Mathématiques : de la Seconde à la Première

a. On développe avec \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) : \((x+5)^2 = x^2+10x+25\).

b. Le double produit vaut \(8x=2\times x\times 4\), donc \((x+4)^2 = x^2+8x+16\).

c. \(4x^2=(2x)^2\), \(9=3^2\) et \(2\times 2x\times 3 = 12x\) : \(4x^2-12x+9 = (2x-3)^2\).

d. Différence de deux carrés : \(x^2-9 = (x+3)(x-3)\).

a. \(2\times x\times\dfrac32 = 3x\) et \(\left(\dfrac32\right)^2=\dfrac94\) : \(\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2 = x^2+3x+\dfrac{9}{4}\).

b. Il faut \(2\times x\times a = 7x\), donc \(a=\dfrac72\) : \(\left(x+\dfrac{7}{2}\right)^2 = x^2+7x+\dfrac{49}{4}\).

c. \((x+2)^2 = x^2+4x+4\), il manque donc \(1\) : \(x^2+4x+5 = (x+2)^2+1\).

d. Avec \(a=x-1\) et \(b=3\) : \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), soit \(\big((x-1)+3\big)\big((x-1)-3\big)\), c'est-à-dire \((x-1)^2-9 = (x+2)(x-4)\).

Facteur commun

\(A = 6x^2-5x = \) \(x(6x-5)\)

\(B = x^3-5x^2+7x = \) \(x(x^2-5x+7)\)  (le trinôme ne se factorise pas en Seconde)

\(E = 9x-18 = \) \(9(x-2)\)

Différence de deux carrés

\(C = x^2-6^2 = \) \((x-6)(x+6)\)

\(D = (3x)^2-5^2 = \) \((3x-5)(3x+5)\)

\(F = (-2x+1)^2-2^2 = (-2x+1-2)(-2x+1+2) = (-2x-1)(-2x+3) = \) \((2x+1)(2x-3)\)

\(G = (x-2)^2-7^2 = (x-2-7)(x-2+7) = \) \((x-9)(x+5)\)

\(H = (\sqrt7)^2-(x+1)^2 = \) \((\sqrt7-x-1)(\sqrt7+x+1)\)

\(J = \big((3x+1)-(x-7)\big)\big((3x+1)+(x-7)\big) = (2x+8)(4x-6) = \) \(4(x+4)(2x-3)\)

Carré parfait

\(I = (4x)^2-2\times 4x\times 3+3^2 = \) \((4x-3)^2\)

\(A = \sqrt{13^2} = \) \(13\)

\(B = \sqrt{9\times 100} = 3\times 10 = \) \(30\)

\(C = \sqrt{4\times 81} = 2\times 9 = \) \(18\)

\(D = \sqrt{10^6} = \sqrt{(10^3)^2} = \) \(1000\)

On isole le plus grand carré parfait contenu dans le radicande.

\(E = \sqrt{4\times 3} = \) \(2\sqrt3\)

\(F = \sqrt{36\times 2} = \) \(6\sqrt2\)

\(G = \sqrt{4\times 11} = \) \(2\sqrt{11}\)

\(H = \dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{49}} = \dfrac{2\sqrt3}{7} = \) \(\dfrac{2}{7}\sqrt3\)

\(I = \dfrac{-12+6}{6} = \dfrac{-6}{6} = \) \(-1\)

\(J = \dfrac{6-3\sqrt3}{3} = \dfrac{3(2-\sqrt3)}{3} = \) \(2-\sqrt3\)

\(K = \dfrac{2+2\sqrt3}{2} = \dfrac{2(1+\sqrt3)}{2} = \) \(1+\sqrt3\)

Attention : on ne peut simplifier que par un facteur commun à tout le numérateur — d'où la mise en facteur préalable.

a. Type n°2 (produit nul). \((2x+3)(x-5)=0 \iff 2x+3=0\) ou \(x-5=0\). \(S=\left\{-\dfrac32\;;\;5\right\}\)

b. Type n°3 (carré isolé). \(x^2-5=0 \iff x^2=5\), et \(5>0\) : \(S=\left\{-\sqrt5\;;\;\sqrt5\right\}\)

c. Type n°1. \(-2(3-2x)-(2x+6)=0 \iff -6+4x-2x-6=0 \iff 2x-12=0 \iff x=6\). \(S=\{6\}\)

d. Type n°3. \(9-x^2=25 \iff -x^2=16 \iff x^2=-16\). Un carré n'est jamais négatif : \(S=\varnothing\)

e. Type n°2. \(2x-9=0 \iff x=\dfrac92\)  ou  \(4-5x=0 \iff x=\dfrac45\). \(S=\left\{\dfrac45\;;\;\dfrac92\right\}\)

