Guide de résolution — Bac Antilles-Guyane J1 16 juin 2026

Exercice 1 (4 points) — Partie A

L'agence de sûreté nucléaire ASNR contrôle les installations des centrales nucléaires afin de garantir leur sécurité et leur conformité. La fréquence des contrôles dépend de l'état du réacteur.

On considère que dans le parc nucléaire français :

20 % des réacteurs sont en arrêt pour maintenance ;
5 % des réacteurs fonctionnent au ralenti ;
le reste des réacteurs du parc nucléaire est en état de fonctionnement normal.

On considère également que parmi les réacteurs en arrêt, 85 % sont contrôlés et que parmi les réacteurs fonctionnant au ralenti, 60 % sont contrôlés.

On choisit au hasard un réacteur dans le parc nucléaire français, et on note :

\(A\) l'évènement « Le réacteur est en arrêt » ;
\(R\) l'évènement « Le réacteur fonctionne au ralenti » ;
\(N\) l'évènement « Le réacteur fonctionne normalement » ;
\(C\) l'évènement « Le réacteur subit un contrôle ».

Pour un évènement quelconque \(E\), on désigne par \(\overline{E}\) son évènement contraire et par \(P(E)\) sa probabilité.

On note \(x\) la probabilité que le réacteur subisse un contrôle sachant qu'il fonctionne normalement, c'est-à-dire \(x = P_N(C)\).

Recopier l'arbre des probabilités ci-contre en complétant les pointillés à l'aide des données de l'énoncé.
Calculer la probabilité que le réacteur soit en arrêt et qu'il subisse un contrôle.

On sait de plus que la probabilité qu'un réacteur du parc nucléaire soit contrôlé est égale à \(0{,}35\).

Montrer que la probabilité \(x\) est égale à \(0{,}2\).
Le réacteur choisi subit un contrôle. Déterminer la probabilité qu'il fonctionne normalement.

Méthodes de cours

Placer sur les branches du premier niveau les probabilités \(P(A)\), \(P(R)\) et \(P(N)\). Le « reste » fonctionne normalement, donc \(P(N) = 1 - P(A) - P(R)\).

Sur les branches du second niveau, reporter les probabilités conditionnelles : « parmi les réacteurs en arrêt, 85 % sont contrôlés » donne \(P_A(C)\), etc. La branche \(N \to C\) porte l'inconnue \(x\).

💡 Pour chaque nœud, les deux branches \(C\) et \(\overline{C}\) ont des probabilités de somme \(1\) : \(P_A(\overline{C}) = 1 - P_A(C)\), etc.

La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées :

\[P(A \cap C) = P(A) \times P_A(C).\]

💡 Multiplie la probabilité d'être « en arrêt » par la probabilité conditionnelle d'être contrôlé sachant l'arrêt.

\(A\), \(R\) et \(N\) forment une partition de l'univers. Donc :

\[P(C) = P(A)\,P_A(C) + P(R)\,P_R(C) + P(N)\,P_N(C).\]

Tous les termes sont connus sauf celui qui contient \(x = P_N(C)\), et on sait que \(P(C) = 0{,}35\).

💡 Remplace, puis résous l'équation du premier degré en \(x\) ; tu dois retomber sur \(0{,}2\).

On cherche \(P_C(N)\) : le contrôle est connu, on remonte vers « fonctionnement normal ».

\[P_C(N) = \frac{P(N \cap C)}{P(C)}.\]

💡 Le numérateur \(P(N \cap C) = P(N) \times x\) se lit sur l'arbre ; le dénominateur vaut \(0{,}35\).

Exercice 1 (4 points) — Partie B

Dans le Sud de la France, on compte 12 réacteurs nucléaires qu'on numérote de 1 à 12.

On sait que lorsque le réacteur fonctionne normalement, sa production journalière est égale à 16 GWh (gigawattheure), lorsque le réacteur fonctionne au ralenti, sa production journalière est réduite à 10 GWh et enfin lorsque le réacteur est à l'arrêt, sa production journalière est nulle.

On rappelle que \(P(N) = 0{,}75\), \(P(R) = 0{,}05\) et \(P(A) = 0{,}20\).

