \(1{,}2\).

c. \(-1\) apparaît deux fois : ses antécédents sont \(0\) et \(2{,}5\) (l'un des deux suffisait).

2. Vrai ou faux

a. VRAI : \(g(1{,}2)=-2{,}5\).

b. FAUX : l'image de \(5\) est \(1{,}2\), pas \(-2{,}5\).

c. FAUX : l'image de \(-1\) est \(3{,}4\). C'est \(-0{,}7\) qui est l'antécédent de \(2{,}5\).

d. VRAI : \(g(-0{,}7)=2{,}5\).

Par lecture graphique

1. On part de l'axe des abscisses, on rejoint la courbe, puis on lit l'ordonnée : \(f(1)=-3\) et \(f(-2)=6\).

2. On part cette fois de l'ordonnée \(-2\) : la droite horizontale coupe la courbe en deux points, d'abscisses \(0\) et \(2\).

3. La droite horizontale d'ordonnée \(-3\) est tangente à la courbe en son point le plus bas : elle ne la coupe qu'en un seul point. \(-3\) admet un unique antécédent : \(1\).

Par le calcul

4. \(f(0)=(0-1)^{2}-3=1-3=-2\) et \(f(2)=(2-1)^{2}-3=1-3=-2\).

On retrouve le même résultat \(-2\) : cela confirme la lecture graphique de la question 2.

5.a. Chercher les antécédents de \(13\), c'est résoudre \(f(x)=13\) :

\[ (x-1)^{2}-3=13 \iff (x-1)^{2}=16 \iff (x-1)^{2}-16=0 \]

5.b. C'est une différence de deux carrés, avec \(a=x-1\) et \(b=4\) :

\[ (x-1)^{2}-16=(x-1)^{2}-4^{2}=\big[(x-1)-4\big]\big[(x-1)+4\big]=(x-5)(x+3) \]

5.c. L'équation devient une équation produit nul :

\[ (x-5)(x+3)=0 \iff x-5=0 \ \text{ou}\ x+3=0 \iff x=5 \ \text{ou}\ x=-3 \]

Les antécédents de \(13\) par \(f\) sont donc \(-3\) et \(5\).

a. Affines — elles s'écrivent \(ax+b\) : \(f\), \(g\), \(i\) et \(j\).

En effet \(g(x)=-2x+5\) (avec \(a=-2\), \(b=5\)), \(i(x)=4{,}5x+0\) et \(j(x)=0\times x-4\).

b. Linéaires — cas \(b=0\) : \(i\) seulement.

c. Constantes — cas \(a=0\) : \(j\) seulement.

d. Non affines : \(h\) et \(k\), car \(x\) y apparaît au carré ou au dénominateur.

Les fonctions linéaires et les fonctions constantes sont des cas particuliers de fonctions affines.

Méthode. La représentation d'une fonction affine est une droite : il suffit donc de placer deux points puis de tracer la droite qui les relie.

• \(f(x)=-3x\) : fonction linéaire, la droite passe par l'origine. Second point : \(f(1)=-3\), donc \((1\,;-3)\).
• \(g(x)=-2\) : fonction constante, la droite est horizontale d'ordonnée \(-2\).
• \(h(x)=\tfrac12 x+3\) : ordonnée à l'origine \(3\), donc \((0\,;3)\) ; puis \(h(2)=4\), donc \((2\,;4)\).
• \(i(x)=2x-5\) : \((0\,;-5)\) et \(i(3)=1\), donc \((3\,;1)\).
• \(j(x)=\tfrac{-5}{3}x\) : linéaire, passe par l'origine ; \(j(3)=-5\), donc \((3\,;-5)\) — on choisit \(x=3\) pour tomber sur un point à coordonnées entières.

Les droites de \(f\) et \(j\) sont décroissantes (coefficient directeur négatif), celles de \(h\) et \(i\) sont croissantes, celle de \(g\) est horizontale.

Méthode. On lit l'ordonnée à l'origine \(b\) (là où la droite coupe l'axe des ordonnées), puis le coefficient directeur \(a\) en se déplaçant de \(1\) vers la droite et en lisant le déplacement vertical.

\((d_{1})\) passe par l'origine, donc \(b=0\) : la fonction est linéaire. En avançant de \(2\) vers la droite, on monte de \(1\), donc \(a=\dfrac12\).

\[ d_{1} : x\mapsto 0{,}5x \]

\((d_{2})\) coupe l'axe des ordonnées en \(5\), donc \(b=5\). En avançant de \(1\), on descend de \(1\), donc \(a=-1\).

\[ d_{2} : x\mapsto -x+5 \]

\((d_{3})\) coupe l'axe des ordonnées en \(1\), donc \(b=1\). En avançant de \(1\), on monte de \(2\), donc \(a=2\).

\[ d_{3} : x\mapsto 2x+1 \]

1. Le cas d'Idriss

Offre 1 : une remise de \(3\,\%\) revient à multiplier par \(1-0{,}03=0{,}97\) :

\[ 3\,000\times 0{,}97=2\,910\ \text{€} \]

Offre 2 : il verse \(600\) €, puis il reste \(3\,000-600=2\,400\) € à payer, augmentés de \(20\,\%\) :

\[ 600+2\,400\times 1{,}2=600+2\,880=3\,480\ \text{€} \]

L'offre 1 est donc nettement plus avantageuse pour Idriss.