f. Type n°4. Valeur interdite : \(x\neq 9\). Un quotient est nul si et seulement si son numérateur l'est : \(3x+5=0 \iff x=-\dfrac53\), qui est bien différent de \(9\). \(S=\left\{-\dfrac53\right\}\)

g. Type n°1. \(3(1-4x)=6 \iff 1-4x=2 \iff -4x=1 \iff x=-\dfrac14\). \(S=\left\{-\dfrac14\right\}\)

h. Type n°4. Valeur interdite : \(x\neq 0\). Puis \(x^2-4=0 \iff x^2=4\), soit \(x=-2\) ou \(x=2\), tous deux non nuls. \(S=\{-2\;;\;2\}\)

\(x-5=0 \iff x=5\) ; le coefficient de \(x\) est \(1>0\) donc l'expression est négative avant la racine.

\(-2x+6=0 \iff x=3\) ; le coefficient de \(x\) est \(-2<0\) donc l'expression est positive avant la racine.

\(x+1=0 \iff x=-1\) et \(-x+7=0 \iff x=7\). On applique ensuite la règle des signes ligne par ligne.

(a) \((x+2)(x-8)>0\)

Racines : \(x=-2\) et \(x=8\).

L'inégalité est stricte, les bornes sont donc exclues : \(S=\left]-\infty\,;\,-2\right[\;\cup\;\left]8\,;\,+\infty\right[\)

(b) \((2x-3)(x+4)\leqslant 0\)

Racines : \(2x-3=0 \iff x=\dfrac32\) et \(x+4=0 \iff x=-4\).

L'inégalité est large : les valeurs qui annulent le produit conviennent. \(S=\left[-4\,;\,\dfrac32\right]\)

1. La courbe est tracée pour \(x\) allant de \(-3\) à \(4\) : \(\mathcal{D}_f=[-3\,;\,4]\).

Méthode. Pour \(f(x)=k\) on cherche les abscisses des points d'intersection de \(\mathcal{C}_f\) avec la droite horizontale d'équation \(y=k\) ; pour \(f(x)>k\) on lit les abscisses des points de la courbe situés au-dessus de cette droite.

a. La courbe coupe l'axe des abscisses en \(-2\) et en \(1\) : \(S=\{-2\;;\;1\}\)

b. La courbe est au-dessus de l'axe des abscisses : \(S=[-3\,;\,-2[\;\cup\;]1\,;\,4]\)

c. La droite \(y=-1\) coupe la courbe en \(-1\) et en \(0\), et la courbe passe en dessous entre ces deux valeurs : \(S=[-3\,;\,-1]\;\cup\;[0\,;\,4]\)

d. \(S=\{-1\;;\;0\}\)

e. La droite \(y=1\) coupe la courbe en \(-3\), \(2{,}5\) et \(3{,}5\) ; la courbe est strictement en dessous entre \(-3\) et \(2{,}5\), puis après \(3{,}5\) : \(S=\;]-3\,;\,2{,}5[\;\cup\;]3{,}5\,;\,4]\)

f. Le minimum de \(f\) vaut \(-1{,}5\), donc \(f(x)\geqslant -2\) pour toutes les valeurs de l'ensemble de définition : \(S=[-3\,;\,4]\)

g. Le maximum de \(f\) vaut \(1{,}5\) : aucun point de la courbe n'est strictement au-dessus de la droite \(y=1{,}5\). \(S=\varnothing\)

h. Ce maximum est atteint pour la seule valeur \(x=3\) : \(S=\{3\}\)

Les questions g. et h. montrent bien la différence entre \(>\) et \(\geqslant\) : le point de tangence avec la droite \(y=1{,}5\) appartient à la solution seulement dans le second cas.

Pour lire la figure, on peut se placer dans le repère où \(B\) est l'origine, \(BC\) l'unité horizontale et \(BA\) l'unité verticale : \(A(0\,;2)\), \(B(0\,;0)\), \(C(2\,;0)\), \(D(2\,;2)\), \(G(4\,;2)\), \(H(4\,;0)\), \(E(1\,;1)\) et \(F(3\,;1)\).

a. \(\overrightarrow{DF}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\) : \(F\) est le milieu de \([DH]\), donc \(\overrightarrow{DF}=\dfrac12\overrightarrow{DH}\). Les vecteurs égaux à \(\overrightarrow{DF}\) sont \(\overrightarrow{AE}\), \(\overrightarrow{EC}\) et \(\overrightarrow{FH}\) (ce sont les demi-diagonales de même sens et de même longueur).