On désigne par \(X\) la variable aléatoire qui modélise la production journalière en GWh d'un réacteur.
1. Recopier le tableau ci-dessous et compléter les pointillés donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\). On notera \(k\) les valeurs prises par la variable aléatoire \(X\) et \(p_k\) les probabilités égales à \(P(X=k)\).
2. Montrer que l'espérance \(E(X)\) de la variable aléatoire \(X\) est égale à \(12{,}5\) et que sa variance \(V(X)\) est égale à \(40{,}75\).
Pour tout entier naturel \(i\) compris entre 1 et 12, on note \(X_i\) la variable aléatoire qui modélise la production journalière en GWh du \(i\)-ème réacteur.
Ainsi, par exemple, \(X_2\) désigne la variable aléatoire qui modélise la production journalière en GWh du 2-ième réacteur.

On suppose que les variables \(X_1, X_2, \ldots, X_{12}\) suivent la même loi de probabilité que la variable aléatoire \(X\), et qu'elles sont indépendantes.

On considère la variable aléatoire \(S\) qui donne la production totale journalière des 12 réacteurs. On a ainsi \(S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{12}\).

On note \(E(S)\) l'espérance de la variable aléatoire \(S\) et \(V(S)\) sa variance.
1. Montrer que \(E(S) = 150\) et \(V(S) = 489\).
2. Afin d'éviter le risque de surcharge du réseau et de couvrir l'ensemble des besoins en électricité, la production totale journalière des 12 réacteurs doit être comprise strictement entre 100 GWh et 200 GWh.
  Peut-on affirmer que la probabilité d'éviter le risque de surcharge et de couvrir l'ensemble des besoins en électricité est supérieure à \(0{,}80\) ? Justifier.

Méthodes de cours

Associer chaque état à sa production et à sa probabilité : arrêt \(\to 0\) GWh, ralenti \(\to 10\) GWh, normal \(\to 16\) GWh.

💡 Les probabilités \(p_k\) sont \(P(A)\), \(P(R)\), \(P(N)\) ; vérifie que leur somme vaut \(1\).

\[E(X) = \sum_k k\,p_k, \qquad V(X) = \sum_k k^2\,p_k - \big(E(X)\big)^2.\]

💡 Calcule d'abord \(E(X)\), puis \(E(X^2)\) avec les \(k^2\), et applique la formule de König-Huygens.

Pour des variables indépendantes de même loi que \(X\) :

\[E(S) = 12\,E(X), \qquad V(S) = 12\,V(X).\]

💡 La linéarité de l'espérance ne demande pas l'indépendance, mais l'additivité des variances, si : justifie-le.

L'intervalle \(100 < S < 200\) est centré sur \(E(S) = 150\) : il s'écrit \(|S - 150| < 50\).

\[P\big(|S - 150| < 50\big) \geqslant 1 - \frac{V(S)}{50^2}.\]

💡 Calcule la minoration \(1 - \dfrac{V(S)}{2500}\) et compare-la à \(0{,}80\). Conclus prudemment : l'inégalité donne une minoration, pas la probabilité exacte.

Exercice 2 (6 points) — Partie A

Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse.

La notice du médicament indique que :

le traitement doit durer au moins 7 h ;
lorsque sa quantité, en mg, présente dans le sang est supérieure ou égale à 3 mg, il y a un risque de toxicité.

On s'intéresse à la quantité de médicament présente dans le sang au cours du temps sachant que le patient reçoit une première dose de 1 mg.

Deux protocoles sont étudiés dans les deux parties qui sont indépendantes.

Partie A : étude du premier protocole

Après l'injection de la première dose, une quantité supplémentaire de médicament est administrée régulièrement et de façon continue à un patient mis sous perfusion.

Dans cette partie, on modélise la quantité de médicament présente dans le sang du patient par une fonction \(q\) définie sur \([0~;~+\infty[\), où \(q(t)\) désigne la quantité, en mg, de médicament présente dans le sang du patient, et \(t\) représente le temps, en heure, écoulé depuis l'injection initiale. On a ainsi \(q(0) = 1\).

On admet que :

la fonction \(q\) est dérivable sur \([0~;+\infty[\) et on note \(q'\) sa fonction dérivée ;
la fonction \(q\) est solution sur \([0~;+\infty[\) de l'équation différentielle \((E)\) : \[y' = -\frac{3}{10}y + 1\] où \(y\) est une fonction de la variable réelle \(t\), définie et dérivable sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\), et \(y'\) sa fonction dérivée.