2. Les expressions des deux fonctions

a. \(f(x)=0{,}97x\) — c'est une fonction linéaire.

b. Le client verse \(600\) €, puis paie \((x-600)\) augmenté de \(20\,\%\) :

\[ g(x)=600+(x-600)\times 1{,}2=600+1{,}2x-720=1{,}2x-120 \]

3. Exploitation du graphique

a. \((C_{1})\) est la représentation de \(f\) : elle passe par l'origine (fonction linéaire). \((C_{2})\) est celle de \(g\) : sa pente est plus forte et elle coupe l'axe des abscisses en \(100\), pas en \(0\).

b. Pour \(x=2\,000\), on lit environ \(1\,950\) € sur \((C_{1})\) et environ \(2\,280\) € sur \((C_{2})\) : l'écart est d'environ \(330\) €.

c. Par le calcul :

\[ f(2\,000)=0{,}97\times 2\,000=1\,940 \qquad g(2\,000)=1{,}2\times 2\,000-120=2\,280 \]

\[ g(2\,000)-f(2\,000)=2\,280-1\,940=340 \]

L'écart exact est de \(340\) €, ce qui confirme la lecture graphique.

Les diplômés

\[ 160\times\frac{93{,}75}{100}=160\times 0{,}9375=150 \]

\(150\) élèves ont obtenu le brevet.

Les redoublants

\[ 160\times 0{,}85=136 \]

\(136\) élèves sont admis en seconde, donc \(160-136=\) \(24\) élèves redoublent.

Remarque : \(150\) élèves ont le brevet mais seulement \(136\) passent en seconde — obtenir le brevet ne garantit pas le passage.

L'effectif de la rentrée suivante

Une augmentation de \(5\,\%\) revient à multiplier par \(1{,}05\) :

\[ 160\times 1{,}05=168 \]

Il y aura \(168\) élèves de troisième à la rentrée.

Dans un sens : \(CM=1+\dfrac{p}{100}\) (le taux \(p\) est négatif pour une baisse). Dans l'autre : \(p=(CM-1)\times 100\).

Un coefficient inférieur à \(1\) traduit toujours une baisse, un coefficient supérieur à \(1\) une hausse.

Le coefficient de proportionnalité est \(\dfrac{10{,}8}{10{,}0}=1{,}08\).

a. \(3\times 1{,}08=\) \(3{,}24\) L de glace.

b. Le volume de glace est \(1{,}08\,x\).

c. Multiplier par \(1{,}08\), c'est augmenter de \(0{,}08\), soit \(+8\,\%\).

d. Ici on fait l'opération inverse : on cherche le volume d'eau \(V\) tel que \(1{,}08\times V=2{,}95\times 10^{7}\), donc on divise par \(1{,}08\) :

\[ V=\frac{2{,}95\times 10^{7}}{1{,}08}\approx 2{,}73\times 10^{7}\ \text{km}^{3} \]

Environ \(2{,}73\times 10^{7}\) km\(^{3}\) d'eau, soit près de \(2\) millions de km\(^{3}\) de moins que le volume de glace.

Erreur classique : diminuer de \(8\,\%\) (multiplier par \(0{,}92\)) au lieu de diviser par \(1{,}08\). Ces deux opérations ne donnent pas le même résultat.

Première étape indispensable : ordonner la série.

a.

Série ordonnée : \(11\) ; \(13\) ; \(\mathbf{14}\) ; \(\mathbf{26}\) ; \(33\) ; \(41\).

L'effectif est \(6\), donc pair : la médiane est la demi-somme des \(3^{\text{e}}\) et \(4^{\text{e}}\) valeurs.

\[ \text{Médiane}=\frac{14+26}{2}=20 \qquad \text{Étendue}=41-11=30 \]

b.

Série ordonnée : \(37{,}2\) ; \(38\) ; \(\mathbf{38{,}2}\) ; \(\mathbf{38{,}6}\) ; \(39\) ; \(39{,}4\).

\[ \text{Médiane}=\frac{38{,}2+38{,}6}{2}=38{,}4 \qquad \text{Étendue}=39{,}4-37{,}2=2{,}2 \]

On lit les effectifs sur le diagramme :

a. \(4+6+7+5=\) \(22\) enfants.

b. Étendue \(=12-9=\) \(3\) ans.

c. Moyenne. Il s'agit d'une moyenne pondérée :

\[ \bar{x}=\frac{9\times 4+10\times 6+11\times 7+12\times 5}{22}=\frac{36+60+77+60}{22}=\frac{233}{22}\approx 10{,}6 \]

L'âge moyen est d'environ \(10{,}6\) ans.

c. Médiane. L'effectif total \(22\) est pair : la médiane est la demi-somme des \(11^{\text{e}}\) et \(12^{\text{e}}\) valeurs de la série ordonnée. D'après les effectifs cumulés, les valeurs de rang \(11\) à \(17\) valent toutes \(11\).