b. \(\overrightarrow{DG}\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}\). On cherche un point \(X\) tel que \(\overrightarrow{XC}=\overrightarrow{DG}\), c'est-à-dire \(X(0\,;0)\) : c'est \(B\). \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DG}\)

c. Règle du parallélogramme : \(\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\), donc la somme a pour coordonnées \(\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\), qui sont celles de \(\overrightarrow{BG}\). \(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BG}\)

On peut aussi rédiger sans coordonnées : \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\), donc \(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD} =\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{BG}\).

a. Construction

\(D\) est sur la demi-droite \([AB)\) avec \(AD=3AB\) ; \(E\) est sur \([AC)\) avec \(AE=1{,}5\,AC\) ; \(F\) s'obtient en reportant \(-\overrightarrow{AB}\) puis \(2\overrightarrow{AC}\) à partir de \(A\).

b.

Avec la relation de Chasles : \(\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE} =-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE} =-3\overrightarrow{AB}+\dfrac32\overrightarrow{AC}\), donc \(\overrightarrow{DE}=\dfrac32\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AB}\).

c.

\(\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AE} =-\left(-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\right)+\dfrac32\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}+\dfrac32\overrightarrow{AC}\), donc \(\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AB}-\dfrac12\overrightarrow{AC}\).

d.

\(-3\,\overrightarrow{FE}=-3\overrightarrow{AB}+\dfrac32\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DE}\).

Il existe donc un réel \(k=-3\) tel que \(\overrightarrow{DE}=k\,\overrightarrow{FE}\) : les vecteurs \(\overrightarrow{DE}\) et \(\overrightarrow{FE}\) sont colinéaires. Comme ils ont le point \(E\) en commun, les points \(D\), \(E\) et \(F\) sont alignés.

a. \(\vec u=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA} =\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AA}\), donc \(\vec u=\vec 0\).

b. On remplace les opposés : \(-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CA}\) et \(-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}\). Ainsi \(\vec v=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB} =\vec 0+\overrightarrow{AB}\), donc \(\vec v=\overrightarrow{AB}\).

c. \(-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BM}\), donc \(\vec w=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AB}\), soit \(\vec w=2\overrightarrow{BA}\).

2. \(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BA}\).

Donc \(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\). L'égalité est vraie quels que soient les points \(O\), \(A\), \(B\) et \(C\).

1.a. On part de \(E(2\,;1)\) : \(+4\) en abscisse et \(+1\) en ordonnée donne \(F(6\,;2)\).

1.b. \(-3\) en abscisse et \(-4\) en ordonnée donne \(G(-1\,;-3)\).

1.c. \(\overrightarrow{ED}\begin{pmatrix}1-2\\4-1\end{pmatrix}\), soit \(\overrightarrow{ED}\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}\).

2.b. On additionne les coordonnées : \(\overrightarrow{EH}\begin{pmatrix}4+(-3)\\1+(-4)\end{pmatrix}\), soit \(\overrightarrow{EH}\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}\).

2.a. Donc \(H(3\,;-2)\) : c'est le quatrième sommet du parallélogramme construit sur \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{EG}\).

a. \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\).

b. \(AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\) et \(BC=\sqrt{(-1)^2+3^2}=\sqrt{10}\) : le triangle est isocèle en \(B\). De plus \(AC^2=2^2+4^2=20\) et \(AB^2+BC^2=10+10=20\) : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en \(B\). \(ABC\) est un triangle rectangle isocèle en \(B\).

c. \(\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix}-3\\-1\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}\), donc \(\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}-4\\2\end{pmatrix}\) et \(D(1-4\,;1+2)\), soit \(D(-3\,;3)\).

\(\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}0-(-3)\\4-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=\overrightarrow{AB}\) : \(ABCD\) est donc un parallélogramme. Comme deux côtés consécutifs sont perpendiculaires et de même longueur (question b.), \(ABCD\) est un carré de côté \(\sqrt{10}\).

a) \(\det(\vec u,\vec v)=3\times(-1)-4\times 2=-11\neq 0\) : les vecteurs ne sont pas colinéaires.

b) \(\det(\vec u,\vec v)=(-1)\times(-4)-3\times\dfrac43=4-4=0\) : les vecteurs sont colinéaires (on a d'ailleurs \(\vec v=-\dfrac43\,\vec u\)).

c) \(\det(\vec u,\vec v)=(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)-(-1)\times(-4)=(5-1)-4=0\) : les vecteurs sont colinéaires.

2. \(\det(\vec u,\vec v)=2\times 2x-3(1+x)=4x-3-3x=x-3\).

Les vecteurs sont colinéaires si et seulement si \(x-3=0 \iff x=3\). Sofia a raison : le seul réel possible est \(x=3\) (on obtient alors \(\vec v\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}=2\vec u\)).