Donner les solutions sur \([0~;~+\infty[\) de l'équation différentielle \((E)\).
Montrer que pour tout réel \(t\) appartenant à \([0~;~+\infty[\), \(q(t) = \dfrac{10}{3} - \dfrac{7}{3}\mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t}\).
Déterminer la limite de la fonction \(q\) en \(+\infty\). Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
Étudier les variations de la fonction \(q\) sur \([0~;+\infty[\).
Déterminer, en résolvant une inéquation, au bout de combien de temps après l'injection initiale le médicament présente un risque pour le patient. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à \(10^{-1}\).
D'après ce modèle, le protocole présente-t-il un risque pour le patient ? Justifier.

Méthodes de cours

Les solutions de \(y' = ay + b\) (avec \(a \neq 0\)) sont les fonctions \(t \longmapsto K\,\mathrm{e}^{at} - \dfrac{b}{a}\), \(K \in \mathbb{R}\).

Identifier ici \(a = -\dfrac{3}{10}\) et \(b = 1\).

💡 Le terme constant \(-\dfrac{b}{a}\) vaut \(\dfrac{10}{3}\) : c'est la solution d'équilibre (et la future limite).

Utiliser \(q(0) = 1\) pour déterminer la constante \(K\) : remplacer \(t = 0\) dans la forme générale (avec \(\mathrm{e}^{0} = 1\)).

💡 Tu dois obtenir \(K = -\dfrac{7}{3}\), d'où l'expression annoncée de \(q(t)\).

Quand \(t \to +\infty\), \(\mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t} \to 0\). En déduire la limite de \(q\).

💡 Interprète : la quantité de médicament dans le sang se stabilise vers cette valeur limite (en mg) à long terme.

Dériver \(q\) : \(q'(t) = -\dfrac{7}{3} \times \left(-\dfrac{3}{10}\right)\mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t}\). Étudier son signe.

💡 L'exponentielle est toujours strictement positive : le signe de \(q'\) est constant. Conclus sur le sens de variation.

Le risque apparaît lorsque \(q(t) \geqslant 3\). Poser l'inéquation \(\dfrac{10}{3} - \dfrac{7}{3}\mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t} \geqslant 3\) et isoler l'exponentielle, puis appliquer \(\ln\).

💡 Attention au sens de l'inégalité quand tu divises par un nombre négatif et quand tu appliques \(\ln\) (fonction croissante). Donne la valeur exacte (avec \(\ln 7\)) avant l'arrondi à \(10^{-1}\).

Comparer le temps trouvé en Q5 à la durée minimale du traitement (7 h) imposée par la notice.

💡 Si le seuil de risque est atteint avant la fin de la durée minimale de traitement, le protocole expose le patient : rédige une phrase de conclusion argumentée.

Exercice 2 (6 points) — Partie B

Partie B : étude du second protocole

On injecte au patient une première dose de médicament de 1 mg. On admet que la quantité de médicament présente dans le sang du patient baisse de 30 % toutes les heures. Pour compenser cette baisse, on injecte une dose supplémentaire de 0,75 mg de médicament toutes les heures.

On modélise la situation par une suite \((u_n)\), où, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) représente la quantité, en mg, de médicament présente dans le sang du patient au bout de \(n\) heures écoulées depuis l'injection initiale.

Sous ces conditions, on a \(u_0 = 1\).

Justifier que pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 0{,}7 \times u_n + 0{,}75\).
1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4\).
2. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.
3. Déterminer la limite \(\ell\) de la suite \((u_n)\).
4. D'après ce modèle, le traitement présente-t-il un risque pour le patient ? Justifier.
On considère la suite \((v_n)\) définie, pour tout entier naturel \(n\), par \(v_n = u_n - 2{,}5\).
1. Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le terme initial.
2. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = 2{,}5 - 1{,}5 \times 0{,}7^n\).
D'après ce modèle, au bout de combien d'injections supplémentaires la quantité de médicament présente dans le sang de ce patient dépasse-t-elle 2,4 mg ?

Méthodes de cours

« Baisse de 30 % » se traduit par une multiplication par \(0{,}7\) (il reste 70 %). On ajoute ensuite la dose supplémentaire de \(0{,}75\) mg.

💡 Décris en une phrase le passage de \(u_n\) à \(u_{n+1}\) : « on garde 70 % puis on ajoute 0,75 », ce qui donne la relation demandée.

Cette double inégalité prouve en même temps la croissance (\(u_n \leqslant u_{n+1}\)) et la majoration par \(4\).