L'âge médian est donc \(11\) ans.

1. \(600+800+1\,800+1\,200+600=\) \(5\,000\) gousses.

2. Les gousses conditionnables mesurent au plus \(20\) cm, soit celles de \(12\), \(15\) et \(17\) cm :

\[ 600+800+1\,800=3\,200 \qquad\text{et}\qquad \frac{3\,200}{5\,000}=0{,}64 \]

Il a pu conditionner \(64\,\%\) de sa production.

3. Premier critère — la moyenne.

\[ \bar{x}=\frac{12\times 600+15\times 800+17\times 1800+22\times 1200+23\times 600}{5\,000} \]

\[ \bar{x}=\frac{7\,200+12\,000+30\,600+26\,400+13\,800}{5\,000}=\frac{90\,000}{5\,000}=18 \]

La longueur moyenne est de \(18\) cm : le premier critère est vérifié (\(18\geqslant 16{,}5\)).

3. Second critère — la médiane. L'effectif total est \(5\,000\), donc la médiane est la demi-somme des valeurs de rang \(2\,500\) et \(2\,501\). Les effectifs cumulés valent :

Les gousses de rang \(1\,401\) à \(3\,200\) mesurent toutes \(17\) cm : la médiane vaut donc \(17\) cm.

Or \(17\leqslant 17{,}5\) : le second critère n'est pas vérifié.

Les deux conditions devant être remplies simultanément, le cultivateur ne recevra pas le label de qualité.

1. Il y a \(3\) issues équiprobables et \(1\) seule est favorable :

\[ p=\frac{1}{3}\approx 0{,}33 \]

2. Il y a maintenant \(5\) issues équiprobables et \(2\) favorables :

\[ p'=\frac{2}{5}=0{,}4 \]

Pour comparer, on met au même dénominateur : \(\dfrac13=\dfrac{5}{15}\) et \(\dfrac25=\dfrac{6}{15}\).

Comme \(\dfrac{6}{15}>\dfrac{5}{15}\), Pierre a bien un peu plus de chances de trouver une pièce avec la nouvelle règle.

La somme des probabilités de toutes les issues vaut \(1\), donc :

\[ p(C)=1-\big(p(A)+p(B)+p(D)\big) \]

On réduit au même dénominateur \(15\) :

\[ p(A)+p(B)+p(D)=\frac{3}{15}+\frac{2}{15}+\frac{5}{15}=\frac{10}{15}=\frac23 \]

\[ p(C)=1-\frac{10}{15}=\frac{5}{15}=\frac13 \]

Soit \(p(C)=\dfrac13\).

1. Au premier tirage, la boule \(2\) a deux fois plus de chances d'être tirée que les autres. Après ce premier tirage, il ne reste que trois boules, ce qui modifie les probabilités du second tirage.

2. Trois chemins conduisent à une somme égale à \(4\) : \((1\,;3)\), \((3\,;1)\) et \((2\,;2)\). On multiplie les probabilités le long de chaque chemin, puis on additionne :

\[ p(1\,;3)=\frac14\times\frac13=\frac{1}{12} \qquad p(3\,;1)=\frac14\times\frac13=\frac{1}{12} \qquad p(2\,;2)=\frac24\times\frac13=\frac{1}{6} \]

\[ p(\text{somme}=4)=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{2}{12}=\frac{4}{12}=\frac13 \]

La probabilité d'obtenir une somme égale à \(4\) est \(\dfrac13\).

1. Le tableau complété

Chaque case manquante s'obtient par une soustraction : \(90-30=60\) femelles blanches ; \(120-90=30\) souris grises ; \(30-8=22\) femelles grises ; \(120-38=82\) femelles au total.

Vérification : \(60+22=82\) ✓ et \(90+30=120\) ✓.

2. Trois probabilités

a. \(p(\text{blanche})=\dfrac{90}{120}=\dfrac34=\) \(0{,}75\)

b. \(p(\text{femelle})=\dfrac{82}{120}\approx\) \(0{,}68\)

c. \(p(\text{mâle gris})=\dfrac{8}{120}\approx\) \(0{,}07\)

3. Parmi les souris blanches

On ne considère plus les \(120\) souris, mais uniquement les \(90\) souris blanches, dont \(60\) sont des femelles :

\[ p=\frac{60}{90}=\frac23\approx 0{,}67 \]

La probabilité est d'environ \(0{,}67\).

Attention à ne pas confondre avec la question 2.b : ici, l'ensemble de référence a changé.