On repère deux points à coordonnées entières sur chaque droite, puis on calcule les coordonnées du vecteur qui les joint (tout vecteur colinéaire non nul convient aussi).

\((d_1)\) passe par \((0\,;3)\) et \((1\,;1)\) : \(\vec{u_1}\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}\)

\((d_2)\) est horizontale : \(\vec{u_2}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\)

\((d_3)\) passe par \((0\,;1)\) et \((2\,;2)\) : \(\vec{u_3}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\)

\((d_4)\) passe par \((1\,;-1)\) et \((2\,;2)\) : \(\vec{u_4}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\)

Pour \(ax+by+c=0\), un vecteur directeur est \(\vec u\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}\).

\(d_1\) : \(a=-1\), \(b=2\) donc \(\vec{u_1}\begin{pmatrix}-2\\-1\end{pmatrix}\), ou plus simplement \(\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\).

\(d_2\) : \(\vec{u_2}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\), ou \(\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\).

\(d_3\) : \(\vec{u_3}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\).

\(d_4\) : \(\vec{u_4}\begin{pmatrix}-8\\-4\end{pmatrix}\), ou \(\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\).

a. VRAI. \(\vec{u_1}\) et \(\vec{u_2}\) sont colinéaires (\(\det=2\times 1-1\times 2=0\)), donc \(d_1\) et \(d_2\) sont parallèles.

b. FAUX. Ces deux droites ont bien la même direction, mais elles ne sont pas confondues : le point \(\left(0\,;\dfrac34\right)\) appartient à \(d_2\) (car \(-4\times\dfrac34+3=0\)) et pas à \(d_4\), puisque \(-4\times 0+8\times\dfrac34+3=9\neq 0\). Elles sont strictement parallèles.

c. VRAI. \(\det(\vec{u_1},\vec{u_3})=2\times 2-1\times(-1)=5\neq 0\) : les directions sont différentes, donc \(d_1\) et \(d_3\) sont sécantes.

1. \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\-8\end{pmatrix}\) : l'abscisse est non nulle, la droite n'est pas verticale. Son coefficient directeur est \(m=\dfrac{-8}{4}=-2\), donc \((AB)\) a une équation de la forme \(y=-2x+p\). Comme \(B(1\,;-2)\) lui appartient : \(-2=-2\times 1+p \iff p=0\). \((AB) : y=-2x\), soit \(2x+y=0\).

2. Pour \(C(2\,;-4)\) : \(2\times 2+(-4)=0\). Les coordonnées de \(C\) vérifient l'équation, donc \(C\in(AB)\) : les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.

3.a. Un vecteur directeur de \((AB) : 2x+y=0\) est \(\vec u\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\) ; un vecteur directeur de \((d) : 3x+4y-1=0\) est \(\vec v\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}\).

\(\det(\vec u,\vec v)=(-1)\times 3-2\times(-4)=-3+8=5\neq 0\) : les droites ne sont pas parallèles, donc elles sont sécantes.

3.b. On résout le système :

\(\begin{cases} y=-2x \\ 3x+4y-1=0 \end{cases} \iff \begin{cases} y=-2x \\ 3x-8x-1=0 \end{cases} \iff \begin{cases} y=-2x \\ -5x=1 \end{cases} \iff \begin{cases} x=-\dfrac15 \\[4pt] y=\dfrac25 \end{cases}\)

Le point d'intersection est \(\left(-\dfrac15\,;\,\dfrac25\right)\).

1. Deux droites non verticales sont parallèles lorsqu'elles ont le même coefficient directeur : \(d\) a une équation de la forme \(y=x+p\). Comme \(A(0\,;-1)\in d\) : \(-1=0+p\), d'où \(p=-1\). \(d : y=x-1\)

2. \(d\) a une équation de la forme \(2x+3y+c=0\) (même vecteur directeur \(\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}\)). Comme \(A(1\,;2)\in d\) : \(2\times 1+3\times 2+c=0 \iff 8+c=0 \iff c=-8\). \(d : 2x+3y-8=0\)

a. Par substitution

\(4x-5=-3x+2 \iff 7x=7 \iff x=1\), puis \(y=4\times 1-5=-1\).

\(S=\{(1\,;-1)\}\) : les deux droites sont sécantes au point \((1\,;-1)\).

b. Par combinaison

On multiplie la première ligne par \(2\) : \(6x+8y=10\). En lui retranchant la seconde ligne : \(6y=9\), donc \(y=\dfrac32\).

Puis \(3x+4\times\dfrac32=5 \iff 3x=-1 \iff x=-\dfrac13\).

\(S=\left\{\left(-\dfrac13\,;\,\dfrac32\right)\right\}\) : droites sécantes.

c.