Initialisation : vérifier au rang \(0\). Hérédité : la fonction \(t \mapsto 0{,}7\,t + 0{,}75\) est croissante ; appliquer cette croissance à l'encadrement supposé.

💡 De \(u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4\), applique \(x \mapsto 0{,}7x + 0{,}75\) (croissante) pour obtenir \(u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 0{,}7 \times 4 + 0{,}75\), et vérifie que cette dernière valeur reste \(\leqslant 4\).

La suite est croissante et majorée par \(4\) : elle converge (théorème de la limite monotone).

💡 Ce théorème assure l'existence de la limite, sans en donner la valeur (objet de la question suivante).

Passage à la limite dans \(u_{n+1} = 0{,}7\,u_n + 0{,}75\) : \(\ell = 0{,}7\,\ell + 0{,}75\). Résoudre en \(\ell\).

💡 Compare la limite \(\ell\) (et le fait que la suite est majorée par elle) au seuil de risque de 3 mg pour conclure sur le danger éventuel.

Calculer \(v_{n+1} = u_{n+1} - 2{,}5\) en remplaçant \(u_{n+1}\), puis factoriser pour faire apparaître \(v_n = u_n - 2{,}5\).

💡 Tu obtiens \(v_{n+1} = 0{,}7\,v_n\) : suite géométrique de raison \(0{,}7\) et de premier terme \(v_0 = u_0 - 2{,}5\). Repasse ensuite à \(u_n = v_n + 2{,}5\).

Avec la forme explicite \(u_n = 2{,}5 - 1{,}5 \times 0{,}7^n\), poser l'inéquation \(u_n > 2{,}4\) et isoler \(0{,}7^n\).

💡 On aboutit à \(0{,}7^n < \dfrac{1}{15}\). Applique \(\ln\) (attention : \(\ln(0{,}7) < 0\) inverse le sens), puis prends le plus petit entier \(n\) qui convient.

Exercice 3 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse donnée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

L'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(\mathrm{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k}\right)\).

On considère :

les points \(\mathrm{S}(-1~;~\sqrt{2}~;-4)\), A\((2~;~\sqrt{2}~;~-1)\), B\((1~;~\sqrt{2}~;0)\) et C\((2~;~0~;-1)\) ;
la droite \(d\) dont une représentation paramétrique est donnée par : \[\begin{cases} x = 2-k\\ y = \sqrt{2}\,k\\ z = -1-k \end{cases},\quad k \in \mathbb{R}~;\]
le plan \(P\) dont une équation cartésienne est : \(x - z + 1 = 0\).

On admet que les points A, B et C ne sont pas alignés.

Affirmation 1 : Le vecteur \(\vec{\mathrm{SA}}\) est un vecteur normal au plan (ABC).

Affirmation 2 : Les droites (SB) et \(d\) sont sécantes.

Affirmation 3 : La droite \(d\) est parallèle au plan \(P\).

Affirmation 4 : Le projeté orthogonal de S sur le plan \(P\) est le point H de coordonnées \((-3~;~\sqrt{2}~;~-2)\).

Méthodes de cours

\(\vec{\mathrm{SA}}\) est normal au plan (ABC) s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple \(\vec{\mathrm{AB}}\) et \(\vec{\mathrm{AC}}\).

Vérifier les deux produits scalaires : \(\vec{\mathrm{SA}} \cdot \vec{\mathrm{AB}} = 0\) et \(\vec{\mathrm{SA}} \cdot \vec{\mathrm{AC}} = 0\).

💡 Calcule d'abord les coordonnées de \(\vec{\mathrm{SA}}\), \(\vec{\mathrm{AB}}\), \(\vec{\mathrm{AC}}\). Les deux produits scalaires doivent être nuls (A, B, C non alignés assurent que le plan est bien défini).

Écrire une représentation paramétrique de (SB) avec un paramètre distinct de \(k\), puis chercher un point commun avec \(d\) en résolvant le système des trois coordonnées.

💡 La coordonnée \(y\) de \(d\) vaut \(\sqrt{2}\,k\) ; celle de (SB) est constante. Cela fixe rapidement une valeur de paramètre : reste à vérifier la cohérence sur \(x\) et \(z\). Si le système est incompatible, les droites ne sont pas sécantes.

Une droite est parallèle à un plan si son vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal du plan, et qu'elle n'est pas incluse dans le plan.