\(x-\dfrac13 y=3 \iff 3x-y=9 \iff y=3x-9\)  et  \(-3x+y=1 \iff y=3x+1\).

Les deux droites ont le même coefficient directeur \(3\) mais des ordonnées à l'origine différentes : il n'existe aucun couple solution. \(S=\varnothing\) : les droites sont strictement parallèles.

1.a) \(0\leqslant 1{,}54<2{,}08\) et la fonction carré est croissante sur \([0\,;+\infty[\), donc \(1{,}54^2<2{,}08^2\).

1.b) \(-0{,}96<-0{,}8\leqslant 0\) et la fonction carré est décroissante sur \(]-\infty\,;0]\), donc \((-0{,}96)^2>(-0{,}8)^2\).

1.c) Les deux nombres n'ont pas le même signe : on utilise \((-0{,}3)^2=0{,}3^2\). Comme \(0\leqslant 0{,}2<0{,}3\), on obtient \(0{,}2^2<(-0{,}3)^2\).

2.a) Sur \([2\,;4]\subset[0\,;+\infty[\) la fonction carré est croissante, elle conserve donc l'ordre : \(4\leqslant x^2\leqslant 16\).

2.b) i) Sur \([-3\,;-0{,}5]\subset\,]-\infty\,;0]\) la fonction carré est décroissante, elle change donc l'ordre : \(x^2\) est compris entre \((-0{,}5)^2\) et \((-3)^2\), soit \(0{,}25\leqslant x^2\leqslant 9\).

ii) L'intervalle \([-3\,;2]\) contient \(0\) : la fonction n'y est pas monotone. Le minimum est atteint en \(0\) et vaut \(0\) ; le maximum est atteint en \(-3\) (car \(9>4\)) : \(0\leqslant x^2\leqslant 9\).

Sur un intervalle contenant \(0\), on ne peut pas se contenter de mettre au carré les bornes.

1.a. Tous les nombres de l'intervalle sont strictement positifs et la fonction inverse est décroissante sur \(]0\,;+\infty[\) : elle change l'ordre. Comme \(\dfrac{1}{2/5}=\dfrac52\) et \(\dfrac{1}{5/4}=\dfrac45\), on obtient \(\dfrac45<\dfrac1x<\dfrac52\), c'est-à-dire \(\dfrac1x\in\left]\dfrac45\,;\dfrac52\right[\).

1.b. Ici \(x<0\) et la fonction inverse est décroissante sur \(]-\infty\,;0[\). Avec \(\dfrac{1}{-3/4}=-\dfrac43\) et \(\dfrac{1}{-1/2}=-2\) : \(-2<\dfrac1x\leqslant-\dfrac43\), c'est-à-dire \(\dfrac1x\in\left]-2\,;-\dfrac43\right]\) (l'inégalité large reste du côté de \(-\dfrac34\)).

1.c. L'intervalle contient \(0\), où \(\dfrac1x\) n'est pas définie : aucun encadrement n'est possible. Pour \(-2<x<0\) on a \(\dfrac1x<-\dfrac12\) et pour \(0<x<1\) on a \(\dfrac1x>1\). \(\dfrac1x\in\left]-\infty\,;-\dfrac12\right[\;\cup\;]1\,;+\infty[\)

2. La fonction racine carrée est croissante sur \([0\,;+\infty[\) : elle conserve l'ordre, il suffit donc de prendre la racine carrée des bornes.

a. \(0\leqslant\sqrt x\leqslant 2\)  ·  b. \(3\leqslant\sqrt x\leqslant 5\)

c. \(\sqrt{0{,}25}=0{,}5\) et \(\sqrt{6{,}25}=2{,}5\) : \(0{,}5\leqslant\sqrt x\leqslant 2{,}5\)

d. \(\sqrt{\dfrac{1}{100}}=\dfrac{1}{10}\) : \(0{,}1\leqslant\sqrt x\leqslant 1\)

1.b. On calcule les carrés des longueurs (plus commode que les longueurs elles-mêmes) :

\(RS^2=(3-(-2))^2+(3-2)^2=25+1=26\)  ;  \(ST^2=(4-3)^2+(-2-3)^2=1+25=26\)  ;  \(RT^2=(4-(-2))^2+(-2-2)^2=36+16=52\).

Le plus grand côté est \([RT]\) et \(RS^2+ST^2=26+26=52=RT^2\). D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(RST\) est rectangle en \(S\) (et même isocèle, car \(RS=ST=\sqrt{26}\)).

2.2. \(ABCD\) est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).

\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}\)  et  \(\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}-2-(-6)\\-3-(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}\).

Ces deux vecteurs sont différents (les abscisses ne sont pas égales), donc \(ABCD\) n'est pas un parallélogramme.