Lire le vecteur directeur de \(d\) et le vecteur normal \(\vec{n}\) de \(P\) (coefficients de l'équation), puis calculer leur produit scalaire.

💡 Si le produit scalaire est nul, vérifie qu'un point de \(d\) n'appartient pas à \(P\) (sinon la droite serait incluse dans le plan, pas « parallèle »).

Le projeté orthogonal H de S sur \(P\) est l'intersection de \(P\) avec la droite passant par S et de vecteur directeur \(\vec{n}\) (normal au plan).

Écrire la représentation paramétrique de cette droite, l'injecter dans l'équation de \(P\) pour trouver le paramètre, puis les coordonnées de H.

💡 Compare les coordonnées obtenues à celles annoncées \((-3~;~\sqrt{2}~;~-2)\). Tu peux aussi simplement vérifier que H appartient à \(P\) et que \(\vec{\mathrm{SH}}\) est colinéaire à \(\vec{n}\).

Exercice 4 (6 points) — Partie A

Partie A : lecture graphique

On considère une fonction \(f\) définie et deux fois dérivable sur l'intervalle \(\left]\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[\). On note \(f'\) sa fonction dérivée et \(f''\) sa fonction dérivée seconde.

On a tracé, dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction \(f\), notée \(\mathcal{C}\), ainsi que la tangente \(T\) à \(\mathcal{C}\) au point A(1~;~0). On précise que \(T\) passe par le point B\((0~;~-2)\).

On répondra aux questions suivantes en les justifiant à l'aide du graphique.

Déterminer \(f'(1)\).
La fonction \(f\) est-elle concave sur \(\left]\dfrac{1}{2}~;+\infty\right[\) ?
Déterminer \(f''(1)\).

Méthodes de cours

\(f'(1)\) est le coefficient directeur de la tangente \(T\) au point A. Comme \(T\) passe par A\((1~;~0)\) et B\((0~;~-2)\) :

\[f'(1) = \frac{y_A - y_B}{x_A - x_B}.\]

💡 Calcule la pente avec les deux points donnés ; justifie en disant que c'est le coefficient directeur de la tangente en A.

Une fonction est concave sur un intervalle si sa courbe est entièrement « tournée vers le bas » (en dessous de chacune de ses tangentes), ce qui correspond à \(f'' \leqslant 0\).

💡 Observe si la courbe change de courbure (concave puis convexe, ou inversement). Si la position par rapport à la tangente \(T\) change autour de A, \(f\) n'est pas concave sur tout l'intervalle : justifie par le graphique.

Au point où la courbe traverse sa tangente (changement de convexité), la dérivée seconde s'annule.

💡 Si A est un point d'inflexion (la courbe traverse \(T\) en A), alors \(f''(1)\) prend une valeur particulière : déduis-la et justifie à l'aide du graphique.

Exercice 4 (6 points) — Partie B

Partie B : étude de fonction

On admet que la fonction représentée graphiquement dans la partie A est définie sur l'intervalle \(\left]\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[\) par : \[f(x) = x\ln(2x-1)\] où \(\ln\) désigne la fonction logarithme népérien.

On rappelle que :

la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur l'intervalle \(\left]\dfrac{1}{2}~;+\infty\right[\), que \(f'\) désigne sa fonction dérivée et \(f''\) sa fonction dérivée seconde ;
\(\mathcal{C}\) désigne la courbe représentative de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(\left]\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[\).

Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction \(f\) en \(\dfrac{1}{2}\). En déduire une interprétation graphique.
Résoudre l'équation \(f(x) = 0\) sur l'intervalle \(\left]\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[\).
On admet que pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle \(\left]\dfrac{1}{2}~;+\infty\right[\) : \[f'(x) = \ln(2x-1) + \dfrac{2x}{2x-1}.\]
1. Montrer que pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle \(\left]\dfrac{1}{2}~;+\infty\right[\) : \[f''(x) = \dfrac{4(x-1)}{(2x-1)^2}.\]
2. Montrer que \(\mathcal{C}\) admet un unique point d'inflexion et que ce point est l'intersection de \(\mathcal{C}\) avec l'axe des abscisses.
1. Montrer que la fonction \(f\) est positive sur l'intervalle \([1~;~2]\).
2. On admet que pour tout \(x\) appartenant à l'intervalle \(\left]\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[\), on a : \[\dfrac{x^2}{2x-1} = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8}\times\dfrac{2}{2x-1}.\] Montrer que : \[\int_{1}^{2} \dfrac{x^2}{2x-1}\, \mathrm{d}x = 1 + \dfrac{1}{8}\ln (3).\]
3. On note \(\mathcal{A}\) l'aire du domaine délimité par la courbe \(\mathcal{C}\), l'axe des abscisses et les droites d'équation \(x=1\) et \(x=2\).
  En vous aidant d'une intégration par parties, déterminer la valeur exacte de l'aire \(\mathcal{A}\) en unité d'aire.