On pouvait aussi comparer les milieux des diagonales : milieu de \([AC]\) : \((-2\,;-0{,}5)\), milieu de \([BD]\) : \((-1{,}5\,;-0{,}5)\). Ils sont distincts, ce qui conclut de la même façon.

1.b. \(K\left(\dfrac{5+(-1)}{2}\,;\,\dfrac{1+3}{2}\right)\), donc \(K(2\,;2)\).

2.2. Milieu de \([AC]\) : \(\left(\dfrac{-3+1}{2}\,;\,\dfrac{3+(-1)}{2}\right)=(-1\,;1)\).

Milieu de \([BD]\) : \(\left(\dfrac{0+(-2)}{2}\,;\,\dfrac{\frac52+\left(-\frac12\right)}{2}\right)=(-1\,;1)\).

Les segments \([AC]\) et \([BD]\) ont bien le même milieu \((-1\,;1)\).

2.3. Les diagonales du quadrilatère \(ABCD\) se coupent en leur milieu : \(ABCD\) est un parallélogramme. Ses diagonales n'ont ni la même longueur (\(AC=\sqrt{32}\) et \(BD=\sqrt{13}\)) ni des directions perpendiculaires : ce n'est ni un rectangle, ni un losange.

2.4. \(E\) est le symétrique de \(A\) par rapport à \(C\) signifie que \(C\) est le milieu de \([AE]\) : \(\dfrac{x_A+x_E}{2}=x_C\) donne \(x_E=2\times 1-(-3)=5\), et \(y_E=2\times(-1)-3=-5\). \(E(5\,;-5)\)

1.a. Nature du triangle

\(AB^2=(4+2)^2+(7-3)^2=36+16=52\)  ;  \(BC^2=(6-4)^2+(4-7)^2=4+9=13\)  ;  \(AC^2=(6+2)^2+(4-3)^2=64+1=65\).

\(AB^2+BC^2=52+13=65=AC^2\) : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, \(ABC\) est rectangle en \(B\).

Périmètre : \(AB+BC+AC=\sqrt{52}+\sqrt{13}+\sqrt{65}=2\sqrt{13}+\sqrt{13}+\sqrt{65}\), soit \(\mathcal{P}=3\sqrt{13}+\sqrt{65}\) cm.

Aire : les côtés de l'angle droit sont \([BA]\) et \([BC]\), donc \(\mathcal{A}=\dfrac{AB\times BC}{2}=\dfrac{2\sqrt{13}\times\sqrt{13}}{2}=\) \(13\) cm².

1.b. Cercle circonscrit

Le triangle est rectangle en \(B\) : son cercle circonscrit a pour diamètre l'hypoténuse \([AC]\). Le centre \(\Omega\) est donc le milieu de \([AC]\) : \(\Omega\left(2\,;\,\dfrac72\right)\), et le rayon vaut \(r=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{\sqrt{65}}{2}\).

2. Le quadrilatère ODFE

\(\overrightarrow{OD}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix}2-(-1)\\-2-(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\).

\(\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{EF}\) donc \(ODFE\) est un parallélogramme.

De plus \(OD=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\) et \(OE=\sqrt{(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{10}\) : deux côtés consécutifs ont la même longueur. \(ODFE\) est un losange.

3. Le quadrilatère PQRS

\(\overrightarrow{PQ}\begin{pmatrix}7\\1\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{SR}\begin{pmatrix}6-(-1)\\-3-(-4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\1\end{pmatrix}\).

\(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{SR}\), donc \(PQRS\) est un parallélogramme.

Ses diagonales se coupent en leur milieu commun : milieu de \([PR]\) : \(\left(\dfrac{-3+6}{2}\,;\,\dfrac{2+(-3)}{2}\right)=\left(\dfrac32\,;-\dfrac12\right)\), et l'on retrouve bien le milieu de \([QS]\) : \(\left(\dfrac{4-1}{2}\,;\,\dfrac{3-4}{2}\right)=\left(\dfrac32\,;-\dfrac12\right)\).

Le point d'intersection des diagonales est \(\left(\dfrac32\,;-\dfrac12\right)\).

On passe du pourcentage \(p\) au coefficient \(k\) par \(k=1+\dfrac{p}{100}\), et réciproquement \(p=(k-1)\times 100\).

Piège classique : \(0{,}45\) correspond à une baisse de 55 % (et non de 45 %), car \(0{,}45=1-0{,}55\).

1. \(120\times 1{,}10=\) 132 €.

2. \(132\times 1{,}10=\) 145,20 € (soit \(120\times 1{,}1^2=120\times 1{,}21\)).

3. \(120\times 1{,}20=\) 144 €.

Deux hausses de 10 % ne font pas une hausse de 20 % : le coefficient global est \(1{,}1\times 1{,}1=1{,}21\), soit une hausse de 21 %.

1. Les trois quarts de 1200 € font 900 €, le reste 300 €.

\(900\times 1{,}06=954\)  et  \(300\times 0{,}92=276\), d'où un capital final de \(954+276=1230\) €.

Taux d'évolution : \(\dfrac{1230-1200}{1200}=\dfrac{30}{1200}=0{,}025\). Le capital a augmenté de 2,5 %.

2. Coefficient global : \(1{,}25\times 1{,}04=1{,}3\). L'augmentation globale est de 30 %.

3. Si \(x\) est le prix initial, \(x\times 1{,}05=420\), donc \(x=\dfrac{420}{1{,}05}=\) 400 €.

4.a. \(\dfrac{720-500}{500}=\dfrac{220}{500}=0{,}44\). L'augmentation est de 44 %.

4.b. On cherche le coefficient \(k>0\) tel que \(k^2=1{,}44\), soit \(k=\sqrt{1{,}44}=1{,}2\). Il faudrait appliquer deux hausses successives de 20 %.

Premier tableau. Les valeurs de la ligne \(x\) doivent être rangées dans l'ordre croissant, or \(3<5\). Il faut échanger les deux dernières bornes : la fonction croît de \(-1\) à \(4\) sur \([-4\,;3]\), puis décroît de \(4\) à \(2\) sur \([3\,;5]\).

Second tableau. Une flèche croissante ne peut pas relier \(0\) à \(-4\), puisque \(-4<0\). L'image en \(1\) doit être \(4\).

1. La courbe est tracée pour \(x\in[-1\,;3]\). Elle monte de \(-2\) à \(1\), redescend jusqu'à \(-3\) puis remonte jusqu'à \(1\).

2. Toute courbe respectant les variations et passant par les points \((-3\,;0)\), \((-1\,;-3)\), \((0\,;2)\) et \((4\,;1)\) convient. En voici une :

Les réels \(-2\) et \(4\) appartiennent à \([-3\,;5]\) et \(-2<4\).

Comme \(f\) est décroissante sur cet intervalle, elle change l'ordre : \(f(-2)\geqslant f(4)\).

Arthur a donc tort : l'inégalité \(f(-2)<f(4)\) est impossible. Au mieux, si la fonction est constante entre \(-2\) et \(4\), on aurait \(f(-2)=f(4)\).

1. FAUX. Le tableau donne \(f(-3)=1\). C'est \(4\) qui est un antécédent (la borne droite), pas une image.

2. VRAI. La flèche descend de \(1\) à \(-4\) sur \([-3\,;0]\).

3. FAUX. Le minimum est \(-4\), atteint en \(x=0\) ; \(-3\) est la valeur atteinte en \(4\).

4. VRAI. Sur \([0\,;4]\), la fonction monte de \(-4\) à \(0\) puis redescend à \(-3\) : la plus grande valeur atteinte est \(0\), donc \(f(x)\leqslant 0\).

5. FAUX. Sur \([-3\,;2]\), \(f\) est d'abord décroissante puis croissante : elle n'est pas monotone. Elle l'est sur \([-3\,;0]\) et sur \([0\,;2]\).

6. FAUX. Il y a deux solutions : une dans \([-3\,;0]\) (la fonction passe de \(1\) à \(-4\) en décroissant, donc elle s'annule une fois), et \(x=2\) puisque \(f(2)=0\).

7. VRAI. \(-2\) et \(-0{,}75\) appartiennent à \([-3\,;0]\) où \(f\) est décroissante, et \(-2<-0{,}75\), donc \(f(-2)\geqslant f(-0{,}75)\).

8. VRAI. \(1\) et \(2\) appartiennent à \([0\,;2]\) où \(f\) est croissante, et \(1<2\), donc \(f(1)\leqslant f(2)\).

1. Le point \(M\) parcourt \([EC]\) (6 cm) puis \([CT]\) (8 cm, car \(CT=RE=8\)) : \(\mathcal{D}_f=[0\,;14]\).

2. Pour \(x=0\), \(M\) est confondu avec \(E\), donc \(f(0)=RE=8\) cm.

3. Pour \(x=6\), \(M\) est en \(C\). Le triangle \(REC\) est rectangle en \(E\), donc \(RC^2=RE^2+EC^2=64+36=100\) : \(f(6)=RC=10\) cm.