Méthodes de cours

Quand \(x \to \dfrac{1}{2}^+\), on a \(2x - 1 \to 0^+\), donc \(\ln(2x-1) \to -\infty\), tandis que \(x \to \dfrac{1}{2}\).

💡 Le produit \(x\ln(2x-1)\) tend alors vers une limite infinie : précise son signe. Graphiquement, cela correspond à une asymptote verticale d'équation \(x = \dfrac{1}{2}\).

Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul : \(x\ln(2x-1) = 0 \iff x = 0\) ou \(\ln(2x-1) = 0\).

💡 Élimine la valeur hors du domaine \(\left]\tfrac12~;~+\infty\right[\), et résous \(\ln(2x-1) = 0 \iff 2x - 1 = 1\).

Dériver \(f'(x) = \ln(2x-1) + \dfrac{2x}{2x-1}\) terme à terme : pour le premier, \(\big(\ln(2x-1)\big)' = \dfrac{2}{2x-1}\) ; pour le second, dérivée d'un quotient.

💡 Réduis au même dénominateur \((2x-1)^2\) ; après simplification du numérateur tu dois obtenir \(4(x-1)\).

Un point d'inflexion correspond à un changement de signe de \(f''\). Étudier le signe de \(\dfrac{4(x-1)}{(2x-1)^2}\) : le dénominateur est positif, donc le signe est celui de \(x - 1\).

💡 \(f''\) s'annule en changeant de signe en \(x = 1\) : unique point d'inflexion. Calcule \(f(1)\) pour vérifier qu'il est sur l'axe des abscisses.

Sur \([1~;~2]\), étudier le signe de chaque facteur de \(f(x) = x\ln(2x-1)\) : \(x > 0\), et \(2x - 1 \geqslant 1\) donc \(\ln(2x-1) \geqslant 0\).

💡 Le produit de deux quantités positives est positif : conclus que \(f \geqslant 0\) sur \([1~;~2]\).

Utiliser la décomposition admise pour intégrer terme à terme :

\[\int_1^2 \left(\frac12 x + \frac14 + \frac18 \times \frac{2}{2x-1}\right)\mathrm{d}x.\]

💡 Une primitive de \(\dfrac{2}{2x-1}\) est \(\ln(2x-1)\). Additionne les trois morceaux ; tu dois retrouver \(1 + \dfrac{1}{8}\ln 3\).

Comme \(f \geqslant 0\) sur \([1~;~2]\), \(\mathcal{A} = \displaystyle\int_1^2 x\ln(2x-1)\,\mathrm{d}x\). Intégration par parties avec \(u = \ln(2x-1)\) et \(v' = x\) :

\[u' = \frac{2}{2x-1},\qquad v = \frac{x^2}{2}.\]

💡 Le terme intégral restant fait apparaître \(\displaystyle\int_1^2 \dfrac{x^2}{2x-1}\,\mathrm{d}x\), déjà calculé en Q4b. Combine les deux pour obtenir la valeur exacte de \(\mathcal{A}\).

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

Bac Antilles-Guyane
16 juin 2026 — Sujet 1 (Jour 1)

Exercice 1 (4 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 1 (4 points) — Partie B

Méthodes de cours

Exercice 2 (6 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 2 (6 points) — Partie B

Méthodes de cours

Exercice 3 (4 points)

Méthodes de cours

Exercice 4 (6 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 4 (6 points) — Partie B

Méthodes de cours

Exercice 4 (6 points) — Partie C

Méthodes de cours

Bac Antilles-Guyane16 juin 2026 — Sujet 1 (Jour 1)

Exercice 1 (4 points) — Partie A

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Exercice 1 (4 points) — Partie B

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Exercice 2 (6 points) — Partie A

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Exercice 3 (4 points)

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Exercice 4 (6 points) — Partie A

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Exercice 4 (6 points) — Partie B

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Exercice 4 (6 points) — Partie C

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