4. On distingue les deux phases du trajet.

Phase 1 — \(0\leqslant x\leqslant 6\) : \(M\in[EC]\) avec \(EM=x\). Le triangle \(REM\) est rectangle en \(E\), donc \(f(x)=\sqrt{64+x^2}\). Quand \(x\) augmente, \(x^2\) augmente (car \(x\geqslant 0\)) donc \(f\) est croissante, de \(f(0)=8\) à \(f(6)=10\).

Phase 2 — \(6\leqslant x\leqslant 14\) : \(M\in[CT]\) avec \(CM=x-6\), donc \(TM=8-(x-6)=14-x\). Le triangle \(RTM\) est rectangle en \(T\), donc \(f(x)=\sqrt{36+(14-x)^2}\). Quand \(x\) augmente, \(14-x\) diminue en restant positif, donc \(f\) est décroissante, de \(f(6)=10\) à \(f(14)=\sqrt{36}=6\) (le point \(M\) arrive en \(T\)).

Le maximum de \(f\) est donc \(10\) cm, atteint lorsque \(M\) est au sommet \(C\).

1. 20 élèves ont choisi les deux options, donc \(80-20=60\) élèves ont choisi uniquement l'option A et \(180-20=160\) uniquement l'option B. Au total \(60+20+160=240\) élèves ont choisi au moins une option, donc \(300-240=60\) élèves n'en ont choisi aucune.

2.a. \(P(A)=\dfrac{80}{300}=\) \(\dfrac{4}{15}\approx 0{,}27\)

2.b. \(P(A\cap B)=\dfrac{20}{300}=\) \(\dfrac{1}{15}\approx 0{,}07\)

2.c. « Au moins une des deux options » correspond à \(A\cup B\) : \(P(A\cup B)=\dfrac{240}{300}=\) \(\dfrac45=0{,}8\)

3. \(P(A)+P(B)=\dfrac{80}{300}+\dfrac{180}{300}=\dfrac{260}{300}=\dfrac{13}{15}\), alors que \(P(A\cup B)=\dfrac{12}{15}\) : on ne retrouve pas le même résultat.

En effet les événements \(A\) et \(B\) ne sont pas incompatibles : les 20 élèves ayant pris les deux options sont comptés deux fois. On a bien \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\dfrac{13}{15}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{12}{15}\).

1. \(40\,\%\) de 50, soit \(50\times\dfrac{40}{100}=\) 20 femmes (et donc \(50-20=30\) hommes).

2. On complète par différences : chez les hommes, \(30-12-10=8\) nageurs ; chez les femmes, \(20-8-5=7\) judokas.

	Judo J	Natation N	Cyclisme C	Total
Homme \(H\)	12	8	10	30
Femme \(\overline{H}\)	7	8	5	20
Total	19	16	15	50

3. Il y a équiprobabilité (choix au hasard parmi les 50 membres).

\(P(H)=\dfrac{30}{50}=\) \(\dfrac35=0{,}6\)

\(\overline{H}\cap N\) : « être une femme et faire de la natation », soit 8 personnes. \(P(\overline{H}\cap N)=\dfrac{8}{50}=\) \(\dfrac{4}{25}=0{,}16\)

\(J\cup H\) : « faire du judo ou être un homme ». \(P(J\cup H)=P(J)+P(H)-P(J\cap H)=\dfrac{19}{50}+\dfrac{30}{50}-\dfrac{12}{50}=\) \(\dfrac{37}{50}=0{,}74\)

On peut vérifier en comptant directement : 30 hommes + 7 femmes judokas = 37 personnes.

1. À chaque tirage il y a 3 possibilités : l'arbre comporte \(3\times 3\times 3=27\) chemins, tous équiprobables.

2. Un seul chemin donne le mot VNR : \(P=\dfrac{1}{27}\approx 0{,}04\).

3. La deuxième lettre est imposée, les deux autres sont libres : \(3\times 1\times 3=9\) mots conviennent. \(P=\dfrac{9}{27}=\dfrac13\)

4. On passe par l'événement contraire « le mot ne contient aucun R » : chaque lettre est alors choisie parmi V et N, ce qui donne \(2\times 2\times 2=8\) mots.

\(P(\text{contient un R})=1-\dfrac{8}{27}=\) \(\dfrac{19}{27}\approx 0{,}70\)

1. Il y a \(3\times 3=9\) codes possibles, tous équiprobables.

2. \(V\) est réalisé par les codes AA, BB et CC : \(P(V)=\dfrac39=\dfrac13\).

\(L\) est réalisé par les codes formés uniquement de B et de C, soit BB, BC, CB et CC : \(P(L)=\dfrac49\).

On peut aussi raisonner par le contraire pour \(L\) : les codes contenant au moins un A sont au nombre de \(9-4=5\), d'où \(P(\overline{L})=\dfrac59\) et \(P(L)=1-\dfrac59=\dfrac49\).